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1、1小学生数学学习的心理 分析鲍建生华东师范大学数学系 以学定教2如果我必须把所有的教育心理学理论化约 成一个原则的话，我宁愿这么说：影响学 习的一个最重要的因素，即是学习者已经 知道的事。 -奥苏伯尔斯根普讲的一个故事一所英国的中学和一所美国的中学约定在周末 举行一场Football比赛。两所学校都作了非常充分 的准备。到了周末，双方高高兴兴地来到球场，却 发现根本没法比赛。因为，英国人认为Football是 足球，而在美国人眼里Football是橄榄球。斯根普用这个故事告诉我们，有时候 教师和学生都以为明白了对方的意思，但 实际上，他们想的却是两码事。一、概述4老师适合做什么样的研究1. 自
2、上而下（演绎法）自下而上（归纳法） v 理论研究（改变理论） 实证研究（检验假 设） 设计研究/案例研究/行动研究/教学实 验（教学设计, 典型案例，改变行为，提升 经验）走进课堂，解决教与学中的实际问题！ 聚焦课堂教学课堂教学.目标定位 任务设计 过程与行为 监控与调节教学的有效性.知能结构 发展阶段 研修方式 行为跟进教师专业发展案例研究行动研究设计研究设计研究的基本流程研究者与 实践者合 作分析实 践中的问 题在现有设 计原理的 基础上探 讨创新设 计通过反思 改进设计 原理并推 动设计的 应用在实践中 对设计进 行反复的 试验与修 正对问题、策略、途径及设计原理的调整基本的研究假设（一
3、） 数学教学的根本目的是学生的理解； 数学学习有其自身的特点（数学的思维方法是蕴含 在数学知识中的，属于知识丰富领域的问题解决； 小学：关系推理，比例推理，类比推理，）； 学生对数学的理解存在于自己的头脑中（黑箱）； 可以通过一些外部的行为特征去诊断学生头脑中的 理解（需要合适的研究工具）； 学生对数学概念的内部理解无论在质量上还是在数 量上都超过其外部的行为特征（信度与效度）； 学生的理解是按水平发展的，不同学生的理解有不 同的水平（层次与差异）； 适当的教学可以改进学生的理解水平（教学的有效 性）。基本的研究假设（二）1. 良好（相互联系的、有深度的）的认知结构在问题解决 （迁移）中有重要
4、的作用（迁移理论）； 2. 结构化的知识需要有层次的推进(教学层次论) 3. 典型例题（样例）是数学认知结构的重要成分（样例学 习）； 4. 同化与顺应是改进认知结构的基本途径(认知冲突/心理 挣扎). 5. 在情境中获得的知识（情境认知）带有许多附加的信息 ，这些信息有积极的成分，也有消极的成分； 6. 技能精熟有助于解决复杂问题, 而练习是技能精熟的必 要条件（精致练习）； 7. 不同的任务需要/引发不同的认知活动； 8. 数学的 “天赋基因”在低年级就会打开，但如果没有及时 的强化，这扇门会慢慢关上（资优教育）。理论与经验的互动经验理论z 支持预测； z 为研究提供分析框架； z 具有解
5、释的能力； z 能应用于广泛的现象； z 有助于对复杂现象的思考； z 作为资料分析的工具； z 提供一种深层次交流的语言。z 源于实践； z 实用； z 个人化； z 嵌于特定的情境之中； z 比较模糊，不易表征、 把握和传授； z 难以跨领域的交流。解释建构11二、数学学习的理论思考环境、经验、评价问题解决技能训练概念理解数 与 运 算测 量几 何代 数概 率 与 统 计微 积 分元 认 知 、 情 感 与 态 度数学学习的理论探讨新书简介本书分上下两篇：上篇重点 介绍五个经典的、对数学学习有 较高理论价值的研究成果；下篇 从微观的角度去探讨学生学习数 学的心理基础与过程。本书对近二十年来
6、国际数学 教育心理研究领域的主要成果和 研究方法进行了梳理和剖析，其 目的是：帮助读者拓展眼界，了解当 代数学教育的研究前沿； 提供研究的观点、框架、方 法、案例和问题。 为教师的数学课堂教学提供 理论支持，帮助他们解释教 学中的疑难与困惑，提高教 学的效率。数学教学设计研究13教学设计目标分析学情分析任务分析背景分析导入设计问题设计情境设计活动设计逻 辑 过 程历 史 过 程心 理 过 程聚焦：数学学习的认知过程14认知 过程概念理解技能习得解决问题认知层次错误概念学习困难任务 分析心理 分析教 学 设 计目标 设计目标设计：定位+途径+评价本节课的 教学目标如何帮助学生从 已有层次过渡到
7、目标层次脚手架设计如何激发认知冲突 ，形成新的知识/ 认知结构问题情境设计任务设计教学层次 本节/块教学内容可以 划分为哪几个层次， 目前学生处于哪个层 次？这堂课的结束后 希望达到哪个层次？能力 可以培养哪些 能力/素养？情感/态度/价 值观？知识/认知结构 新知识的引入是否 会导致知识结构的 改变？如果改变的 话，如何达到新的 平衡？三、数学学习心理研究的基本 问题1617（一）认知层次1. 加涅的学习层次理论 2. 脚手架与铺垫 有层次的推进 脚踏实地 目标驱动 途徑单一,进度不同 跳来跳去 风险大 活动驱使 多种途徑，多种进度概念表征的三个阶段(Bruner)案例分析案例分析2 2：变
8、化的量：变化的量教材层次：几何中的量实际生活中的量依存关系对应关系函数关系离散变量连续变量有关系 的变量数字表示符号表示图形表示口头表示（二）错误概念（概念混淆）研究框架研究框架寻错析错改错防错现 状 调 查课堂观察作业考试类型原因差异教学策略效果检测信 念态 度错误分析错误分析类型原因差异概念 混淆规则 误用计算 错误 :资优生 与后进 生的差 异男女 生的 差异概念 没有 理解规则 没有 掌握技能 不熟 练日常 经验 影响粗心 大意教学 原因聚焦一个核心内容例1: 如果位值概念掌握不好, 学生可能会犯什么样 的错误? 1. 学生会在心理上把小数分成整数部分和纯 小数部分，例如把148.26
9、近似为150.3; 2. 学生会认为“更多位”就意味着一个数更大 ，例如，0.1814比0.385和0.3都大。聚焦一个核心内容例2: 分数概念学习中出现的错误及其原因.研究 问题: 1.分数的哪种含义（连续量（如图形）中的整体-部 分关系；子集-集合关系；等分除的商；小数；数 轴上的一点；比/比值）容易导致学生的错误? 2.分数概念的发展阶段：教学层次及其关键因素。 3.分数概念学习中常见的错误和主要困难。 4.分数概念教学的基本策略。分数加法的错误类型可 大约归纳为以下六类：（1）带分数转换假分数的 错误；（2）整数转换为等值分数的错误；（3） 通分时转换等值分数的错误；（4）求公分母的错
10、 误；（5）加法程序的错误；（6）不会化减或约 分。（三）困难解析251. 多数（有理数概念的）发展都产生于重要的认知 改组的初期（即从具体运算到形式运算思维的过 渡）。 2. 重要的质变不仅发生在基本概念的结构中，而且 也在那些用来描述这些结构并使其模型化的表征 系统中产生。 3. 表征系统的作用是迥异不同的，而且常按有趣的 心理方式相互作用，这是因为，表征和作业特征 都是关键。 4. 有理数概念包含了一大套整合了的子结构和加工 过程，而且有许多基本而有深奥的概念有关（例 如，测量、概率、坐标系、制图等）。小学生笔算乘法的困难分析1. 笔算是一种程序性知识。学生的许多错误是因为 算法程序不熟
11、悉。程序性知识的教学的基本步骤 ：认知定向，具体化模仿，言语化模仿，内化。 2. 算术问题的难度分析：早期研究除了排列各种算 式难度等级外，还试图确定能解释各种算式相对 难度的因素，后来的研究重点转移到问题的结构 特征或问题提出的条件，并开始从内部的认知过 程去分析学生解题中遇到的困难与障碍。 3. 关于问题表征的研究：在解题过程中，学生常常 需要将一种表征形式转化为另一种表征形式，或 者在内部表征和外部表征之间相互转化，这需要 较高的抽象能力。关于小学算法的研究在小学阶段强调算法（有固定程序的算法）的理由： 1. 在世界各国，算法都是小学数学课程的传统内容； 2. 算法可以解决一类问题，特别
12、是运算涉及多个数字 或者超出记忆负荷时，一般化的算法显得很有用； 3. 算法是一种经过压缩的、一般化的解题程序； 4. 算法可以可以弥补知识的不足。 5. 算法是自动化的，即使在不知道其背后原理的情况 下，仍可以掌握和使用； 6. 算法是目标指向的，而且是高效率的； 7. 算法可以为计算过程提供书面的记录，便于教师和 学生发现其中的错误； 8. 算法是可教的； 9. 对于教师来说，算法易于处理与评价。但是算法程序的过早教学也有一些不利，其中包括: 1. 算法程序常常与人们的习惯思维不一致（有关算 法可以训练思维的论点缺乏证据）； 2. 算法的运用会诱使学生放弃他们自己的想法，不 利于“原创思想
13、”的培养； 3. 算法不利于数意识的形成； 4. 算法使得学生习惯于依赖数字的空间排列； 5. 算法会使学生盲目接受运算的结果； 6. 在实际生活中，书面算法很少使用（特别在计算 器普及的情况下）。（四）数学推理与思维29如何培养小学生的关系性思维什么是关系推理？关系推理的一组测试题问题/任务对关系推理的影响1. 问题的型态。许多学生解决关系推理问题时，能根 据前提条件，建立初始模型，最终获得结论，但却 不能验证模型。 2. 问题的难度。难度越大，涉及的关系越复杂，具有 的前提条件越多，所需要的认知容量也就越大。 3. 问题的表征。由于关系推理是通过直接表征呈现前 提（图画、操作物、符号等），
14、因此，一方面能够 减缩认知容量的负荷，有利于前提条件的整合; 另 一方面也有助于对问题的理解与解释。然而，采用 直接表征有时也会引发知觉反应（即根据感知觉， 而不是前提条件进行推理），而产生图画效应。算术思维与代数思维解决实际 问题的区别中间量运算运算背 景实际问题 已知量实际结果 未知量算术思维解决问题模型算术思维与代数思维解决实际 问题的区别代数模型 方程、不等式、函数数学结论 方程和不等式的解、函数值 去情境用符号表示符号 变换代数 推理解释意义还原情境求解背景实际问题 已知量、未知 量实际结果 未知量代数思维解决问题模型代数和算术思维之间的对照 算术思维代数思维通过已知量的运算得出未知
15、 的量； 通过一系列的、连续的运算 得出答案； 未知量是暂时的，表示中间 过程； 方程（如果有的话）被看作 是用于计算的公式，或者是 对数的产生的一种描述； 中间量有明确的含义。同时操作已知量和未知量； 进行一系列的等价或者不等 价的符号变换； 在整个问题解决过程中，未 知量是设定的、固定的； 方程被看作是对不同量之间 的某种关系的描述； 中间量不一定有明确的含义 。算术思维向代数思维的过渡基兰认为，从算术思维向代数思维的过渡需要满足 以下的条件： 1. 聚焦关系，而不仅仅是数值运算； 2. 聚焦运算和逆运算，及设而不求的思想； 3. 聚焦对问题的表征及解决过程，而不只是答 案； 4. 聚焦字
16、母符号，而不只是数字； 5. 重新认识等号的意义。(Kieran, 2004）(五)学习差异数学资优教育36问题的提出一些研究认为：中国学生善于解决问题，但不善于提出问题；中国学生善于解常规问题，不善于解非常规的数学问题；中国学生缺少批评性思维和创新意识；中国学生既不会独立思考，又缺乏合作精神？你同意上述观点吗？（相关研究：Brenner, Herman, Ho, Cai, 1995, 1997, 1998, 2000; Gu, 1997; Miura et al., 1988; Stevenson, Lee, Chen, Stigler Wang, J and Lin, E., 2005）存在的问题：青浦新世纪行动数学认知水平测试17年前后比较 （青浦实验“新世纪行动”研究小组，2008）存在的问题：课程因素39教材题目认知水平归类统计图（华师版的八年级）40存在的问题：
