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1、第二章 欧氏几何平面的拓广2.1 中心投影（透视）与理想元素一.直线平面的中心投影：1.两直线间的中心投影：l与 是平面内的两直线。 且 如图：l上的点A、B 与 上的点 、 对应。 称 、 是从l到 在以O为投影中心下A、B的透视点或中心射影。OA、OB 是投影线。自对应点：R且 称P为l上的没影点 P在 上无中心投影。称Q为 上的没影点 Q在l上无中心投影。,中心射影下的对应不是一一对应的。反过来，点A、B 称为是从 到l的在以O为投影中心下 、 的投视点或中心投影。2.两平面间的中心投影：空间中两个不同的平面 、 、O点为不在这两平面上的空 间中的任意点。过O引直线交 、 于点 P 、
2、。 O为投影中心。P、 互为透视点。且 过O作平面 。与 相交于直线 时， 与 g 平行。则 上任意一点在 上没有透视点，如 ，则 则M为 上的没影点。直线 为 上没影点的集合，称为 面上的没影线。OPABR同样 上也有一条没影线过O作平面W与 平行交 于直线l，则l为 上的没影线。点P的中心射影与射影心的位置有关。无穷远点（理想点）：在平面内对任何一组平行线引入唯一的点与 之对应。记为无穷远点或理想点。该点在该组中的每一直线上，而不在组外的直线上。空间平行线组只有一个公共的无穷远点。或一组平行线交于无穷远点。二.理想元素： 1.2.无穷远直线 ：空间里一组平行平面相交于一条无穷远直线。3.无
3、穷远平面 ：原有的平面称为有穷远平面。平面内的一切无穷远点的集合。空间一切无穷远点的集合。P、，在P上任取一上，这时P。所以P在上的中心射影为 上的中心射影 、 相交于 ，亦即解：如图：过a,b之交点P作一直 线l平行于平面点O(与P不同），则以O为射影中心将a,b射影到平面为没影点。因为OP平行即a, b 在平行。ab例1：已知两平面 和 。a、b为 内两相交直线。试求一射影中心将a,b射影为平面 内的二平行直线。例2：求一中心射影：将平面内的一个任意四边形射影 为另一平面内的平行四边形.解:设 内四边形ABCD的两对边的交点为P,Q. PQ 与平面 外任一点O确定一平面 .任作平面 平行于
4、平面 。则以O为射心的中心摄影必将平 面内四边形ABCD射影为另一平面 内的平行四 边形 .2.2 射影平面仿射直线：在欧氏直线上添加上一个无穷远点以后便得到若在仿射直线上不区别有穷远点与无穷远点，则这条仿射直线定义1：一条新的直线由于添加一个无穷远点得到的。所以射影直线是封闭的。如果把欧氏平面圆周上一点O看作投影中心，则圆周上任一点P在直线l上都有它的对应点，且这种对应是一一对应。称为射影直线。（一维射影空间）余的点对应直线l上的有穷远点，在欧氏平面上，圆可看作射影当 时，点P的对应 点 为 上的 。而圆周上的其直线的一个模型。定义2：在欧氏平面上添加一条无穷远直线，称为仿射平面（或为扩大平
5、面）。如果在仿射平面上对有穷远元素和无穷远元素不加以区别，则称这种仿射平面为射影平面。 （称为二维射影空间）。如果在射影平面内固定一条直线为无穷远直线，则 变为仿射平面。将射影平面沿一条直线剪开，则为欧氏平面。一条直线不能把射影平面分为两部分。2条相交直线把它分为两部分。3条直线把射影平面分成几部分？2.3 图形的射影性质在直线上添加无穷远点后，两直线间的中心射影建立了这两条直线上的点之间一一对应，这时l上的影消点P对应 上的无穷远点 。通过中心射影建立的二直线上点之间的一一对应叫透视射影对应。简称透视对应。定义1：l上的无穷远点 的象是上的影消点 。同样，在平面上引入无穷远元素后，可通过中心
6、射影建立二平面点之间的一一对应，也称为透视对应。定义3：图形经过中心射影不变的性质叫做图形的射影性质定理1：中心射影保留同素性，即点对应点，直线对应直线定理2：中心射影保持接合性。定理3：中心射影保持圆锥曲线的对应为圆锥曲线。 注意：1.圆不具有射影性质。2.平行性不是射影 性质。 3.简比不是中心射影的不变量。作业：182.4 齐次坐标一.点坐标：1.直线上P点的齐次坐标： 。 ， x为P点的非齐次坐标。（ ，0）为无穷远点 ， （0，0）不表任何点 ， （0，1）为原点的齐次坐标。2.平面上点的坐标；点P的笛氏坐标为P(x,y). 令 ， （ ） 则点P的齐次坐标为P( ) 则点P的非齐次
7、坐标为P( ) (1). ， 与 表示 平面上同一点的齐次坐标。（2）. 为无穷远点的坐标，无穷远点无非齐次坐标。 （3）.（0，0，0）不代表任何点 ， （1，0，0）x轴上的无穷远点。（0，1，0）y轴上的无穷远点 （0，0，1）代表原点。（4）. 为无穷远点的特征。所以为无穷远线的方程。直线： 齐次式： 定理1：若直线为y=kx+b,则这条直线上无穷远点的坐标为（1，k, 0）y=kx+b 两直线：a:b:交点的坐标：坐标为 (1) 无穷远直线无非齐次坐标方程（2）直线 上的无穷远点的坐标为或写为 。 （3） 与 平行， 则有公共的无穷远点： ： 则 ， 与 为同一个点。即为无穷远点的坐
8、标。例1:求下列各直线上的无穷远点的坐标:(1) 2x+y+1=0 (2) y-3=0 (3)y=ax+b(4) (5)解:(1) x+y-4=0(2) (1,0,0) (1) (1,-2,0)(3) y=ax+b(4) (0,1,0)(5) (1,0,0)例2:求下列各直线的齐次方程:(2) y-6=0(3) x+4=0(4) 2x+y=0解:线坐标：定义3：在直线 的齐次点坐标方程中 的系数 叫做该直线 的齐次线坐标。 记为 （1）对于任一实数 则 和 表示同一直线的齐次线坐标。（2）不全为0的三个实数 。 在平面上确定唯一一条直线 而 不代表任何直线。 线坐标 ， ， 分别 表示y 轴，
9、x轴和无穷远直线。（3）若 （直线不过原点）则 称为直线 所有不通过原点的直线方程可以写为通过原点的直线只有齐次坐标，无非齐次坐标（4）两点 ， 联线的方程为由矢量共线得到例4：下列各方程所表示什么图（1） （2）例3：求下列线坐标所表示直线的方程(1) 0,1,1 (2) 1,0,1 (3) 1,1,-1 (4) 1,1,0解：(1)（2）（3）（4）（3）解:(1)点（1，0，0）（2）点（1，1，1）（3）由即为点（1，-1，0）和点（1，-4，0）（3 ） 解：(1) （2，4，-1）的点方程为（2） -1，1，-1的线方程是（3） 轴上的无穷远点（1，0，0） 点方程为（4） （1，
10、1，0）其点方程为定理2：一点例5：确定下列各坐标的方程（1） （2，4，-1） （2） -1，1，-1（4）定理3：设经过点定义4： ：在点的坐标采用齐次坐标后方程 （1）当 是变量， 是常量时，方程是以为线坐标的直线方程。 是这直线上的点的流动坐标，这些点共在一直线这方程是以 为坐标的点方（2 ）当 是变量， 是常量时，根据习惯把方程写为程， 是过这个点的直线的流动坐标，这些直线只通过一个点 。作业：3，4，12， 152.5对偶原理定义1： “点”和“直线”称为射影平面上的对偶元素定义2：“过有一点作一直线”与“在一直线上取一点”叫做射影平面上的对偶运算。 定义3：设一射影平面图象F由某些点和直线所成，则将图形F中各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算。所得的图形称为图形F的对偶图形。F为 的对偶图形，故对偶图形是相互的。例1：点
