量子力学 刘劲松 1讲

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1、量子力学光电子科学与工程学院 刘劲松 第一讲 绪论1第一讲 绪论一、经典物理遇到的困难与能量量子 化 二、波粒二象性 三、测不准原理（不确定度关系） 四、平面波与傅里叶变换2一、经典物理遇到的困难与能量量子化19世纪末，物理学界建立了牛顿力 学、电动力学、热力学与统计物理，统 称为经典物理学。其中的两个结论为1、能量永远是连续的。2、电磁波（包括光）是这样产生的 ：带电体做加速运动时，会向外辐射电 磁波。如：回旋加速器中的轫至辐射。但是，20世纪初物理学晴朗的天空 上， 却飘着几朵令人不安的乌云！31899年开尔文在欧洲科学家新年聚会的贺词中说： 物理学晴朗的天空上， 飘着几朵令人不安的乌云黑

2、体辐射迈克尔逊 莫雷实验光电效应氢原子光谱康普顿效应量子力学狭义相对论420世纪初物理学界遇到的几个难题一、黑体辐射问题紫外灾难 按照经典理论，黑体向外辐射电磁 波的能量E与频率的关系为 E 此关系与实验及日常经验严重不符！5能完全吸收各种波长电磁波 而无反射和透射的物体绝对黑体和黑体辐射但由于存在热辐射过程任何物体在任何温度下都在不断 地向外发射各种波长的电磁波6不同温度下黑体的辐射率与实验结果 惊人地符合普朗克常数：h = 6.626075510-34 Js2 瑞利金斯公式(1900-1905)1 维恩公式(1893)Ml3 普朗克公式(1900)维恩线瑞利金斯线普朗克线实验结果紫外灾难7

3、普朗克量子假说辐射黑体中分子和原子的振动可视 为线性谐振子，这些线性谐振子可 以发射和吸收辐射能。这些谐振子 只能处于某些分立的状态，在这些 状态下，谐振子的能量不能取任意 值，只能是某一最小能量 的整数倍对频率为 的谐振子, 最小能量为:n为整数，称为量子数 称为能量子能量不连续，只 能取某一最小能 量的整数倍!8普朗克从这些假设出发可以得到著名的普 朗克公式：普朗克后来又为这种与经典物理格格不入的观 念深感不安，只是在经过十多年的努力证明任何 复归于经典物理的企图都以失败而告终之后，他 才坚定地相信h 的引入确实反映了新理论的本质 。1918年他荣获诺贝尔物理学奖 他的墓碑上只刻着他的姓名

4、和9能量的量子化假设 w经典物理学认为能量永远是连续的。在解释 黑体辐射时遇到困难。 w如果能量是量子化的，即原子吸收或发射电 磁波，只能以“量子”的方式进行，那末黑体 辐射问题就能得到很好的解释。 w经典理论认为能量是连续不断的；普朗克的 观点改变了这种认识，认为能量是量子化的 ，是一份一份的。于是，量子的概念浮出水 面。只是由于普朗克常数太小，我们通常感 受的能量都是连续的。 普朗克常数：h = 6.626075510-34 Js10作业w通过查阅资料，从能量量子化 假设出发，推导Planck公式。要求：给出完整的推导过程和 参考文献的名称。1120世纪初物理学界遇到的几个难题 二、原子的

5、稳定性问题原子塌陷与氢原子光谱按经典理论，如果采用卢瑟福的原子 有核模型，电子绕核做加速运动，因而 以连续谱的形式向外辐射能量，并最终 因能量耗尽而掉到原子核里，原子的寿 命约为1ns。e12氢原子光谱与原子塌陷原子光谱是研究和了解原子内部结构的重要方法,A4340.50=gH,A4861.30= bH,A6562.80=aH实验观测到氢原子光谱是彼此分裂的线状光谱，每一条谱线具有确定的波长（或频率）13按经典理论，如果采用卢瑟 福的原子有核模型，应该观测 到的是连续谱。但连续谱会导 致原子的塌陷。可是，为何会 产生分立谱？问题 ：原子的稳定性问题？原子分立的线状光谱？玻尔 （Niels He

6、nrik David Bohr） （1885-1962）e14玻尔的假设1）定态假设：原子系统只能处在一系列具有不连续能量的状态， 在这些状态上电子虽然绕核做园周运动但并不向外辐射电磁波。这 些状态称为原子系统的稳定状态（简称定态）。 2）跃迁假设：电子从一个能量为En 的稳定态跃迁 到另一能量为Ek的稳定态时，要吸收或 发射一个频率为的光子，有：这些定态的能量： 辐射频率公式(1913 “论原子分子结构” )vE1 E2 E3 E4e15根据玻尔的假设，可以计算出电子在 量子数为n的轨道上运动时，原子系统总 能量是： 能量是量 子化的E1 E2 E3 E4e电子的能量变化只能发生 在不同的能

7、级间，称为电 子能态的跃迁，因此只能 产生分立谱线。 -13.6eV-3.39eV-1.5eV-8.5eV16w原子中的电子只能处于一系列分立的能级 之中。即E1, E2, . En。 当电子能态从能 级En变化到Em时，将伴随着能量的吸收或 发射，能量的形式是电磁波。能量的大小 为E =h = EnEm 其中是电磁波的频率， h是普朗克常数。由此 ，也提出了产生电磁波的量子论观点，即电磁波 源于原子中电子能态的跃迁。这样以来，电子就 不会掉到原子核里，原子的寿命就会很长。能量量子化概念不仅解释了原子寿命的问 题，而且提出了产生电磁波的量子论观点17三、光电效应的解释 光照射到金属材料上，会产

8、生光电 子。但产生条件与光的频率有关， 与光的强度无关。Light beamelectric currentmetal 20世纪初物理学界遇到的几个难题18光电效应w只有当入射光频 率 大于一定的 频率 0时才会产 生光电效应, 0 称 为截止频率或红 限频率金属4.06.08.010.0(1014Hz)0.01.02.0Ua(V)CsNaCa19按照光的经典电磁理论：爱因斯坦对光电效应的解释光的强度与频率无关，不应存在 截止频率。1905年，爱因斯坦提出了光量子的假说 1）光是一束以光速运动的粒子流， 这些粒子称为光子（光量子）2）每个光子的能量普朗克常数：h = 6.626075510-3

9、4 Js20爱因斯坦对光电效应的解释A 该金属材料的逸出功 。根据能量守恒当频率为 的光照射金属时，一个电子 只能以整体的形式吸收一个光子。 光电子的最大初动能 。 当光电效应发生时，必然有为红限频率21光子的能量与动量在假定光子的能量E = h的基础上，再利 用= c / 和侠义相对论中的公式 p =E/c， 推出光子的动量p为 p = h / .频率， 波长， h普朗克常数爱因斯坦“因在数学物 理方面的成就，尤其发现 了光电效应的规律”，获得 了1921年诺贝尔物理奖。22二、波粒二象性2)后来，波动光学实验发现， 在有些情况(干涉和衍射)下， 光显示出波动性；3)在另一些情况下(热辐射、

10、 光电效应等) ，又显示出粒 子性。所以光具有 “ 波粒二象性”光的波粒二象性 1)最初，牛顿认为，光线是由无数个颗粒组 成的。据此很好地解释了色散现象。干涉 衍射23物质波德布罗意波实物粒子也有波-粒二象性光具有粒子性。 那么实物粒子具有波动性?不仅光具有波粒二象性，一切实物粒子(如电子、原子、分子 等)也都具有波粒二象性; 具有确定动量 P 和确定能量 E 的 实物粒子相当于频率为 和波长为 的波, 二者之间的关 系如同光子和光波的关系一样, 满足德布罗意公式：为此，德布罗意假设 ：这种和实物粒子相联系的波称为 德布罗意波 或 物质波 。1924年 ，青年博士研究生德布罗意提出，24电子圆

11、孔衍射实验多晶 铝 箔电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验图象汤姆逊（1927）约恩逊（1960）单缝衍射双缝衍射三缝衍射四缝衍射25分子的干涉实验wC60分子干涉图26以上事实说明波粒二象性是物质的一个基本属性无论是静止质量为零的光子，还是静 止质量不为零的实物粒子，不管是光子 、电子、原子这些微观粒子，还是子弹 、足球、地球这些宏观粒子，都具有粒 子波动两重性。其中的波动，通称为物 质波。27实物粒子的波动 w 从德布罗意物质波的观点出发，似乎得出 一种违背常理的结论：躲在靶子后面仍然会 被绕过来的子弹打中。 w 当这个子弹是电子或分子时，就完全有这 种可能！电子穿过薄金属片的衍射实验和C

12、60 分子的干涉实验，都说明了物质波的存在。 w 子弹之所以不能绕到靶子后面，是因为子 弹的波长= h /p太小了（因为m相对与h太大 ）。 h6.6210- 34Js，p=mv28三、测不准原理（不确定度关系）在经典力学中，宏观粒子在任何时刻都有完全确定的位置、动量、能量等。然而，对于微观粒 子，其波动性远远大于宏观粒子，以致于它的某 些成对的物理量（如位置坐标和动量、时间和能 量等）不可能同时具有确定的量值。这就叫不确 定度关系或测不准原理。下面以电子单缝衍射为例讨论这个问题29电子可在缝宽 范围的任意一点通过狭缝，电子坐标不 确定量就是缝宽 ，电子在 x方向的动量不确定量:x入射电子束狭

13、缝照相底版P Px30严格的理论给出的不确定性关系为：它的物理意义是，微观粒子不可能同时具有确定的位置和动 量。粒子位置的不确定量 越小，动量的不确定量 就越大，反之亦然。因此在某一时刻微观粒子的位置和动量 不可能同时完全确定。轨道的概念已失去意义，经典力学规 律也不再适用。首先由海森堡给出(1927)海森堡不确定性关系(海森堡测不准关系)-微观粒子的“波粒二象” 性的具体体现 31量子力学w能量量子化； w波粒二象性； w测不准原理。需要用一个完整的理论将 这些离散的假设和概念统一起 来：量子力学应运而生。32量子力学的作用w一般工科：建立概念与启迪思维，重点 在了解。 w理科：四大力学之一

14、，应该精通，并作 为日后从事研究的工具。 w光电子专业：建立物质发光的基本概念 与微观过程，重点是建立正确的、系统 的、完整的概念，为后续课程以及将来 从事光电子领域的研究奠定基础。33学习量子力学时应注意的问题w概念是灵魂建立起清晰的概念 w数学是桥梁不必过分拘泥于数学推导 w结论是收获铭记结论在光电子学中的作 用34参考书目w曾谨言量子力学，科学出版社， 1984 w周世勋量子力学教程，人们教育出 版社，1979 w邹鹏程量子力学第二版，高等教育 出版社，200335平面波与傅里叶变换（一） w一、一维情况下的平面波 w大学物理 振动与波 w一维平面波 = Acos(xk-t) wA振幅，

15、k波矢， 频率 w平面波用指数形式表示 w = Aexpi (xk-t)=Aexp(i xk)exp(-it) w只考虑空间： = Aexp(i xk) w只考虑时间： =Aexp(-it)36平面波与傅里叶变换（二） w二、平面波的速度V w平面波 = Acos(xk-t)，(xk-t)相位 w平面波的速度V, 指的是相速，即相位为 常数时对应的速度 w(xk-t)=c, V = dx/dt = /k w因=2, k = 2 / , 所以， V = w对于平面波，频率和波长为常数 w结论：平面波的速度为常数37平面波与傅里叶变换（三） w三、三维情况下的平面波 w一维情况下，平面波 = Acos(xk-t) w三维情况下， x w k w平面波 w因 代表波传播的方向，故平面波的 必须为常量。 w反过来，速度v和波矢 为常量的波必 为平面波38平面波与傅里叶变换（四）w四、傅里叶变换 wexp(i xk)是周期函数，函数f(x)可表示为 w （1） w其中，wF(k)称为f(x)的傅里叶变换