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1、教学目的：1. 讲解频率与概率的概念，引进 概率的三个定义；2. 讲解古典概型的计算（一）,简 单事件的样本点分析.教学内容：第一章， 1.1、1.4、1.10。 第二讲 频率与概率概率的定义义及计计算历史上概率的三次定义 公理化定义 统计定义 古典定义概率的最初定义基于频率的定义1930年后由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出设在 n 次试验中，事件 A 发生了m 次，频率则称 为事件 A 发生的 频率频率的性质q q 事件 A, B互斥，则可推广到有限个两两互斥事件的和事件非负性归一性可加性稳定性某一定数q q 投一枚硬币观察正面向上的次数n = 4040, nH =2048, f n( H )
2、 = 0.5069n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005频率稳定性的实例蒲丰( Buffon )投币皮尔森( Pearson ) 投币例 Dewey G. 统计了约438023个英语单词中各字母出现的频率, 发现各字母出现的频率不同：A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389 E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573 I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394 M: 0.
3、0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186 Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987 U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016 Y: 0.0202 Z: 0.0006频 率 的 应 用第五章指出:当试验次数较大时有事件发生 的概 率事件发生 的频 率根据如下百年统计资料可得 世界每年发生大地震的概率近百年世界重大地震1905.04.04 克什米尔地区 8.0 88 万 1906.08.17 智利瓦尔帕莱索港地区 8.4 2 1917.01.20 印度尼西亚巴厘岛 1.5 万 1920.12.1
4、6 中国甘肃 8.6 10 万 1923.09.01 日本关东地区 7.9 14.2 万 1935.05.30 巴基斯坦基达地区 7.5 5 万时 间 地 点 级别 死亡“重大”的标准 震级 7 级左右 死亡 5000人以上时 间 地 点 级别 死亡1948.06.28 日本福井地区 7.3 0.51 万 1970.01.05 中国云南 7.7 1 万 1976.07.28 中国河北省唐山 7.8 24.2 1978.09.16 伊朗塔巴斯镇地区 7.9 1.5 1995.01.17 日本阪神工业区 7.2 0.6 万 1999.08.17 土耳其伊兹米特市 7.4 1.7 万 2003.12
5、.26 伊朗克尔曼省 6.8 3 万 2004.12.26 印尼苏门答腊岛附近海域 9.0 15 万世界每年发生大地震概率约为14%概率的 统计定义概率的定义在相同条件下重复进行的 n 次试验中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一 常数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆动幅度越 小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A).对本定义的评价优点：直观易懂缺点：粗糙模糊不便 使用设 是随机试验E 的样本空间，若能找到 一个法则，使得对于E 的每一事件 A 赋于一个 实数，记为P ( A ), 称之为事件 A 的概率，这种 赋值满足下面的三条公理：概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫(
6、A.H.)1933年建立.概率的公理化定义q 非负性： q 归一性：q 可列可加性：其中 为两两互斥事件，概率的性质q q 有限可加性: 设 两两互斥q 若q q 对任意两个事件A, B, 有 BAB=AB+(B A)P(B)=P(AB)+ P(B A)B - ABABq 加法公式：对任意两个事件A, B, 有 推广：一般：右端共有 项.例1 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答 出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2,两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题” (1)(1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率(2) 至少有一类问题能答出的概率(3
7、) 两类问题都答不出的概率(2) (3)课后同学问：例1 中小王他能答出第一类问题的概 率为0.7, 答出第二类问题的概率为0.2, 两 类问题都能答出的概率为0.1. 为什么不是？ 若是的话, 则应有而现在题中并未给出这一条件.在1.4中将告诉我们上述等式成立的条件是 ：事件 相互独立.例2 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何条件下， P(AB) 取得最大(小)值？最大(小)值是多少？解最小值在 时取得 最小值 最大值 最大值在 时取得 课上有同学提问最小值是否正确？例2 中回答当 时, 取得这相当于问如下命题是否成立答：不成立 ！式是“羊肉包
8、子打狗 ”有去路,没回路为什么呢？学了几何概型便会明白.设 随机试验E 具有下列特点：q 基本事件的个数有限 q 每个基本事件等可能性发生 则称 E 为 古典(等可能)概型古典概型中概率的计算：记 则古典（等可能）概型概率的 古典定义例3 袋中有a 只白球，b 只红球，从袋中按 不放回与放回两种方式取m个球（ ), 求其中恰有 k 个 （ ）白球的概率 解 （1）不放回情形E: 球编号，任取一球，记下颜色，放在一边，重复 m 次: 记事件 A 为m个球中有k个白球，则又解 E1: 球编号, 一次取 m 个球,记下颜色1: 记事件 A 为m个球中有k个白球，则不放回地逐次取 m 个球, 与一次任
9、取 m 个 球算得的结果相同.则因此称超几 何分布（2）放回情形 E2: 球编号, 任取一球, 记下颜色, 放回去,重复 m 次2: 记 B 为取出的 m 个球中有 k 个白球, 则称二项分布（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；（4）恰有 k 个盒子中各有一球；（3）某指定的一个盒子没有球；（2）某指定的一个盒子恰有 m 个球( )（5）至少有两个球在同一盒子中； （6）每个盒子至多有一个球.设有 k 个不同的球, 每个球等可能地落入 N 个盒子中（ ）, 设每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:例4 （分房模型）解 设 (1) (6)的各事件分别为则例4的“分房模型”可应用于很多类似场合
10、“球”可 视为人“盒子” 相应 视为房子信封信 钥匙门锁 女舞伴生日人男舞伴例5 “分房模型”的应用 生物系二年级有 n 个人，求至少有两 人生日相同（设为事件A ) 的概率.解为 n 个人的生日均不相同,这相当于本问题中的人可被视为“球”，365天为 365只“盒子”若 n = 64，每个盒子至多有一个球. 由例4（6）解例6 在0,1,2,3, ,9中不重复地任取四个数， 求它们能排成首位非零的四位偶数的概率.设 A为“能排成首位非零的四位偶数”四位偶数的末位为偶数, 故有 种可能而前三位数有 种取法,由于首位为零的四位数有 种取法,所以有利于A发生的取法共有 种.28解设 A 表示事件
11、“n 次取到的数字的乘积能被10整除”设 A1 表示事件 “n 次取到的数字中有偶数”A2表示事件 “n 次取到的数字中有5”A = A1 A2例7 在1,2,3, ,9中重复地任取 n ( )个数,求 n 个数字的乘积能被10整除的概率.1o 明确所作的试验是等可能概型,有时需 设计符合问题要求的随机试验, 使其成为 等可能概型.3o 计算古典概率时须注意应用概率计算 的有关公式, 将复杂问题简单化. 如例7.2o 同一题的样本空间的基本事件总数 随试验设计的不同而不同, 如 例3不放回 试验的两种不同设计. 一般 越小越好.计算古典概率注意事项若P(A) 0.01 , 则称A为小概率事件.
12、小概率事件一次试验中小概率事件一般是不 会发生的. 若在一次试验中居然发生了,则可怀疑该事件并非小概率事件.小概率原理( 即实际推断原理 )例8 区长办公室某一周内曾接待过9次来 访, 这些来访都是周三或周日进行的,是否可以断定接待时间是有规定的？解 假定办公室每天都接待，则P( 9次来访都在周三、日) = = 0.0000127这是小概率事件,一般在一次试验中不会发 发生. 现居然发生了, 故可认为假定不成立,从而推断接待时间是有规定的. 作业习题一P.33P.36 4 5 6 8 9预习第一章， 1.5、1.6、1.7。 教案提纲趣味问题已知 P ( A ) = P ( B ) = P(C
13、) = 1/4 , P(AB) = 0 , P(AC) = P(BC) = 1/6 则事件A，B，C 全不发生的概率为 .通过做此题 你能发现什么问题？ （此题是1992年考研填空题） 一般会解出 由题设得 另一方面又可得 于是得矛盾 若将条件修改为 P(AC) = P(BC) = 1/9 便无矛盾 例9 某人的表停了，他打开收音机听电台 报时，已知电台是整点报时的，问他等待 报时的时间短于十分钟的概率9点10点10分钟几何概型 (等可能概型的推广)几何概型设样本空间为有限区域 , 若样本点 落入 内任何区域 G 中的概率与区域G 的测度成正比, 则样本点落入G内的概率为例10 两船欲停同一码头, 两船在一昼夜内 独立随机地到达码头. 若两船到达后需在 码头停留的时间分别是 1 小时与 2 小 时， 试求在一昼夜内，任一船到达时，需 要等 待空出码头的概率.解 设船1 到达码头的瞬时为 x , 0 x 24船2 到达码头的瞬时为 y , 0 y 24设事件 A 表示任一船到达码头时需要等待空出码头xy2424y = xy = x + 1y = x - 2用几何概型可以回答例2中提出的“概率 为 1 的事件为什么不一定发生?”这一问题.如图，设试验E 为“ 随机地向边0 1 x
