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1、Lab of Prof. Tian Shizhu1苏州科技学院 土木工程学院结构实验技术田石柱 教授Lab of Prof. Tian Shizhu22相似第二定理相似第二定理表述为：当一物理现象由n个物理量之间的函数关系来表示，且这些物理量中包含m种基本量纲时，可以得到(n-m)个相似判据。描述物理现象的函数关系式的一般方程可写成：按照相似第二定理上式可改写为：Lab of Prof. Tian Shizhu3这样，利用相似第二定理，将物理方程转换为相似判据方程。同时，因为现象相似，模型和原型的相似判据都保持相同的 值， 值满足的关系式也应相同：其中：上述过程说明，这个无量纲的关系式可以推广
2、到与其相似的原型结构。由于相似判据习惯上用 表示，相似第二定理也称为 定理。 Lab of Prof. Tian Shizhu4说明:相似第二定理没有规定从系统的基本方程式如何得到相似判据方程式(即关系式)。实际上，可以有多种途径得到关系式。相似第二定理表明，若两个系统彼此相似，不论采用何种方式得到相似判据，描述物理现象的基本方程均可转化为无量纲的相似判据方程。Lab of Prof. Tian Shizhu5例1: 简支梁如下图所示。长度为L的简支梁，其上作用集中荷载F和均布荷载q。由材料力学可知，梁的跨中截面边缘应力为：写出无量纲方程： Lab of Prof. Tian Shizhu6引
3、入相似常数无量纲方程变为：Lab of Prof. Tian Shizhu7显然，要使模型与原型相似，必须满足： 而一般形式的相似判据为：由上列分析可知，无量纲方程的各项就是相似判据，因此，各物理量之间的关系方程式，均可写成相似判据方程。Lab of Prof. Tian Shizhu83相似第三定理相似第三定理表述为：凡具有同一特性的物理现象，当单值条件彼此相似，且由单值条件的物理量所组成的相似判据在数值上相等，则这些现象彼此相似。按照相似第三定理，两个系统相似的充分必要条件是决定系统物理现象的单值条件相似。Lab of Prof. Tian Shizhu9应用：考察承受静力荷载的结构，其应
4、力的表达式可写为 ： 将上式写成无量纲形式 模型原型当由单值条件组成的相似判据的数值相等时，即： Lab of Prof. Tian Shizhu10则模型与原型相似。相似的结果为： 应当指出：上述单值条件是指某一特定的物理现象与其他物理现象有所区别的条件。在结构模型试验中，主要应加以考虑的单值条件包括结构几何尺寸、边界条件、物理参数、时间、初始条件、温度等。对于常规结构静力模型试验，单值条件相似要求几何相似、边界条件相似、荷载相似和材料特征相似，对于结构动力模型试验，除上述要求外，还要求时间和初始条件相似。Lab of Prof. Tian Shizhu11总结：相似第一定理和相似第二定理是
5、判别相似现象的重要法则，这两个定理确定了相似现象的基本性质，但它们是在假定现象相似的基础上导出的，未给出相似现象的充分条件。而相似第三定理则确定了物理现象相似的必要和充分条件。Lab of Prof. Tian Shizhu12上述三个相似定理构成相似理论的基础。相似第一定理又称为相似正定理，相似第二定理称为 定理，相似第三定理又称为相似逆定理。在结构模型试验中，完全满足相似定理有时是很困难的，只要能够抓住主要矛盾，正确的运用相似定理，就可以保证模型试验的精度。Lab of Prof. Tian Shizhu13三、 量纲分析在讨论相似定理时，我们往往假定已知结构系统各物理量之间的基本关系。而
6、在进行结构模型试验时，并不能确切地知道关于结构性能的某些关系，这时，借助于量纲分析，能够对结构体系的基本性能做出判断。当研究物理量的数量关系时，一般选择几个物理量的单位，就能求出其他物理量的单位，将这几个物理量称为基本物理量，基本物理量的单位为基本单位。Lab of Prof. Tian Shizhu141量纲的基本概念量纲：说明测量物理量时所采用的单位的性质。例如：测量长度时用米、厘米、毫米等不同的单位，但它们都是属于长度这一性质，因此，将长度称为一种量纲，以L表示。时间用年、小时、秒等单位表示，也是一种量纲，以T表示。每一种物理量都对应一种量纲。有些相对物理量是无量纲的，用1表示。Lab
7、of Prof. Tian Shizhu15绝对系统和质量系统：选择一组彼此独立的量纲为基本量纲，其他物理量的量纲可由基本量纲导出，称为导出量纲。在结构试验中，取长度、力、时间为基本量纲，组成绝对系统；如果取长度、质量、时间为基本量纲，则组成质量系统。Lab of Prof. Tian Shizhu16物理量质质量系统统绝对绝对 系统统物理量质质量系统统绝对绝对 系统统长长 度LL应应 力ML-1T-2FL-2时时 间间TT应应 变变11质质 量MFL-1T2比 重ML-2T-2FL-3力MLT-2F密 度ML-3FL-4T2温 度 弹弹性模量ML-1T-2FL-2速 度LT-1 LT-1力
8、矩ML2T-2FL加速度 LT-2 LT-2泊松比11Lab of Prof. Tian Shizhu172物理方程的量纲均衡性和齐次性在描述物理现象的基本方程中，各项的量纲应相等，同名物理量应采用同一种单位，这就是物理方程的量纲均衡性。应当指出，物理方程的量纲均衡性与数学方程的齐次性是两个不同范畴的概念，但对物理方程量纲进行分析时，这两个概念是一致的。从物理方程所包含的物理量的量纲考察，应得到量纲均衡的结论，从数学角度对方程进行分析，则可得到正确的物理方程在数学上均可表示为齐次方程的结论。Lab of Prof. Tian Shizhu183例2：静力集中荷载作用下的简支梁如下图所示，简支梁
9、承受集中荷载作用。梁的跨度为L，集中荷载为F，弹性模量为E，截面抵抗矩为W，截面惯性矩为I；集中荷载作用点到两个支座的距离分别为a和b，截面弯矩为M，截面边缘应力为，跨中挠度为f。Lab of Prof. Tian Shizhu19当模型梁与原型梁相似时，得到下列关系： 简支梁在集中荷载作用下，荷载作用点的弯矩、截面边缘应力和挠度的物理方程为： Lab of Prof. Tian Shizhu20因模型与原型相似，在荷载作用点，模型梁和原型梁的截面边缘应力为：利用表示的相似关系： 可得相似指标： 相似判据为 :式中，有3个相似常 数，可先选定几何相 似常数SL，再根据需 要给出模型应力与原 型
10、应力相等的条件， 即 =1，得到 Lab of Prof. Tian Shizhu21例如: 当缩尺比例等于8时，即模型尺寸为原型尺寸的18，则模型所受荷载为原型所受荷载的l64时，模型梁截面边缘应力和原型梁截面边缘应力相等。此时，如果模型梁的弹性模量与原型梁的弹性模量相同，将模型梁荷载作用点的挠度放大8倍，可得到原型梁对应点的挠度。可自行证明。Lab of Prof. Tian Shizhu22例3: 单自由度体系的振动微分方程如下：将上式改写为一般函数形式：方程中物理量个数n=6，采用绝对系统（L、T、FL-1T2(m)、F，基本量纲数m=3，数目nm3，则函数为：Lab of Prof.
11、 Tian Shizhu23所有物理量参数组成无量纲形式数的一般形式为：其中， 为待定的指数。根据各物理量的量纲，上式可写为：根据量纲均衡性要求，上式右边的运算结果应为无量纲量，即力、长度、时间量纲指数均应为零，由此得到下列方程：F 量纲指数： L 量纲指数：T 量纲指数： Lab of Prof. Tian Shizhu243个方程中包含6个待定常数，可将上列方程改为：T量纲方程得到: 将上式代入L量纲方由程 : 再将上列2式代入F量纲方程: 给定 的值后，可得到 的值。方程变为： 从上式可以看出， 取不同的值，得到不同的 数。由于 这3个待定系数相互之间是完全独立的，3个待定系数独立的取值
12、对应了3个独立的 数。因此，取Lab of Prof. Tian Shizhu25可以得到3个独立的 数：根据相似第二定理，当下列条件满足时，原型与模型相似 Lab of Prof. Tian Shizhu26分析:例2，采用了分析方程法，该方法基于描述物理过程的方程式，经过相似常数的转换，得到相似判据。例3，采用量纲均衡分析法，该方法不要求建立描述物理现象的方程式，只要求确定参与所研究的物理现象的物理量，利用相似第二定理和待定系数法，得到 数表达式。在结构模型试验中，可采用量纲矩阵分析法。量纲矩阵分析法的实质与量纲均衡分析法相同，但采用量纲矩阵形式排列，可以使分析更有条理，适用于较复杂的量纲
13、分析问题。Lab of Prof. Tian Shizhu27对于结构模型试验，工程师和研究人员最关心的问题是结构模型试验结果在多大程度上能够反映原型结构的性能。而模型设计是结构模型试验的关键环节。一般情况下，结构模型设计的程序为：4-3 结构模型设计Lab of Prof. Tian Shizhu28(1) 分析试验目的和要求，选择模型基本类型。缩尺比例大的模型多为弹性模型，强度模型要求模型材料性能与原型材料性能较为接近。(2) 对研究对象进行理论分析，用分析方程法或量纲分析法得到相似判据。对于复杂结构，其力学性能常采用数值方法计算，很难得到解析的方程式，多采用量纲分析法确定相似判据。Lab
14、 of Prof. Tian Shizhu29(3) 确定几何相似常数和结构模型主要部位尺寸,选择模型材料。(4) 根据相似条件确定各相似常数。(5) 分析相似误差，对相似常数进行必要的调整。(6) 分析相似模型的单值条件，在结构模型设计阶段，主要关注边界条件和荷载作用点等局部条件。(7) 形成模型设计技术文件，包括结构模型施工图，测点布置图，加载装置图等。Lab of Prof. Tian Shizhu30在上述各步骤中，对结构模型设计和试验影响最大的是结构模型尺寸的确定。通常，模型尺寸确定后，其他因素如模型材料、模型加工方式、试验加载方式、测点布置方案等也基本确定了 结结构类类 型 壳体结
15、结 构高层层建筑 大跨桥桥梁 砌体结结构结结构节节 段风风洞模型弹弹性模型1：50 200 1：20 60 1：1050 1：48 1：4101：50 300强度模型1：10 30 1：5101：4101：24 1：26无强度模 型结构模型的缩尺比例Lab of Prof. Tian Shizhu31一、静力结构模型设计1线弹性模型设计线弹性性能是工程结构的主要性能之一。不论采用何种结构类型，当结构的应力水平较低时，结构的性能都可以用线弹性理论描述。按照线弹性理论，结构所受荷载与结构产生的变形以及应力之间均为线性关系。对于由同一种材料组成的结构，影响应力大小的因素有荷载F、结构几何尺寸L和材料的泊松比v，于是，应力表达式可写为：Lab of Prof. Tian Shizhu32通过量纲分析有：由上式可知，线弹性结构的相似条件为几何相似、荷载相似、边界条件相同，不要求虎克定律相似，但要求泊松比相似，即设计线弹性相似模型时，要求 Lab of Prof. Tian Shizhu332非线性结构模型设计工程结构可能出现两类典型的非线性现象，一类是由于材料的应力一应变关系为非线性关系所引起，称为材料非线性。例如，钢筋混凝土结构的强度模型一般具有材料非线性特征。另一
