理论力学课件 第三章 刚体力学

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1、本章重点研究内容一刚体运动分析 角速度矢量二刚体运动方程与平衡方程三转动惯量四刚体的平动与绕固定轴的转动五刚体的平面平行运动 理想模型刚体特殊的质点组3.1 刚体运动的分析 一、描写刚体位置的独立变量质点被抽象为没有大小的几何质点（但有一定的质量）。因此，要确定一个自由质点在 空间的位置，需要三个 独立的变量，如质点3个变量质点组3n个变量或质点3个变量 确定一个自由刚体在空间的位置，需要几个独立变量？ 因任意两点间的距离保持不变，所以只要 确定了刚体内不在一直 线上三点的位置，刚体 的位置就能确定。因为如果固定了刚体中两点的位置，刚体 还可绕着连接这两点的直线转动；如果再在刚 体中把不和这直

2、线共线的另一点的位置固定， 那么刚体就不能作任何的运动了。 ACB6个变量可以确定刚体位置如果选用刚体内不共线的三点的坐标来 确定刚体的位置，那么，由于这些坐标不能 独立变化，而要服从三个条件的限制，因此 很不方便。为此，可在刚体内选取一点O，然后通 过O点选取任一直线作为转动轴（刚体运动 可认为是平动和转动的组合），那么，要确 定O点的位置，须用三个独立变量，要确定 轴线在空间的取向，须用两个独立变量，而 要确定刚体绕这轴线转了多少角度，又要用 一个变量；其中三个线变量、三个角变量。1776年，欧勒为我们确立了一种三个独 立角度（称为欧勒角）的选取方法，而被广 泛应用 。二、刚体运动的分类世

3、界最大的摩天轮“伦敦眼” 刚体要六个独立变量来确定它在空间的位置， 所以其最一般的运动，是 具有六个独立变量的平动 和转动的组合。但在某些条件的限制下，（通常称为约束），刚体可以作小于六个独立变量的其他 形式的运动。 .平 动刚体运动时，如果在各个时刻，刚体中任意一条直线始终彼此平行，那么这种运动 叫做平动。刚体的平动可由其质心质点的运动来代表。平动的独立平动的独立 变量为三个变量为三个.定轴转动刚体运动时，若其中有两个点始终固定不动，即所确定的直线上的诸点都固定不动 ，整个刚体就绕着这条直线转动，这条直线 叫转动轴，而这种运动则叫绕固定轴的转动 或简称定轴转动。 只要知道刚体绕这条直线转了多

4、少角度，就能 确定刚体的位置。定轴转动的独定轴转动的独 立变量为一个立变量为一个.平面平行运动刚体运动时，若刚体中任意一点始终在平行于某一固定平面的平面内运动，称为平 面平行运动。 可用刚体上任一与固定平面平行的截面（平行 平面）的运动来代表。平面平行运动可分 解为平行平面的平动及 对垂直于固定平面的定 轴转动。 平面平行运动的平面平行运动的 独立变量为三个独立变量为三个.定点转动刚体运动时，若只有一点固定不动，整个 刚体围绕着通过这点的 某一瞬时轴线转动，则 叫定点转动。为确定转动轴的方位 需两个独立变量，确定其 绕轴的转动需一个独立变 量。 定点转动的独定点转动的独 立变量为三个立变量为三

5、个.一般运动刚体不受任何约束，可以在空间任意运 动，称为一般运动。 可分解为质心的平动与绕通过质心的某直线的 定点转动。 一般运动的独一般运动的独 立变量为六个立变量为六个3.2 角速度矢量普通物理学处理刚体定轴转动这类问题时，是直接把角速度作为一个矢量，这在逻辑上是不够严格的 。但因在定轴转动这类问题中，角速度方向不变，所 以它是不是矢量，关系不大，只要把它看成是由一个 有方向的直线来代表的量就行了。一、有限转动与无限小转动定轴转动中，通常是在转动轴上截取一个有向线段（按右手螺旋法则）来表示角速度。 但当刚体绕固定点转动时，转动轴方向随时改 变，因而角速度方向也随时改变，所以必须首 先证明角

6、速度是不是一个矢量。 【注意】有大小、有方向的量还不一定是矢量如果它是矢量，还必须遵守平行四边形 加法所应遵守的对易律，即如A和B是两个矢 量，则应有 有限转动就不是一个矢量，因为它不遵守矢量加法的对易律，如 无限小转动是矢量，因为它满足矢量加法对易律【证明】首先用一有向线段定义角位移 指向由右手螺旋法则决定。线位移矢量时， 垂直于所构成的平面。转动之初转动 后再转动 后不计二阶微量，则得若交换转动顺序，同理可得因从而表明其满足对易律，因此，微小角位移是矢量。二、角速度矢量大小：方向：沿着转轴，指向满足右螺旋法则。 线速度与角速度的关系 3.3 欧勒角一、欧勒角当刚体作定点转动时，我们可选这个

7、定点作为坐标系的原点，而用三个独立的角度 来确定转动轴在空间的取向和刚体绕这轴线 所转过的角度。这三个能够独立变化的角度 叫做欧勒角。欧勒角是如何选取的？取两组右手正交坐标系，它们的原点都 在定点O上，其中坐标系固定在空间不动坐标系固定在刚体上一起转动并设Z轴就是上述坐标系中的瞬时转动轴。节线 ： 平面和 平面的交线 进动角 ： 和 间的夹角 自转角 ： 和 间的夹角 章动角 ： 和 间的夹角 节线 ON进动角自转角章动角Z轴位置由 、两角决定轴和 垂直，故 轴的位置与 有关 ，因此 轴的位置要用 和 两个角度来确定 。至于 ，则为绕 轴所转动的角度。由此可 知，利用欧勒角（ 、）可以确定 相

8、对于 的位置。但因 是和刚体 固连在一起的，因而也就确定了刚体的位置。 刚体定点转动的某一位置状态，可通过以下三个分运动（转动）来实现：假定 原来是和 重合在一起的。 二、欧勒运动学方程 如果刚体绕着通过定点O的某一轴线以角速度 转动，其在活动坐标系 上的投影 是 ， 和 ，则 也可以认为， 是绕 轴的角速度 、 绕 轴的角速度 及绕 轴的角速度 三者的矢量和。 欧勒运动学方程 一、力系的简化 力的可传性原理3.4 刚体运动方程与平衡方程力的作用 线不能随 意移动BAF。BAF。FF “dMBAF。F =F =F“力的平移定理：作用于刚体上的力F，可以 平移到同一刚体上的任一点O，但必须附加一

9、 个力偶，其力偶矩等于原力F对于新作用点O的矩。BAF。BAF。FF “dM根据力向一点平移的逆过程，总可以将 同平面内的一个力F和力偶矩为M的力偶简化 为一个力F ，此力F与原力F大小相等、方向 相同、作用线间的距离为d=M/F，至于F在F 的哪一侧，则视F的方向和M的转向而定。 BAF。 平面共点力系的简化平行四边形法则 平面一般力系的简化力的平移定理+平行四边形法则+合力矩定理平面一般力系，向任一点O简化，得到一个汇交于O点的共点力系和一个平面力偶系。作用于简化中心O点的平面汇交力系可合成为一个合力，称为原力系的主矢 。 注意：注意： 与简化中心与简化中心OO点的位置选取无关。点的位置选

10、取无关。平面力偶系可合成为一个合力偶，其合力偶矩称为原力系的主矩 。注意：注意： MO与简化中心与简化中心OO点的位置选取有关。点的位置选取有关。 平面平行力系的简化合力的量值和方向由代数和确定；合力的作用线用力矩关系确定（合力对作用面上任意点的力矩与诸分力对同一点的力矩 的代数和相等）。若且不共线，称为力偶。 力偶矩由 与 所确定的面称为力偶面。 【力偶及力偶矩】 方向由右螺旋法则 确定。力偶矩是力偶唯一的力学效果；力偶矩为一自由矢 量，可作用于力偶面上的任 一点，与滑移矢量（不能改 变作用线）不同。 二、刚体运动微分方程 思路: 将作用在刚体上的力简化为通过质心的单力 （为作用在刚体上各外

11、力的矢量和 即主矢）及对质心的一力偶，其力偶矩 （为 诸外力对质心 的力矩的矢量和即主矩 ）。质心运动定理质心运动定理 直角坐标分量式对质心的角动量定理对质心的角动量定理 直角坐标分量式对质心坐标系的 相对运动或对固定点O的角动量定理 直角坐标分量式辅助方程动能定理辅助方程动能定理若为保守力系，则用能量积分三、刚体平衡方程 刚体平衡的必要且充分条件： 外力的矢量和为零及外力对任一点力矩的 矢量和为零。 即刚体平衡时，诸外力在每一坐标轴上投影之 和为零，诸外力对每一坐标轴的力矩之和亦为 零。 直角坐标分量式平面力系的平衡方程平面一般力系：所有的力（包括所有力偶的作用面）都在同一平面内。二投影一矩

12、式（基本形式）要求x轴不平行于y轴第三式表明不可能有合力偶,若有合力， 必过O点；1、2式又指出：若有合力，必垂直 于x轴且垂直于y轴。各力在任意两相交轴上投影的代数和为零，且各力对任一点之矩的代数和也为零。 一投影二矩式要求A、B两点的 连线不与x轴垂直三矩式要求A、B、C三点不共线平衡方程满足MA0和MB0，力系只 能合成为通过 A、B两点的一个合力。 如又在与A、B两点的连线不垂直的x轴上 投影之和为零即Fx0；或与对A、B两点不 共线的C点力矩之和为零即MC0；此合力必为零，即力系是平衡力系。 BA。 xFRC。 若为平面汇交力系，取汇交点为矩心，力矩方程自动满足， 故独立平衡方程只有

13、二个。 若为平面平行力系（设与y平行） ， 取x 轴垂直于各力，则x轴的投影方程自动满足，故独立平衡方程只有二个。解：属刚体平（共）面力系的 平衡问题。 例1 一根均匀的棍子，重为 ，长为 。今将其一端置于粗糙地面上，又以其上的 点靠 在墙上，墙离地面的高度为 。当棍子与地面 的角度 为最小值 时，棍子在上述位置仍处 于平衡状态，求棍与地面的摩擦系数 。 受力及所建坐 标如图所示。解之可得而 例2 一均质球，重为 ，半径为a，和重物P同 时用绳子挂在O点，距离OM=b，求平衡时直线 OM和铅垂线所成角 的大小。解：受力如图所示，因绳子 、 拉力的 作用线均通过O点，故对该点的力矩均为零，则有故

14、平衡时 3.5 转动惯量 一、刚体的动量矩刚体对定点O的动量矩而 又 而 令则二、刚体的转动动能 三、转动惯量刚体转动动能的另一表达式：转动惯 量式中 为 的位矢 与角速度矢量 之间的夹 角， 为自 至转动瞬轴（即矢量 的作用线 ）的垂直距离，而 称为刚体绕转动瞬轴的转 动惯量。它是转动物体的一个属性，是物体转动惯 性的量度，和平动时的质量m相当。它一方面决定于物体的形状（或质量分布的情况），另 一方面又决定于转动轴的位置，即对之求转动 惯量的那条轴线的位置。 四、转动惯量的计算1.直接按定义式计算2.利用等效方法计算令回转半 径3.利用可加性计算4.利用平行轴定理计算平行轴定理5.利用垂直轴

15、定理计算（仅适用于簿板）若Z轴为旋转对称轴（即物体对Z轴为旋转对称图形），则6.利用对X、Y、Z轴的转动惯量和惯量积计算五、惯量张量和惯量椭球对质量连续分布的刚体轴转动惯量惯量积通过空间某一点O，可以作出无数轴线，刚 体绕不同轴转动，转动惯量不同。 至转动瞬轴 的垂直距离是否有类似平行轴定理那样的简单公式呢？ 因为式中 ， ， 为任一转动瞬轴相对于坐标轴 的方向余弦。而得故只要一次算出对三个轴的转动惯量和三 个惯量积，则通过O点的任一轴线的转动惯量就可由此式算出，只要把该轴线的方向余弦代 入此式即可。 引入惯量张量：它是将三个轴转动惯量和六个惯量积（ 由于对称关系，实际上也只有三个是互相独 立的）作为统一的一个物理量，来代表刚体 转动时惯性的量度，并且把它叫做对O点而言的惯量张量，而这一惯性矩阵的每个元素 （轴转动惯量和惯量积）则叫做惯量张量的 组元，也叫惯量系数。 则物体对通过O点的任意转动瞬轴的转动惯量也可用惯量张量表出：以此，刚体对定点O的动量矩亦可表示为若将坐标系固定在刚体上，可使惯量系数成为常数。在转动轴上取线段Q点的坐标再利用Q点的轨迹方程得到惯量椭球方程：这是中心在O点的二次曲面方程，一般来 讲是一闭合曲