《高等数学(同济5版)完整教案-第八章 方向导数与梯度》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学(同济5版)完整教案-第八章 方向导数与梯度（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、方向导数与梯度实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火 焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温 度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂 蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达 较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方 向（即梯度方向）爬行一、方向导数的定义讨论函数 在一点P沿某一方 向的变化率问题当 沿着 趋于 时，是否存在？记为方向导数的几何意义过直线 作平行于 z 轴的平面 与曲面 z = f ( x , y ) 所交的曲线记为 C 表示C 的割线向量 即即割线转化为切线上式极限存在就意味着当
2、点趋于点 曲线C在点 P0 有唯一的切线它关于 方向的斜率就是方向导数LCM0TP0PMl证明由于函数可微，则增量可表示为两边同除以得到故有方向导数解解由方向导数的计算公式知故推广可得三元函数方向导数的定义解令故方向余弦为故二、梯度的概念在几何上 表示一个曲面曲面被平面 所截得所得曲线在xoy面上投影如图梯度为等高线上的法向量等高线等高线的画法例如,梯度与等高线的关系：此时 f ( x , y ) 沿该法线方向的方向导数为故应从数值较低的等高线指向数值较高的等高 线，梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导 数，这个法线方向就是方向导数取得最大值的方 向。梯度的概念可以推广到三元函数类似于二元函
3、数，此梯度也是一个向量， 其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值.解 由梯度计算公式得故例5 求函数沿曲线在点处的内法线方向的方向导数解一用方向导数计算公式即要求出从 x 轴正向沿逆时针 转到内法线方向的转角在两边对x 求导解得（切线斜率）故法线斜率为内法线方向的方向余弦为而由得解二用梯度梯度是这样一个向量，其方向与取得最大方向 导数的方向一致，它的模等于方向导数的最大 值, 即梯度是函数在这点增长最快的方向 从等高线的角度来看，f ( x , y ) 在点 P 的梯度 方向与过点P 的等高线 f ( x , y ) = C 在这点 的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线 指向数值较高的等高线等高线为f ( x , y ) = C 即椭圆大于椭圆因此在点处的内法线恰好是梯度方向故三、小结 1、方向导数的概念 （注意方向导数与一般所说偏导数的区别）2、梯度的概念 （注意梯度是一个向量） 3、方向导数与梯度的关系思考题思考题解答练 习 题练习题答案
