控制系统第二章 拉普拉斯变换

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1、第二章 拉普拉斯变换拉氏变换的概念；拉氏变换的性质；常用函数的拉氏变换；拉氏逆变换；卷积定理。第二章 拉普拉斯变换本章学习要点：第二章 拉普拉斯变换拉氏变换法的优点： (1)从数学角度看，拉氏变换方法是求解常系数线性微分方程的工具。可以分别将“微分”与“积分”运算转换成“乘法”和“除法”运算，即把积分微分方程转换为代数方程。 (2) 当求解控制系统输入输出微分方程时，求解的过程得到简化，可以同时获得控制系统的瞬态分量和稳态分量。(3) 拉氏变换可把时域中的两个函数的卷积运算转换为复频域中两函数的乘法运算。 第二章 拉普拉斯变换2.1.1问题的提出 2.1 拉氏变换的概念利用单单位阶跃阶跃 函数

2、和指数衰减函数 (0)所具有的和，这时这时 ，的积积分区间间由(-，)变变成，在积积分区间间内 ；而就有可能变变得绝对绝对 可积积。 特点，分别构成两个新的函数如果再构成一个新的函数 只要值选得适当，式（2.1）就能满足傅立叶变换的条件，的傅立叶变换存在。(0) （2.1）即时间函数第二章 拉普拉斯变换对式（2.1）取傅立叶变换，得（2.2）这就产生了一种新的变换拉普拉斯（Laplace）变换，简称拉氏变换。(2) 为复变量；我们规定：(1) 为时间t的函数，并且当t0及c0，使得的拉氏变换则（2.5） 上一定存在，右端的积积分在 在半平面第二章 拉普拉斯变换半平面内，上绝对绝对 收敛敛而且一

3、致收敛敛，并且在为为解析函数。 即：如果拉氏积积分收敛敛，则时间则时间 函数的拉氏变换变换 存在。 式中，A和为常数。1. 常用函数的拉氏变换(1) 指数函数（2.6）其拉氏变换为可以看出，指数函数在复平面内将产生一个极点。（2.7）第二章 拉普拉斯变换（2.8）(2) 阶跃函数式中，A为常数。 其拉氏变换为（2.9） 当A1时时的阶跃阶跃 函数称为单为单 位阶跃阶跃 函数，如图图2.1(a)所示，表示。 用发发生在tt0时时的单单位阶跃阶跃 函数通常写成如图图2.1(b)所示。 00图2.1 单位阶跃函数(a) (b) 第二章 拉普拉斯变换单单位阶跃阶跃 函数（2.10）其拉氏变换为（2.1

4、1）式中，A为常数。(3) 斜坡函数（2.12）其拉氏变换为 实际上，发生于时的阶跃函数，相当于在时间时，把一个定常信号突然加到系统上。 高度为为A的阶跃阶跃 函数，即式，当其发发生在时时，可以写成。 （2.8）中的第二章 拉普拉斯变换当其发发生在当A1时时的斜坡函数称为单为单 位斜坡函数，如图图2.2(a)所示，表示。发发生在tt0时时的单单位斜坡函数通常写成如图图2.2(b)所示。当高度为为A的斜坡函数，即式（2.12）中的时时，可以写成。 用，00图2.2 单位斜坡函数(a) (b) 斜率1斜率1（2.13） 第二章 拉普拉斯变换单位斜坡函数（2.14）其拉氏变换为（2.15）（2.16

5、）(4) 正弦函数式中，A和为常数，如图2.3(a)所示。 图2.3 正弦函数和余弦函数(a)(b)00第二章 拉普拉斯变换根据欧拉公式因此，正弦函数的拉氏变换为（2.17） 类似地，（如图2.3(b)所示）的拉氏变换可以导出如下：（2.18）式中，A和t0为常数。(5) 脉动函数（2.19）第二章 拉普拉斯变换这里的脉动函数可以看做是一个从t0开始的高度为A/t0的阶跃函数，与另一个从tt0开始的高度为A/t0的负阶跃函数叠加而成，如图2.4所示，即（2.20）图2.4 脉动函数0其拉氏变换为（2.21）第二章 拉普拉斯变换其拉氏变换为：（2.23）当面积积A=1的脉冲函数称为单为单 位脉冲

6、函数，或称为为狄拉克(Disac)函数，如图图2.5(a)所示，用表示。发发生在t = t0处处的表示，如图图2.5(b)所示。此时时，单位脉冲函数通常用脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况。（2.22）(6) 脉冲函数第二章 拉普拉斯变换满满足下列条件： (b) 图2.5 单位脉冲函数(a) 00（2.24）量值为无穷大且持续时间为零的脉冲函数纯属数学上的一种假设，而不可能在物理系统中发生。但是，如果系统的脉动输入量值很大，而持续时间与系统的时间常数相比较非常 小时，可以用脉冲函数去近似地表示脉动输入。 第二章 拉普拉斯变换当描述脉冲输入时，脉冲的面积大小是非常重要的，而脉冲的精确形状通常并

7、不重要。脉冲输入量在一个无限小的时 间内向系统提供能量。 相反，如果对单位脉冲函数积分（2.26） 单位脉冲函数可以看作是单位阶跃函数在间上的导数，即断点（2.25）积积分的结结果就是单单位阶跃阶跃 函数。 第二章 拉普拉斯变换利用脉冲函数的概念，我们可以对包含不连续点的函数进行微分，从而得到一些脉冲，这些脉冲的量值等于每一个相应的不连续点上的量值。式中，A为常数。(7) 加速度函数 （2.27）其拉氏变换为（2.28）当时时的加速度函数称为单为单 位加速度函数，如图图2.6(a)表示。发发生在tt0时时的单单位加速度函数通常写所示，用第二章 拉普拉斯变换 ，如图图2.6(b)所示。 成0图2

8、.6 单位加速度函数(a) (b) 8 6 4 21 2 3 4单单位加速度函数（2.29）其拉氏变换为（2.30） 第二章 拉普拉斯变换2. 关于拉氏积分下限的说明 在某些情况下，如果时间时间 函数在t0处处有一个脉冲函数 ，必须须明确地指出拉氏积积分的下限是0还还是0。 （2.31），则在t0处包含一个脉冲函数如果时间函数因为在这种情况下（2.32）显显然，如果在t0处处不具有脉冲函数，则有（2.33） 第二章 拉普拉斯变换2.2 拉氏变换的性质2.2.1 线性性质 线性性质也称叠加性，即函数之和的拉氏变换等于各函数拉氏变换之和。当函数乘以K时，其变换式也乘以相同的常数K。这个性质的数学描

9、述为若 ,。K1、K2为常数时，则证明：（2.34）这个性质表明了函数线性组合的拉氏变换等于各函数拉氏变 换的线性组合。 第二章 拉普拉斯变换解 根据欧拉公式而由拉氏变换的线性性质可知【例2.1】求的拉氏变换。用同样的方法可求得第二章 拉普拉斯变换若 ，则式中，是在t=0时的初始值。2.2.2 微分性质（2.35）对于给定的时间函数，其和的值可能相同，也可能不同，如图2.7所示。00图2.7 在t0和t0时，阶跃函数 和正弦函数的初始值在t0处具有间断点时， 和之间的差别很重要，因为在这种情况下df (t)/dt在t0处将当第二章 拉普拉斯变换证明：根据拉氏变换的定义，有对右端积分利用分部积分

10、法，可得这个性质表明了一个时间函数f (t)求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以s，再减去这个函数的初始值f (0)。即，则式（2.35）必须修改包含一个脉冲函数为：（2.36）第二章 拉普拉斯变换的n阶导数微分性质的对于上述的一阶导数的微分性质可以推广到高阶导数。 （2.37）式中，是df (t)/dt在t0时的值。其证明为：重复上述过程，可导出时间函数（2.38）一般公式：式中是r阶导阶导 数在t0时时的值值。 第二章 拉普拉斯变换及其各阶导数的所有初始值全都等于零，则的各阶导数的拉氏变换存在，应当指出，为了保证（2.39）dnf (t)/dtn (n1，2，3，)必须是可以进行拉氏

11、变换的。如果【例2.2】求余弦函数的拉氏变换。解 由于正弦函数的拉氏变换第二章 拉普拉斯变换根据拉氏变换的微分性质，余弦函数的拉氏变换可以求得【例2.3】求以下微分方程的拉氏变换，已知其各阶导数的初始值为零。解 利用公式（2.38），对上式两端取拉氏变换，得化简得第二章 拉普拉斯变换在t0处包含一个脉冲函数，则2.2.3 积分性质若 ，则（2.40）是在t=0的值。式中，与前类似，如果。则式（2.40）必须作如下修正：（2.41）证明：借助部分积分法进行积分，得第二章 拉普拉斯变换所以如果积分的初值为零，则（2.42）同理，对于的多重积分的拉氏变换，有第二章 拉普拉斯变换（2.43）式中，,

12、为的各重积分在t=0时的值。，则有（2.44） 如果即原函数的n重积分的拉氏变换等于其象函数F(s)除以sn。第二章 拉普拉斯变换 【例2.4】求图2.8(a)所示的时间函数的拉氏变换。图2.8 时间函数f(t)、f(t)和f(t) 的波形 解 时间函数f (t)的一阶、二阶导数如图2.8(b)、(c)所示。其中f(t)的二阶导数为由于，由位移和线性性质得由积分性质式（2.44）得第二章 拉普拉斯变换若 ，则此性质表明：时间函数乘以，相当于变换式在复频域内2.2.4 位移性质（2.45）平移。证明：根据拉氏变换的定义，即式（2.3）得由此看出，上式的右方只是在F(s)中把s换成s +，所以第二

13、章 拉普拉斯变换【例2.5】求和解 已知 由拉氏变换的位移性质同理，因故有的拉氏变换。第二章 拉普拉斯变换若 ，则证明：令2.2.5 延迟性质（2.46）则，代入上式得第二章 拉普拉斯变换例如延迟迟t0时间时间 的单单位阶跃阶跃 函数其拉氏变换为变换为。 图2.9 函数f(t)u(t)和函数f(tt0)u(t t0)00此性质质表明：如图图2.9所示的时间时间 函数f(t)u(t)，若在时间轴时间轴 上延迟t0得到时间函数，则则它的拉氏变换应变换应 乘以。第二章 拉普拉斯变换又可以表示为【例2.6】已知，, 求的拉氏变换.根据拉氏变换的延迟性质，得因为根据拉氏变换的线性性质，得解 因为所以第二

14、章 拉普拉斯变换若 ，则证明：令，则上式变成2.2.6 尺度变换（2.47）解 此题既要用到尺度变换，也要用到延迟性质。 【例2.7】已知，若a 0，b 0，求。由延迟性质得第二章 拉普拉斯变换再由尺度变换，即可求得所需的结果另解 先用尺度变换，再借助延迟性质。这时首先得到然后由延迟性质求出也即两种解法其结果一致。第二章 拉普拉斯变换若 ，且存在，则或 （2.48）2.2.7 初值定理、终值定理 1. 初值定理证明： 根据拉氏变换的微分性质，有令，对等式两边取极限，得在时间区间内，因此等式左边为第二章 拉普拉斯变换利用初值定理，我们可以从的拉氏变换，直接求出在t0+时的值。虽然初值定理不能严格

15、地给出t0时的于是 即值，但是能够给出时间略大于零时的值。若时间函数及其一阶导数都是可拉氏变换的, 而 且存在，则2. 终值定理，（2.49）第二章 拉普拉斯变换证明： 根据拉氏变换的微分性质，有令，对等式两边取极限，得等式左边为于是 第二章 拉普拉斯变换的稳态值与复频域中s0附的值相同。因此，时的值可以直接从在终值定理表明：时间函数利用该该性质质，可在复频频域中得到控制系统统在时间时间 域中的稳态值稳态值 ，利用该该性质还质还 可以求得控制系统统的稳态误稳态误 差。 近的得到。特别别指出：运用终值终值 定理的前提是时间时间 函数有终值终值 存在的所有极点位于左半s平面）。 （即第二章 拉普拉斯变换【例2.8】已知，求和解 由于 由初值定理，得由终值定理，得。第二章 拉普拉斯变换由象函数F(s)求原函数f (t)，可根据式（2.4），即的拉氏逆变换公式计算，简写为。2.3 拉氏逆变换t0对于简单的象函数，可直接应用拉氏变换对照表，查出相应的原函数。 对于有理分式这类复杂象函数，通常先用部分分式展开法(也称海维赛德展开定理)，将复杂函数展开成简单函数的和，再应用拉氏变换对照表，即可写出相应的原函数。第二章 拉普拉斯变换解 【例2.9】试求的拉氏逆变换第二章 拉普拉斯变换在一般机电控制系统中，通常遇到如下形式的有理分式式中，系数a1，a2，an，b1，b2，bm都是实常数；m，