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1、 例 某电视机厂生产三种型号的35厘米(14英寸) 彩电TC-1、TC-2、TC-3,它们的主要零部是:S1(显 像管)、S2(电路板)、S3(扬声器)、S4(机壳)，而这 些零部件的主要原材料为：M1(铜)、M2(玻璃)、 M3(塑料)。生产不同型号的彩电所需零部件的数量 以及生产不同的零部件所需原材料的数量 在下列两表中给出:上述两个数表可简记为一、矩阵的基本概念定义 mn个数构成的m行n列的矩形数表称为mn 矩阵，简记为 ；其中,是矩阵 的第i行,是 aijmn的第j列。因此，aij 位于 aijmn 的第i行j列称之为矩阵 的 (i,j)-元。行矩阵：只有一行的矩阵列矩阵：只有一列的矩
2、阵零矩阵：全部元素均为零的矩阵，记为0注： 1阶方阵可视为数 设 是n阶方阵, 称 为A的主对角元n阶方阵：行数与列数均为n的矩阵例 某县有三个乡镇,县里决定建立一个有线电视 网。通过勘察测算，获得一组有关建设费用的预算数 据：我们也可以用矩阵的形式给出有关建设费用的预算数 据：二、矩阵的基本运算定义 设 与 是两个矩阵，若它们满足（1）m = p 且 n = q（2）aij = bij，其中i =1,2, ,m; j = 1,2, ,n则称A与B相等，记为A=B。例 某公司有三项工作需向社会临时招聘三名人员 ，这些工作必须同时进行。现有甲、乙、丙三人前来 应聘，他们对这些工作提出了各自的费用
3、要求，见下 表（单位:百元）问如何安排这三人的工作，可使公司的总付出最小？解 根据要求，这些工作需由不同的人员承担，利用上表，构造一个矩阵每一种安排方案，对应 中的3个元素，它们分属3 个不同的行与3个不同的列。每一种方案的费用即为 对应3个元素的和。于是，问题转化为：求费用最小的方案，即找 中不同行不同列的3 个元素，使它们的和最小。中不同行不同列元素的3元组共有6个，穷举如 下满足要求的3元组有两个，它们的和最小，均为176。 由此得有两种方案的总费用最少：甲工作一 甲工作三乙工作二 或 乙工作一丙工作三 丙工作二 若甲、乙、丙继续承担第二阶段工作，其费用矩 阵与完全相同，即 ，则对第一阶
4、段的最优安排方案也 是对第二阶段的最优方案。此时，总的费用矩阵为若费用矩阵与不相同，例如则总的费用矩阵为定义 设 令称矩阵C为矩阵A与矩阵B的和，记为 。定义 设 是矩阵，k是数，令称矩阵B为数k与矩阵A的数量积，记为 B= kA。称 为A的负矩阵，记为 。规定： ，称为A与B的差例 1组与2组都需要去教材科领取种类相同但数量 不同的教材，领书单简记为令Z = X + Y = 则1组按Z领回书后，通过运算交给2组应得的教材Y = ZX。例 设A = , B = , 计算2A-B性质 矩阵的加法与数量乘法具有下述性质（1） A+B=B+A（2）（A + B）+ C = A +（B + C）（3）
5、 A +（ A）= 0（4） A + 0 = A （5） 1A = A（6）（k l）A = k（l A）（7）（k + l）A = k A + l A（8） k（A + B）= k A + k B这里， A、B、C是同型矩阵， k、 l 是数。例 已知A 2B = 3A C ，其中A = ， C = 求B。例 已知平面直角坐标系 Oxy，把它逆时针绕原 点O旋转角，得到另一直角坐标系 ，相应的 坐标变换公式为对坐标系 绕原点O再逆时针旋转角，得又一坐标系 ，相应的坐标变换公式为设点P 在坐标系Oxy 中的坐标为（x, y），在坐标系中的坐标为 ，在坐标系 中的坐标为 ，则 把 变换为 ，称为
6、 的系数矩阵。把 变换为 ，称为 的系数矩阵。连续施行 ， ，可把 变换为 ，对应变换记为 ，即的系数矩阵为在解析几何及代数学中，称变换变换 为变换为变换 与的乘积积，记为记为 。对对等地，自然把 的矩阵阵C 也记为记为 A B ，即称C为A与B 的乘积。不难发现，矩阵A、B、C 的元素间有下述关系定义 设 ，令称矩阵 为矩阵 A 与矩阵 B 的积，记为 两个重要的关系式：例（1）（2） （3）例 生产彩电所需零部件的情况与生产零部件所需原材料的情况分别可用矩阵 S与 M 表示出来，S = , M =我们如何导出彩电与原材料的直接联系呢？例 某人到商店去买0.5千克糖，1千克水果，3千克面粉，
7、2.5千克大米。已知糖、水果、面粉、大米的价格分别为5元/千克、4.5元/千克、3元/千克、4元/千克，问购买这些商品要花多少钱？例 前面坐标旋转的例三个坐标变换公式可以矩阵形式表示如下：因为故 。性质 矩阵的乘法具有下述性质：（1）(AB)C = A(BC)（2）A(B+C)= AB + AC , (B+C)A = BA + CA（3）k(AB)=(kA)B=A(kB)定义 主对角元全为1、其余元素全为0的n 阶方阵称为n 阶单位矩阵，记为 或 I 。性质 对任一 mn矩阵 ，均有例 设AX=B，CA=I，其中求X。定义 设A是方阵，k是正整数，称k个A的连乘积为方阵A的k次幂，记为 ；我们
8、规定 ；称为方阵A的多项式，这里 均为常数。例 设A = ，计算 。性质 设A是方阵，k,l是非负整数，f(x)是x的一元多项式，则有（1） （2）若f(x)=g(x)h(x)，则f (A)=g(A)h(A) 这里 f (A) 表示：若f(x) = 则f (A) = 。例 设A是方阵，则例 设 ，计算 。解 因为所以猜想对n作归纳法验证此猜想：n =1，结论成立；设结论对n -1成立；下面证明结论对n也成立。根据归纳法原理，上述猜想对任意n均成立。例 设A=BC，其中计算 。解 因为 所以 例（矩阵二项式定理） 设A与B是同阶方阵，n是正整数。如果AB=BA，那么这里例 计算解 首先因为且 所
9、以注： 1一般地， AB有意义，但不一定BA也有意义 即使AB与BA都有意义，它们也不一定同型 即使AB与BA同型，它们也不一定相等例 已知矩阵等式A=B，则有2 ，这里A与B是同阶方阵 例 已知 ，而但结论 是不对的。3由AB=0不能导出A=0或B=0、4由AB=AC，A0不能导出B=C同理，由 也不能导出A=2I。例 设A、B是同阶方阵，则等式成立的充分必要条件为 AB=BA。定义 设A是mn矩阵，把A的行写成列，得到nm矩阵称之为A的转置矩阵，简称为A的转置，记为 。例 设 A是实矩阵（元素全为实数），若 ，则 A = 0。证明 令可得因 C = 0，故已知 均为实数，所以必有由此得 A=0 。性质 设A、B是任意两个矩阵，k是任意数，则有（1）（2）（3）例 设A与B是同阶方阵，则 。（4）
