04第四章_恒定磁场(定稿8学时)

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1、第4章 恒定磁场（静磁场）恒定磁场（静磁场）：由恒定电流或者永久磁体产 生的不随时间改变的磁场。恒定磁场对电流和运动着的 带电体具有作用力。恒定磁场的基本性质：无散度性和非保守性，即磁 感应强度 满足:可见， 与静电场中的电位移矢量 （或电场强度 ）具有恰好相反的性质。由于静电场的保守性，我们引 入了标量电位 的概念： ；相似地，根据静磁场的磁通连续性（即无散性）,可以引入矢量磁位 的概念：此外，在无自由电流空间（即 空间），还可以引入标量磁位 的概念： 。请同学们在头脑中形成上述各种位函数的概念。特别地，为了将静电场与静磁场中的位函数完全对应起来，还可以在静电场中引入矢量电位 的概念：静磁场

2、的矢量磁位 如同标量电位 在静电场中占有的特殊地位那样，在静磁场中也是极其重要的。4.1 磁感应强度在静电场中，为了说明问题的方便与概念的清晰，我们首先求出点电荷、面电荷及体电荷产生的电场，并继而得到高斯定理和闭合环路定理。在静磁场中，我们将采取同样的方法得到关于磁感应强度 的信息。为此，引入一个与静电场中点电荷对应的静磁场源“电流元”的概念。电流元：在线电流情况下，电流I与线元 的乘积 I面电流时：面电流元（surface-current unit）（4.11）如图所示。其中 为面电流密度。体电流时，体电流元（volume-current unit）（4.12）如图所示。其中 为体电流密度。

3、安培通过大量实验，得出真空中两个闭合线电流回路间由于闭合电流产生的恒定磁场引起的环路间的作用力，并进而得到由电流元 产生的磁场矢量 的表示式：（4.13）式中，：产生磁感应强度的源线电流元；：源点到场点的距离矢量；（从源点指向场点）：源点到场点的单位距离矢量（ ）；：真空磁导率，为 ；：电流元（ ）在场点 处的磁感应强度矢量(T)。各量之间的关系如下图示。由（4.13）式可知， 与 、 相互垂直，三者之间存在右螺旋关系，即按照右手螺旋法则，从沿小于 的角转到 时，螺旋前进的方向就是 的方向。磁感应强度（或称为磁通密度） 的单位为特斯拉 （T），此外，还用到 （韦伯/ ）和Gs（高斯）这两个单位

4、，且有：1T1 Gs将（4.1-1）或和（4.1-2）式代入式（4.1-3）式就得到面电流元和体电流元在场点P处产生的磁感应强度 为：面电流元时：（4.1-4）体电流元时： （4.1-5）实际上，真实意义上的线电流元 并不存在，因为通 过恒定电流I的导体必须是闭合的。这样，可求出闭合线电流回路C（电流为I）在场点P处 产生的 为：（4.1-6a）同理，对（4.1-4）式在曲面S上进行面积分就得到曲面S 上的电流产生的总场为：（4.1-6b）以及体积 中的电流产生的总场：（4.1-6c）利用（4.1-6a）（4.1-6c）式，原则上可以计算出任意 给定电流分布时的磁场。（毕奥沙伐定律）磁力线方程

5、： ，其中， 为磁力线上的线元 。例:求通过电流I的细园环（半径为a）在轴线上的磁场.选取如图圆柱坐标系，可尽量简化计算。电流元为：由电流元分布的对称性可知，轴线上任意点的磁场只有轴向分量 .4.2 恒定磁场对运动电荷的作用力磁场对运动电荷的作用力包括两个方面的内容：1、磁场对传导电流（闭合线电流、面电流、体电流）的作用力安培力（Ampere force）2、磁场对以速度 运动着的空间电荷q的作用力洛仑兹力（Lorentz force），即对运流电流的作用力下面分别讨论之。4.2.1 磁场对传导电流的作用力（安培力）假设空间中已存在磁场分布 （不论是由闭合电流回路或面电流、体电流或者它们的组合

6、产生的），则该空间中一个线电流元 受到的该磁场的作用力为：（4.2-1a）式中各量单位均采用国际单位制，即 ：牛顿，I：安培、 ：特斯拉同理，空间中一个面电流元 受到的磁场力为：（4.2-1b）以及体电流元 受到的磁场力为：（4.2-1c）如果上述各种电流元分别是组成闭合电流回路C、面电流 以及体电流的单元，则整个回路或面电流、体电流受到的磁场 力（安培力）为：线电流： （4.2-2a）面电流： （4.2-2b）体电流： （4.2-2c）注意；在上述三式中，均是对场点进行积分，而在（4.1-6a ）（4.1-6c）三式中，均是对源点坐标进行积分的，这一点应 特别明确，不得混淆。特别地，对于线电

7、流情形（场、源均为闭合电流环 ， 环路分别为 ），（4.2-2a）式变为：（4.2-3）上式中的被积函数可以理解为场源 对场点处的电流元的作用力： 同理, 对 的作用力为:即:两电流元之间的作用力不一定满足牛顿第三定律。但两个电流回路之间的相互作用力满足：4.2.2 电磁场对运动电荷q的作用力（洛仑兹力）我们把以速度 运动着的电荷q看成是组成体电流的全部，这样，在（4.2-1c）式中，由于有所以这时磁场对电荷q的作用力为：（4.2-4）当空间还存在电场 时，运动电荷q还受到电场力，因此空间电荷q受到的总力为： （4.2-5）4.3 恒定磁场的基本方程与静电场的基本方程相似，在静磁场中我们也讨论

8、 对任意闭合面的面积分 和对任意闭合回路的线积分 所具有的性质。（即从 的散度与旋度两方面考查静磁场）。首先，定义“磁通”如下：即磁感应强度 穿过曲面S的通量。单位：韦伯（Wb）设闭合回路 （电流为I）在空间产生的磁场为 ，则 穿过一个任取的闭合曲面S的通量为：（4.3-1） 考虑：当场源电流为体电流时，有何结论？由于 (高斯定理)以及闭合面S为任取的（从而体积 为任意的），所以有： （4.3-2） （ 4.3-1）、（4.3-2）式所表示的关系作为静磁场的两个基本方程中的一个，表明静磁场是无散场，亦即 的通量总是连续的，说明从闭合面S的一侧穿进的 ，总有等量的 从闭合面S的另一侧穿出。即磁感

9、应线总是一些闭合的曲线。下面计算 沿闭合回路的线积分。此处，为了方便计算，我们采取先求 的旋度所满足的微分方程，然后再利用斯托克斯定理得到 的闭合线积分所满足的关系。 当求解 时，由于必须在 连续的区域才能进行微分运算，为此选定由体电流密度分布 在场点 处产生的磁场 为研究对象。根据4.1中（4.1-6c）式，可以写出这时的磁感应强度 为： (4.3-3) 注意，此式中， 表示场点矢径，表示源点矢径（体电流源）, 式中的体积分是对源点坐标进行的， 是体电流所分布的区域（场源区域） 由于所以,（4.3-3）式可改写为：(4.3-3)对上式两边取旋度，并运用恒等式： 得：以及：（4.3-4）为了得

10、到上式所对应的积分形式，可以在该磁场区域内任意取一个曲面S，其周界为闭合曲线C，并运用斯托克斯定理，得：式（4.3-4）、（4.3-5）就是静磁场的另一个基本方程，称为安培环路定律。 的旋度不为零，表明磁场存在着“漩涡源” ，即磁场不是保守场，在一般情况下， 不能用一个标量函数（标量位）的梯度来表示。（4.3-5）即：注意：在（4.3-5）式中， 表示穿过曲面 S的电流的代数和(包括传导电流、运流电流、 束缚电流)，且电流的正方向与曲面S的周界C的绕行方向之间存在右手螺旋关系，如左图示：这样，我们就得到了真空中恒定磁场所满足的基本方程：微分形式 积分形式在某些特殊电流分布情况下，例如I或 呈某

11、种对称性时，可以用安培环路定律直接求解磁场，而不需要使用诸如（4.1-6）式来求解。可参见教材上的例题。请同学们证明：在体电流 分布下，有4.4 矢量磁位与标量磁位在上一节证明安培环路定律的时候，我们曾利用矢量恒等式得到了在体电流密度 分布时，场点处的磁感应强度 的另一个表达式：（4.4-1）由上式可知， 可以用一个矢量函数的旋度来表示。因此，定义矢量位函数 ，使：则称 为矢量磁位，且有（4.4-2a）的单位为 或韦伯/米 ，它是一个没有物理意义的辅助矢量，其作用如同静电场中引入电位一样。在磁场中引入矢量磁位，可以使磁场问题的计算得到简化。通过比较静电场和静磁场的方程，可以清楚地看到 的相似之

12、处。 静电场（体电荷分布时） 静磁场（体电流分布时）由上述对比可以看到， 对静磁场所起的作用，与 对静电场的作用相似。因为我们是从 来定义矢量磁位 的，而由亥姆霍兹定理可知，要完全确定矢量场 还必须知道它的散度 ，但是 的散度却具有任意性。因为如果在 上再加上一个任意标量函数 的梯度，是不会影响 的，即：所以，给定 后， 可以按下式自由变换，（称为规范变换）在静磁场中，常取（称为库仑规范）根据体电流分布时 的表达式（4.4-2a），可以写出对于面电流和线电流分布时，矢量磁位 的表示式：面电流： （4.4-2b）线电流： （4.4-2c）由（4.4-2a）（4.4-2c）可知，电流元产生的矢量磁

13、位可以由以下三式计算：体电流元 ： （4.4-3a）面电流元 ： （4.4-3b）线电流元 ： （4.4-3c）可见，电流元的矢量磁位 总是与该电流元平行的。将 代入安培环路定律的微分表达式 中，得：由于 （库仑规范），故有：（4.4-4a） 当 （即无源区域），有：（4.4-4b）上述两式分别称为矢量磁位的泊松方程与拉氏方程。在直 角坐标系中，（4.4-4a）式可写成分量的形式（其它坐标系中不能这样写出，而必须按 展开并代入 才 能得到 的表达式）：（4.4-5）即 的每个直角坐标分量 ，都满足标性泊松方程，该 方程的解形为：可见，给定电流分布后，就可利用（4.4-2）式，或（4.4-4）式，或（4.4-5）式求得 ，再由 即可求得 。这样做，常常比直接由（4.1-6）式计算积分要容易一些。此外，还可以利用 直接计算 通过任一曲面S的磁通量：（4.4-6）其中，C是曲面S的周界。以下推导标量磁位 在4.3节中，我们得到了安培环路定律的微分形式：上式表明， 不是保守场。在一般情况下， 不能用一个标 量函数的梯度来表示。但是，在电流为零的区域，却有：所以，在电流分布为零的区域， 可以用一个标量函数的梯 度表示，即：式中， 称为标量磁位。将上式代入 中，得：所以，标量磁位 满足拉氏方程，且是一个多值函数。下面 以线电流回路所产生的磁场来证明这一结论。线电流回路产生的磁感应强