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1、分数的初步认识分数的初步认识课例分析课例分析 兼谈兼谈多元表征问题多元表征问题曹新曹新 1397078751713970787517 案例分析：吴正宪老师的一个课例案例分析：吴正宪老师的一个课例吴正宪吴正宪. .分数的初步认识分数的初步认识课堂实录课堂实录. .教育的理论与实践教育的理论与实践,2007,9,B,2007,9,B前言前言 分数是小学数学的核心概念，是代数学习分数是小学数学的核心概念，是代数学习 的基础。的基础。 为了帮助学生更好地理解分数，课程标准为了帮助学生更好地理解分数，课程标准 及教科书将分数的学习分别安排在：第一学及教科书将分数的学习分别安排在：第一学 段段三年级（分数
2、的初步认识），第二学三年级（分数的初步认识），第二学 段段五年级（分数的意义和性质）。五年级（分数的意义和性质）。 由于分数难学，多次引起各方面的讨论甚至争论由于分数难学，多次引起各方面的讨论甚至争论 。争论的焦点主要集中在五年级分数的意义，并将。争论的焦点主要集中在五年级分数的意义，并将 其作为一个重要的研究论题。其作为一个重要的研究论题。 相对而言，由于分数的初步认识，多半从相对而言，由于分数的初步认识，多半从“ “切大饼切大饼 ” ”或或“ “分蛋糕分蛋糕” ”开始的，即借助于直观模型（面积模型开始的，即借助于直观模型（面积模型 、数线模型）初步理解分数刻画的、数线模型）初步理解分数刻画
3、的“ “部分部分整体整体” ”之之 间的比率关系（作为间的比率关系（作为“ “率率” ”的分数），教学内容与教的分数），教学内容与教 学方法没有太大的异议。学方法没有太大的异议。 对对分数的初步认识分数的初步认识学习的调查却显示：通过学习的调查却显示：通过 近距离的课堂观察，发现近距离的课堂观察，发现在理所当然且习以为在理所当然且习以为 常的操作活动中，学生并非按我们的预想在进行数常的操作活动中，学生并非按我们的预想在进行数 学思考。学思考。 反思：在问题情境中，学生真正体会到学习分数反思：在问题情境中，学生真正体会到学习分数 的必要性了吗？在顺利的操作活动中，学生在进行的必要性了吗？在顺利的
4、操作活动中，学生在进行 数学本质的思考吗？如果学生在情境、活动中没有数学本质的思考吗？如果学生在情境、活动中没有 经历真实的数学思维过程，那么理解又何以产生？经历真实的数学思维过程，那么理解又何以产生？ 数学学习心理的研究表明，理解概念的关键在于数学学习心理的研究表明，理解概念的关键在于 将数学概念的抽象定义的含意转换成易于学生理解将数学概念的抽象定义的含意转换成易于学生理解 和运用的适当的心理表象。和运用的适当的心理表象。 转换：是将抽象概念与学生已有知识经验建立有转换：是将抽象概念与学生已有知识经验建立有 层次的联系：引导学生在概念的抽象定义、半抽象层次的联系：引导学生在概念的抽象定义、半
5、抽象 模型（或操作）、具体原型（或活动）之间进行寻模型（或操作）、具体原型（或活动）之间进行寻 找意义与数学化的过程。找意义与数学化的过程。 数学化与寻找意义数学化与寻找意义- -数学教学的基本活动数学教学的基本活动自左至右：数学化自左至右：数学化 自右至左：寻找意义自右至左：寻找意义实物操作实物操作表象操作表象操作抽象操作抽象操作分豆子分豆子 （具体）（具体）脑中分豆子脑中分豆子 （半具体、半抽象）（半具体、半抽象）算式运算算式运算 （抽象）（抽象）（数学化）（数学化）（寻找意义）（寻找意义） 换句话说，学习者需要通过内化概念的多换句话说，学习者需要通过内化概念的多 种表达形式并与已有的内在
6、表象发生相互作种表达形式并与已有的内在表象发生相互作 用，以此促进或影响学习者的数学理解。用，以此促进或影响学习者的数学理解。 理解概念涉及：概念的丰富表达形式理解概念涉及：概念的丰富表达形式 外在表征，概念的心理表达（表象）外在表征，概念的心理表达（表象）内内 在表征，以及内外表征之间的转换。在表征，以及内外表征之间的转换。 内容框架内容框架1 1 分数学习的难点与前概念分数学习的难点与前概念2 2 分数初步认识分数初步认识的教学流程的教学流程33分数的初步认识分数的初步认识课例分析课例分析1 1 分数学习的难点与前概念分数学习的难点与前概念 义务教育数学课程标准（义务教育数学课程标准（20
7、112011版）对版）对分数的初分数的初 步认识步认识的要求是：能结合具体情境初步理解分数的要求是：能结合具体情境初步理解分数 的意义，能读、写分数，能比较两个同分母分数的的意义，能读、写分数，能比较两个同分母分数的 大小；能运用分数表示日常生活中的一些事物，并大小；能运用分数表示日常生活中的一些事物，并 进行交流。进行交流。 教材的目标定位：主要利用直观的方式，使学生教材的目标定位：主要利用直观的方式，使学生 通过折一折、涂一涂等动手操作的方式，初步理解通过折一折、涂一涂等动手操作的方式，初步理解 分数的意义，掌握分数的大小。分数的意义，掌握分数的大小。 实现上述目标，一要分析教学内容，以充
8、分了解实现上述目标，一要分析教学内容，以充分了解 分数学习的困难之处；二要分析学情，以找准教学分数学习的困难之处；二要分析学情，以找准教学 的出发点：学生已有的知识经验。的出发点：学生已有的知识经验。 分数学习的难点分数学习的难点 一直以来，在学生的心目中并不承认分数一直以来，在学生的心目中并不承认分数 是个是个“ “数数” ”，是个，是个“ “结果结果” ”。 其一，分数并非其一，分数并非“ “十进制十进制” ”，这是与整数及其运算的最大差，这是与整数及其运算的最大差别。别。 其二，其二，引入分数是为了表示引入分数是为了表示“ “量量” ”，但，但“ “几分之一几分之一” ”表示的却表示的却
9、 是部分与整体之间的是部分与整体之间的“ “比率比率” ”。其三，分数所能表示的其三，分数所能表示的“ “量量” ”有更易于学生接受的替代物有更易于学生接受的替代物 小数，分数所能表示的小数，分数所能表示的“ “比率比率” ”也有更易于学生接受的替代物也有更易于学生接受的替代物百分数与比（这些后续学习的内容在生活中却先接触）。百分数与比（这些后续学习的内容在生活中却先接触）。 其四，分数反映了数学概念的二重性：其四，分数反映了数学概念的二重性：既表现为一种过程操作既表现为一种过程操作先分，把一个先分，把一个 对象平均分，分之后就确定了分母，就创造对象平均分，分之后就确定了分母，就创造 了一个分
10、数单位。然后再取一份或几份，即了一个分数单位。然后再取一份或几份，即 是数有多少个单位，也就是确定分子；又表是数有多少个单位，也就是确定分子；又表 现为对象、结构现为对象、结构a a/ /b b。这种兼具算法与结果的特点这种兼具算法与结果的特点, ,给学生带来很给学生带来很 大的认知负荷，影响着他们的认知加工。大的认知负荷，影响着他们的认知加工。 学生已有的知识经验学生已有的知识经验 一是具备一是具备“ “平均分平均分” ”的认识。缺乏的是进一的认识。缺乏的是进一 步的认识步的认识逆向思维，以及由此引出新数逆向思维，以及由此引出新数 分数的意识。分数的意识。 具有诸多与具有诸多与“ “分数学习
11、分数学习” ”有关的操作体验，有关的操作体验， 学生缺乏的是探究操作活动中蕴含的数学知学生缺乏的是探究操作活动中蕴含的数学知 识识所取的份数与整体的所取的份数与整体的“ “比率比率” ”关系。关系。 2 2 分数初步认识分数初步认识的教学流程的教学流程 两种设计思路都没有探讨以下问题：两种设计思路都没有探讨以下问题： 课文呈现的分数外在表征之间有没有层次性？若课文呈现的分数外在表征之间有没有层次性？若 有，怎样在教学中加以体现？有，怎样在教学中加以体现？ 分数的外在表征有哪些类型？类型之内、类型之分数的外在表征有哪些类型？类型之内、类型之 间有怎样的关系？这些关系对教学设计有怎样的要间有怎样的
12、关系？这些关系对教学设计有怎样的要 求？求？ 分数的外在表征与内在表征有怎样的关系？这种分数的外在表征与内在表征有怎样的关系？这种 关系对于分数的学习设计有怎样的启发？关系对于分数的学习设计有怎样的启发？33分数的初步认识分数的初步认识课例分析课例分析 这堂课的教学设计有什么特点？这堂课的教学设计有什么特点？ 这堂课的师生对话有什么特点？这堂课的师生对话有什么特点？ 对这堂课你想提哪些改进建议？对这堂课你想提哪些改进建议？一、教学设计一、教学设计：为学生的发展而教为学生的发展而教 巧选素材，让学生走进数学巧选素材，让学生走进数学西游西游记记记记故事故事“ “如何表示一半如何表示一半” ”？ 怎
13、怎样样样样分月分月饼饼饼饼引入分数概念引入分数概念 读图识读图识读图识读图识 分数分数加深加深对对对对分数概念的理解分数概念的理解 创设机会，让学生创造数学创设机会，让学生创造数学 折折纸纸纸纸表示分数、表示分数、讨论讨论讨论讨论 分数分数 辩论辩论辩论辩论 揭示分数概念的核心揭示分数概念的核心 用分数用分数说说说说一句一句话话话话揭示分数与生活的揭示分数与生活的联联联联系系 注重学法，让学生学会学习注重学法，让学生学会学习学会将新知与生活学会将新知与生活经验经验经验经验 、已有知、已有知识经验识经验识经验识经验 相相联联联联系系 学会在在操作、学会在在操作、实实实实践活践活动动动动中中认识认
14、识认识认识 、理解知、理解知识识识识 学会学会倾倾倾倾听、独立思考、善于合作交流听、独立思考、善于合作交流 学会用所学知学会用所学知识识识识解解释释释释生活中的生活中的现现现现象象二、师生对话特点二、师生对话特点 以低层次（回忆、理解）提问为多、为辅以低层次（回忆、理解）提问为多、为辅 ，以高层次（应用、分析、评价、综合）提，以高层次（应用、分析、评价、综合）提 问为少、为主；问为少、为主； 教学中的主问题教学中的主问题6 6个设置为高层次问题；个设置为高层次问题； 对主问题的探讨注意了两种层次的问题的对主问题的探讨注意了两种层次的问题的 结合；结合； 辅助性问题设置不多，学生在较高的认知辅助
15、性问题设置不多，学生在较高的认知 水平上开展学习。水平上开展学习。三、对课例的几点看法三、对课例的几点看法1. 1.教学目标叙写的存在的问题教学目标叙写的存在的问题 2. 2.情境的创设存在问题情境的创设存在问题 3. 3.分数是分数是“ “量量” ”还是还是“ “数数” ”？ 4. 4.对分数有无限多个的探讨对分数有无限多个的探讨 5. 5.为什么为什么“ “1/2”1/2”比其他的表示更科学、简便？比其他的表示更科学、简便？ 6.“6.“如何表示一半如何表示一半” ”？为什么将学生过早、为什么将学生过早、 过多地限制于符号表征一种方式？过多地限制于符号表征一种方式？1. 1.教学目标叙写的存在的问题教学目标叙写的存在的问题 没有体现三维目标没有体现三维目标 教学目标的主体混乱教学目标的主体混乱 怎样写才能好一些？怎样写才能好一些？ 知知识识识识与技能目与技能目标标标标：会会读读读读、写分数，、写分数，说说说说出分数各部分的名出分数各部分的名 称，理解几分之一的具体含称，理解几分之一的具体含义义义义。过过过过程程与方法目与方
