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1、2010届高考数学复习 强化双基系列课件 15函数的应用 数学建模能力与数学实践能力 实际问题数学化 1.熟悉问题提供的背景； 2.能阅读理解对问题进行陈述的材料；3.能运用数学知识、思想和方法分析题设中各类数量的关 系及联系, 构建数学模型, 将实际问题转化为数学问题；4.运用已有知识, 选择合理的途径解答问题, 解答后还要 回归实际背景, 判定解的合理性. 程序图实际问题抽象概括数学模型求解数学模型实际问题的解运用数学知识思想、方法还原、检验审 题1.读题先通读, 分清哪些是为了说明现象或叙述问题的实际背景 的描述性词语, 哪些是为抽象数学问题而给出的数量与关系.2.翻译应用题化为数学问题
2、的关键在于对语言的理解与转换. 包 括: 对陌生名词、概念的领悟；把文字叙述语言、图形语言、 数学符号语言三者进行等价转化.3.挖掘应用题中的因果关系和内在规律常有隐蔽性, 需要挖掘题 目中蕴涵的数字信息, 这也是解应用题的难点.应用题分类1.用料最省、造价最低、利润最高等最优化问题； (函数) 2.数量间的相等或不等关系, 如人口控制、资源保护等； (方程、不等式) 3.增长率，如存款利息、人口增长等； (数列)(解析几何)(立体几何)4.运行轨道、拱桥形状等；5.几何体的形状、面积、体积等；6.排列组合、概率. 解答函数应用题的一般步骤1.阅读理解材料读懂题目所叙述的实际问题的意义, 接受
3、题目所约定的临 时定义, 理顺题目中的量与量的数量关系、位置关系, 分清变 量与常量；2.建立函数模型正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数, 建 立目标函数关系式(关键是抓住某些量之间的相等关系列出函 数式), 注意不要忘记考察函数的定义域；3.求解函数模型讨论变量及函数模型的有关性质(单调性).典型例题例1 某厂今年 1 月, 2 月, 3 月生产某种产品分别为 1 万件, 1.2 万件, 1.3 万件. 为了估测以后每个月的产量, 以这三个月的产量 为依据, 用一个函数模拟该产品的产量与月份 x 的关系, 模拟函 数可选用二次函数或函数 y=abx+c(其中a, b, c为常数)
4、. 已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件, 请问, 用以上哪个函数作为模 拟函数较好? 并说明理由. 解: 设 f(x)=px2+qx+r(p0)则由 f(2)=1.2 即 4p+2q+r=1.2 得: f(1)=1 f(3)=1.3 9p+3q+r=1.3 p+q+r=1 p=-0.05 q=0.35 r=0.7 f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7. f(4)=-0.0542+0.354+0.7=1.3(万件) 又由 g(x)=abx+c 可得:ab+c=1 ab2+c=1.2 ab3+c=1.3 g(2)=1.2g(1)=1g(3)=1.3即 g(4)=-0.80.54+
5、1.4=1.35(万件) 而 4 月份的产量为 1.37 万件, 故由 , 比较可知, 用 y=abx+c 作为模拟函数较好.解得: a=-0.8 b=0.5 c=1.4 g(x)=-0.80.5x+1.4.例2 一家报刊摊主从报社买进晚报的价格是每份 0.20 元, 卖 出的价格是每份 0.30 元, 卖不掉的报纸还可以以每份 0.08 元的 价格退回报社. 已知在一个月(以30天计算)里, 有 20 天每天可 卖出 400 份, 其余 10 天每天只卖出 250 份, 但每天从报社买进的 份数必须相同. 问该摊主每天从报社买进多少份, 才能使每月获 得的利润最大? 并计算该摊主一个月最多可
6、赚得多少元. 解: 设每天从报社买进 x 份(250x400), 则每月共销售 (20x+10250) 份, 又卖出的报纸每份获利 0.10 元, 退回的每份亏损 0.12 元, 退回报社 10(x-250) 份,依题意, 每月获得的利润 f(x)=0.10(20x+10250)-0.1210(x-250)=0.8x+550. f(x) 在 250, 400 上是增函数, 答: 该摊主每天从报社买进 400 份时, 才能使每月获得的利润 最大, 当 x=400 时, f(x) 取得最大值, 最大值为 870. 一个月最多可赚 870 元. 例3 某村计划建造一个室内面积为 800m2 的矩形菜
7、温室, 在 温室内, 沿左右两侧与后侧内墙各保留 1m 宽的通道, 沿前侧内 墙保留 3m 宽的空地. 当矩形温室的边长各为多少时, 蔬菜的种 植面积最大? 最大种植面积是多少? 解: 设矩形温室的左侧边长为 a m, 后侧边长为 b m, 则 ab=800, 蔬菜的种植面积 S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8 =808-2(a+2b). =648.仅当 a=2b, 即 a=40, b=20 时取等号. 故当 a=40(m), b=20(m) 时, ymax=648(m2).S808-4 2ab答: 当矩形温室的左侧边长为 40m, 后侧边长为 20m 时, 蔬菜 的种植面积最大,
8、 最大种植面积为 648 m2. 解: 依题意得:于是框架用料长度故当 x 约为 2.343m, y 约为 2.828m 时, 用料最省. xy+ x =8, 1 2x 2 y= - (060 时, f(x)=460+0.1620x+(x-60)8=11.2x-240. f(x)= 7.2x (060). 当 060 时, 由 f(x)=g(x) 得: x=150. 又当 60150 时, f(x)g(x). 故上网时间小于 150 小时, 调整前的上网费用高; 上网 150 小时, 调整前后的费用一样高; 上网时间超过 150 小时, 调整后的上网费用高.例7 某地区上年度电价为 0.8 元
9、/kwh, 年用电量为 a kwh, 本 年度计划将电价降到 0.55 元/kwh 至 0.75 元/kwh 之间, 而用户 期望电价为 0.4 元/kwh. 经测算, 下调电价后新增的用电量与实 际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k), 该地区电力 的成本价为 0.3 元/kwh. (1)写出本年度电价下调后, 电力部门 的收益 y 与实际电价 x 的函数关系式; (2)设 k=0.2a, 当电价最低 定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%? ( 注: 收益=实际用电量(实际电价-成本价).解: (1)依题意, 0.55x0.75, 本年度用电量为: a+下调电价后新增
10、用电量为:x-0.4 k . x-0.4 k , 依题意得: y=(a+ )(x-0.3), x-0.4 k 故所求函数关系式为: y=(a+ )(x-0.3), 0.55x0.75.x-0.4 k (2)当 k=0.2a 时, y=(a+ )(x-0.3), x-0.4 0.2a 依题意 (a+ )(x-0.3)0.5a(1+20%), x-0.4 0.2a 整理得: 10x2-11x+30. 解得: x0.5 或 x0.6. 0.55x0.75, 0.6x0.75, 最低电价应定为 0.6元/kwh.例8 某摩托车生产企业, 上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆, 出厂价为 1.2
11、万元/辆, 年销售量为 1000 辆. 本年度为 适应市场需求, 计划提高产品档次, 适度增加投入成本. 若每 辆车投入成本增加的比例为 x(00, 00, 0bc2, 因而 a-bcva-bc20. 也即当 v=c 时, 全程运输成本 y 最小. 综上所述, 为使全程运输成本 y 最小, 若 c, 则当 v= 时, 全程运输成本 y 最小; babac-v0, c, ba若 c, 当 v(0, c 时, 有: bas( +bv)- s( +bc)avac=s( - )+(bv-bc)avac故s( +bv)s( +bc), avac当 c 时, 行驶速度为 c 千米/小时. ba当 c 时,
12、 行驶速度为 千米/小时; ba ba例10 某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为 40 元/个, 出厂价为 60 元/个, 日销售量为 1000 个. 为适应市场需求, 计划提高蛋糕档 次, 适度增加成本. 若每个蛋糕成本增加的百分率为 x(00, 00, 0b0, 记 h= a2-b2 , 设 P 的坐标为 (0, y), 则 P 到三镇距离的平方和 f(y)=2(b2+y2)+(h-y)2=3(y- )2+ h2+2b2 . 2 3h 3 当 y= 时, 函数 f(y) 取得最小值. h 3 点 P 的坐标是(0, a2-b2 ). 1 3故当 y=y* 时, 函数 g(y) 取最小值. (2)
13、解法一 P 到三镇的最远距离是 g(y)= b2+y2 |h-y| b2+y2 |h-y| 时, b2+y2 b, 故当 y=0 时, 函数 g(y) 取最小值. 当 a22b2 时, P 点在原点. 综上所述, 当 a22b2 时, P 点在(0, )处; a2-2b2 2 a2-b2 故当 y=y* 时, 函 数 g(y) 取最小值. (2)解法二 P 到三镇的最远距离是 g(y)= b2+y2 |h-y| b2+y2 |h-y| 时, b2+y2 |h-y| 时. 由 b2+y2 |h-y| 解得: y . h2-b2 2h 记 y*= , 则 h2-b2 2h g(y)= b2+y2
14、|h-y| yy* 时, yy* 时. 当 y* 0 即 hb 时, z=g(y) 的图象如图(a), 故当 y=0 时, 函数 g(y) 取最小值. 当 y*0 即 hb 时, z=g(y) 的图象如图(b), y* y z o h b 图(a) g(y) y* y z o h b 图(b) g(y) 当 P 在射线 MA 上时, 记 P 为 P1, 当 P 在射线 MA 的反向延长线上时, 记 P 为 P2.这时 P 到三点 A, B, C 的最远距离为 P1C 或 P2A, (2)解法三 ABC 中, AB=AC=a, ABC 的外心 M 在射线 AO 上, 其坐标为(0, ), 且AM
15、=BM=CM. a2-2b2 2 a2-b2 若 hb(此时 a22b2), 则点 M 在线段 AO 上, 如图(c). AB(-b, 0) C(b, 0) P1 oxyM . .图(c) P2 .且 P1CMC, P2AMA. 点 P 与 M 重合时, P 到三镇的最远距离最小. 若 hb(此时 a22b2), 则点 M 在线段 AO 外, 如图(d). 这时 P 到三点 A, B, C 的最远距离为 P1C 或 P2A, 且 P1COC, P2AOC.点 P 与 BC 边 O 重合时, P 到三镇的最 远距离最小, 为 b. AB(-b, 0) C(b, 0) oxyM .图(d) P2 .P1 .综上所述, .
