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1、专业课考研复习资料（最新版）专业课考研复习资料（最新版）（知识点汇总（知识点汇总-考研重点集合考研重点集合-精准预测再现）精准预测再现）封封面面目录第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 一、集合(1)二、映射(5)三、函数(7)习题1-1(20) 第二节 数列的极限 一、数列极限的定义(23)二、收敛数列的性质(27) 习题12(30) 第三节 函数的极限 一、函数极限的定义(31)二、函数极限的性质(36) 习题1-3(37) 第四节 无穷小与无穷大 一、无穷小(38)二、无穷大(39)习题1-4(41) 第五节 极限运算法则 习题1-5(48) 第六节 极限存在准则两个重要极限 习题1-
2、6(55) 第七节 无穷小的比较 习题1-7(59) 第八节 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性(59)二、函数的间断点(62)习题1-8(64) 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 一、连续函数的和、差、积、商的连续性(65)二、反函数与复合函数的连续性(65)三、初 等函数的连续性(67)习题1-9(68) 第十节 闭区间上连续函数的性质 一、有界性与最大值最小值定理(69)二、零点定理与价值定理(70) 三、一致连续性(72)习题1-10(73) 总习题第二章 导数与微分 第一节 导数概念 一、引例(76)二、导数的定义(78)三、导数的几何意义(82)四、函数可导性与连续性的
3、关 系(84)习题2-1(85) 第二节 函数的求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则(86)二、反函数的求导法则(89) 三、复合函数的求导法则(91)四、基本求导法则与导数公式(93) 习题2-2(96) 第三节 高阶导数 习题2-3(101) 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率 一、隐函数的导数(102)二、由参数方程所确定的函数的导数(106) 三、相关变化率(110)习题2-4(110) 第五节 函数的微分 一、微分的定义(112)二、微分的几何意义(114)三、基本初等函数篚微分公式与微分运算法则(115)四、微分在近似计算中的应用(118) 习题2-5(
4、122) 总习题二第三章 微分中值定理与导数的应用 第一节 微分中值定理 一、罗尔定理(126)二、拉格朗日中值定理(127)三、柯西中值定理(130) 习题3-l(132) 第二节 洛必达法则 习题3-2(137) 第三节 泰勒公式 习题3-3(143) 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数单调性的判定法(143)二、曲线的凹凸性与拐点(147) 习题3-4(151) 第五节 函数的极值与最大值最小值 一、函数的极值及其求法(152)二、最大值最小值问题(156) 习题3-S(160) 第六节 函数图形的描绘 习题3-6(166) 第七节 曲率 一、弧微分(167)二、曲率及其计算公
5、式(168)三、曲率圆与曲率 半径(171)。四、曲率中心的计算公式渐屈线与渐伸线(173) 习题3-7(175) 第八节 方程的近似解 一、二分法(176)二、切线法(178)习题3-8(180) 总习题三第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念(182)二、基本积分表(186)三、不定积 分的性质(187)习题4-1(190) 第二节 换元积分法 一、第一类换元法(191)二、第二类换元法(198)习题4-2(204) 第三节 分部积分法 习题4-3(210) 第四节 有理函数的积分 一、有理函数的积分(211)二、可化为有理函数的积分举例(216) 习题
6、4-4(218) 第五节 积分表的使用 习题4-5(221) 总习题四第五章 定积分：第一节 定积分的概念与性质 一、定积分问题举例(223)一二、定积分定义(225)三、定积分的性质(229) 习题5-1(233) 第二节 微积分基本公式 一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系(234)二、积分上限的函数及其导数 (235)三、牛顿一莱布尼茨公式(236)习题5-2(240) 第三节 定积分的换元法和分部积分法 一、定积分的换元法(242)二、定积分的分部积分法(247)习题5-3(249) 第四节 反常积分 一、无穷限的反常积分(250)二、无界函数的反常积分(253) 习题5-4
7、(256) 第五节 反常积分的审敛法 r 函数 一、无穷限反常积分的审敛法(256)二、无界函数的反常积分的审敛法(260) 三、r 函数(261)习题5-5(263) 总习题五第六章 定积分的应用 第一节 定积分的元素法 第二节 定积分在几何学上的应用 一、平面图形的面积(269)二、体积(273)三、平面曲线的弧长(276) 习题6-2(279) 第三节 定积分在物理学上的应用 一、变力沿直线所作的功(282)二、水压力(285)三、引力(286) 习题6-3(287) 总习题六第七章 空间解析几何与向量代数 第一节 向量及其线性运算 一、向量概念(289)二、向量的线性运算(290)三、
8、空间直角坐标系(294)四、利用坐标作 向量的线性运算(295)五、向量的模、方向角、投影(297) 习题7-1(300) 第二节 数量积向量积。混合积 一、两向量的数量积(301)二、两向量的向量积(305)。三、向量的混合积(308) 习题7-2(309) 第三节 曲面及其方程 一、曲面方程的概念(310)二、旋转曲面(312)三、柱面(314)四、二次曲面(315)习题7-3(318) 第四节 空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程(319)二、空间瞳线的参数方程(320)三、空间曲线在坐标面上的 投影(323)习题7-4(324) 第五节 平面及其方程 一、平面的点法式方程(325)
9、二、平面的一般方程(326)三、两平面的夹角(328)习题7-5(329) 第六节 空间直线及其方程一、空间直线盼一般方程(330)二、空间直线的对称式方程与参数方、程(330)三、两直线 的夹角(332)四、直线与平面的夹角(333) 五、杂例(333)习题7-6(335)第一章函数与极限第一章函数与极限 第一节 映射与函数 一、集合：设 A、B 是两个集合，有交换律、结合律、分配律、对偶律；区 间和邻域（略） 二、映射：三要素 f:xy三、函数：y=fx)(,xD。1、包括：绝对值函数、符号函数、取整函数、分段函数； 2、特性：有界性（上、下界） 、单调性、奇偶性、周期性；偶函数：形如f
10、x)(=f x)(奇函数：f x)(=-f x)(周期性：f lx)( =f x)(，则 l 为f x)(的周期；3、反函数与复合函数 4、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三 角函数。 四、结论：两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；两 个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数。 第二节 数列的极性一、xn nlima 或xna(n)二、收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性； *如果数列收敛于 a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是 a。二、例 1 ： 对 于 数 列 ， 若xk 12 a(k),xk2a(k),证明：xna(n)。证明：因为xk 12
11、a(k),xk2a(k),所以0,k,当 2k-12k1-1时，有取 N=max2k1-1,2k2,只要 nN,就有所以xna(n)。第三节 函数的极限 一、lim0xxfx)(或f x)(A（当 xx0）,0,0,当 00,x0,当xX时， 有Afx)(。性质：极限的唯一性、局部保号性等。 二、结论：lim0xx（ax+b）=ax0+b(证略)第四节 无穷小与无穷大及无穷小的比较一、无穷小：若f x)(当 xx0(或 x)时极限为 0，则f x)(为当 xx0(或x)时的无穷小。结论：ln(1x)xsinxx1-cosx21x2arctanxxtanxxex-1xsecx-121x2当 x0
12、时，nmx1-1xm n1二、无穷大：M0,x0,当xX 时有f x)(M;M0,0,当 0M。三、结论：若f x)(为无穷大，则fx)(1为无穷小；若f x)(为无穷小，且f x)(0，则fx)(1为无穷大。第五节 极限的运算法则 一、有限个无穷小的和为无穷小，有界函数与无穷小的乘积为无穷小，常数与无 穷小的乘积为无穷小，有限个无穷小的乘积也为无穷小。二、若 limf x)(=A,limg x)(=B,那么limgfxx)()(=limf x)(limg x)(=ABlimgfxx)()(=limf x)(limg x)(=ABlimfxC )(=Climf x)(limfxn )(=fxn
13、 )(lim若xn nlimA,yn nlim =B,那么lim n（xnyn）=AB,limnxny n=AB,当y n0（nN*）且 B0时，limnyxnn=BA。第六节 极限存在准则 两个重要极限一、夹逼准则： 若数列 xn、 yn及 zn满足： 从某项起， n0N,当 nn0时，有y nxnzn，且yn nlim =a,limnzn=a,则xn nlima如果g x)(f x)(hx)(且 limg x)(=A,limhx)(=A,则 limf x)(=A。二、limnxxsin=1当 xx0(或 x)时，若ux)(0,limuuxx)()(sin=1lim n)11 (xx =e当
14、 xx0( 或 x) 时 ， 若)(x0, 则lim)(1)(1xx=e。第八节 函数的连续性与间断点 一、f x)(在 x=x0处连续必满足：fx)(0存在；fx)0(0=fx)0(0，lim0xxfx)(存在；lim0xxfx)(=fx)(0二、f x)(在 x=x0处f x)(不连续只需要满足其下情形之一：在 x=x0处无定义（或不准确） ；虽在 x=x0处有定义，但lim0xxfx)(不存在；虽在 x=x0处有定义，且lim0xxfx)(存在，但lim0xxfx)(fx)(0。三、第一类间点:可去和跳跃间断点；第二类间断点：无穷和振荡间断点 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性一、
15、设函数f x)(和g x)(在点x0连续，则 fg、fg 及gf（当gx)(00 时）都在点x0连续。二、基本初等函数在它们的定义域内都是连续的。三、limux)(=a0,limvx)(=b,则 limuxvx )()(=ab。第十节 闭区间上连续函数的性质 一、在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。二、若f x)(在ba,上连续，且f a)(f b)(0a1) 的导数解f(x)hxfhxfh)()(lim 0 haaxhxh0limhaahhx1lim 0 tah1令 )1 (loglim 0tta atx aaeaxaxlnlog1特别地有(ex)ex 例 5求函数f(x)logax(a0a1) 的导数解hxhx hxfhxfxfaahhlog)(loglim)()(lim)( 00 hxahahahxh xxh hx xxhx h)1 (loglim1)1 (loglim1)(log1lim 000 axexaln1log1解hxhxxfaahlog)(loglim)( 0 )1 (log1lim 0xh hah hxahxh x)1 (loglim
