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1、厦门大学机电系现代控制理论第一章 控制系统的状态空间表达式状态变量及状态空间表达式1状态空间的线性变换2离散时间系统的状态空间表达式3时变和非线性系统的状态空间表达式41状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型2在经典控制理论中，对一个线性定常系统的，可 用常微分方程或传递函数加以描述。将某个变量作为 输出，和输出联系起来。在现代控制理论中，系统的动态特性由状态变量 构成的一阶微分方程组来描述，能同时给出系统全部 独立变量的响应，因而能同时确定系统的全部内部运 动状态。1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型3如图所示R-L-C电路，其中电压u
2、(t)为电路的输入量，电容 上的电压uc(t)为电路的输出量，求该网络输入与输出之间 的关系。1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型4整理得到：1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型5例1 设有一质量弹簧阻尼系统。F(t)为输入力， y(t)为质量块 的输出位移。解：1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型6则有：1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型7写成矩阵的形式：1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型8输入方程:系统的输入量与中间变量之间的函数关系 输
3、出方程:系统的输出量与中间变量之间的函数关系1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型9状态空间表示法的基本概念状态变量状态向量状态空间状态方程l状态：表征 系统运动的信 息和行为 l状态变量： 能完全表示系 统运动状态的 最小个数的一 组变量由状态变量 构成的向量 x1(t) x2(t) : xn(t)以各状态变 量x1(t), x2(t), , xn(t)为坐 标轴组成的 几维空间。由系统的状态 变量与输入变 量之间的关系 构成的一阶微 分方程组。1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型10状态空间表达式状态方程和输出方程的总和即称为状态空
4、间表达式。 它构成对一个系统动态行为的完整描述。y : 输出向量 u : 输入向量 A : 系数矩阵 B : 控制矩阵（输入矩阵） C : 输出矩阵D : 直接矩阵1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型111状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型12状态空间表达式的模拟结构图一、模拟结构图用来反映系统各状态变量之间的信息传递关系， 对建立系统的状态空间表达式很有帮助。1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型13二、绘制步骤1、根据所给的输出方程，画出相应的加法器、比例器和状态变 量；2、积分器的数目应等于状态变量个
5、数，将他们画在适当的位置 ，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量3、最后根据所给的状态方程用箭头将这些元件连接起来。1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型14例：画出一阶标量微分方程 的系统模拟 结构框图：1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型15例1-3：画出三阶微分方程 的 模拟框图：上式可改成： 其模拟结构图如下：1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型16同样，已知状态空间表达式，也可画出相应的模拟结构图，下图 是下列三阶系统的模拟结构图。1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模
6、型17状态空间表达式的建立（系统的实现）用状态空间分析系统时，首先要建立给定系统的状态空 间表达式。建立表达式的三个方法如下：1由系统框图（传 递函数方块图） 来建立；2从系统的物理或 化学的机理出发 进行推导；3由描述系统运动 过程的高阶微分 方程或传递函数 予以演化而得。1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型18（一）从系统方块图出发建立状态空间表达式 3、根据系 统的实际 连结，写 出相应的 状态空间 表达式2.把每个 积分器的 输出选作 为一个状 态变量xi1.将系统 框图的各 个环节变 换成相应 的模拟结 构图1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控
7、制系统的状态空间模型19例1-4 系统传递函数方块图如图所示，输入为u，输出 为y。试求其状态空间表达式。1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型20从图可知状态方程输出方程1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型211状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型22建立小车-倒立摆系统的状态空间模型。假设小车和摆仅在一 个平面内运动，忽略磨擦及空气阻力。解：建立小车水平方向上建立平衡方程在垂直方向上，建立小球的平衡方程（二）从系统的机理出发建立状态空间表达式 1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间
8、模型23假设 很小， 。因此，上面两个式 子可化简为：选择状态变量：建立状态空间表达式1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型24设 M = 1，m = 0.1，l = 11状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型（三）高阶微分方程出发建立状态空间表达式n n 阶常系数微分方程（单入单出）阶常系数微分方程（单入单出）（以输入函数不含有导数项情况为例）1. 选状态变量 x 选各阶导数1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型2、建立关于 x 的方程方程1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型3、系
9、统输出方程 1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型能控标准型1.A的对角线上方的元素均为1，最后一行为微分方程各阶 导数的系数，其余为0，这样的矩阵叫做友阵。 2.B阵的特征：最下边一行元素为单位阵，其余为0。系统 的A B具有上述特征时，系统为能控标准型。1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型系统的方程为 ，求系统的 状态空间表达式。能控标准型1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型系统的模拟结构图能控性：是控制作用u(t)支配系统x(t)的能力1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型
10、不能控系统1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型32（三）高阶微分方程出发建立状态空间表达式n 阶常系数微分方程（单入单出）首先将n 阶常系数微分方程通过拉氏变换转换为传递函数：微分方程拉氏变换 传递函数 G(s)1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型33(1)一、直接法1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型34拉氏反变换(1)1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型35拉氏反变换所以由于1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型36能控标准型1状 态 空 间2
11、34厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型37例例1.4 1.4 求其能控标准型求其能控标准型解：（1）解决分母比分子高一阶将分母最高次幂变为11状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型38（2）直接应用公式即 y = Cx + DuD为直接矩阵，输入对输出的直接作用1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型39二、串联法已知系统的传递函数求其状态空间表达式。解：系统模拟框图如下：1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型40分别写出每个一阶环节的状态方程消去中间变量1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系
12、统的状态空间模型41则状态空间 表达式为：系统的模拟框图为：1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型42二、并联法极点极点ci 可通过拉氏变换求留数1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型43输入与状态变量的关系输出与状态变量的关系将 拆分为2部分分别进行拉氏逆变换，求解状态空间表达式1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型44由反变换：得1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型45由反变换：得即：1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型46输出方程拉氏逆变换1状
13、态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型471状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型48解耦系统图形特点：n个子系统 互不相关，都是独 立的，即解耦系统1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型49习题习题 将传递函数将传递函数 转换为状态空转换为状态空 间表达式间表达式可知：可知：状态方程状态方程1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型50多输入、多输出系统微分方程的实现 一双输入一双输出的三阶系统为例，设系统的微积分方程为：现采用模拟结构图的方法，按高阶导数项求解：对每一个方程积分：1状 态 空
14、 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型51多输入、多输出系统微分方程的实现 1状 态 空 间234厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型52状态空间表达式？ 2 状 态 空 间 的 线 性 变 换134厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型53传递函数和状态空间模型间的转换现代控制理论：引入了状态变量，采用状态空间来表述系统的输入 输出之间的关系。G(s)ABCD?经典控制理论：传递函数为单输入单输出线性定常系统，在零初始 条件下：状态空间表 达式唯一么?2 状 态 空 间 的 线 性 变 换134厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型54如图所示R-L-C电
15、路，其中电压u(t)为电路的输入量，电容 上的电压uc(t)为电路的输出量，求该网络输入与输出之间 的关系。2 状 态 空 间 的 线 性 变 换134厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型55如图所示R-L-C电路，其中电压u(t)为电路的输入量，电容 上的电压uc(t)为电路的输出量，求该网络输入与输出之间 的关系。2 状 态 空 间 的 线 性 变 换134厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型562 状 态 空 间 的 线 性 变 换134厦门大学机电系第一章 控制系统的状态空间模型57状态空间模型的转换传递函数G(s)?A, B, C, Duxy2 状 态 空 间 的 线 性
