指数函数习题精选精讲

　　1．比较大小例 1　已知函数 满足 ，且 ，则 与 的大小关系是2()fxbc(1)()fxf(0)3f()xfb()xfc_____．2．求解有关指数不等式例 2　已知 ，则 x 的取值范围是___________．2321(5)(5)xxaa3．求定义域及值域问题例 3　求函数 的定义域和值域．216xy4．最值问题例 4　函数 在区间 上有最大值 14，则 a 的值是_______．21(0)xyaa且[1]且5．解指数方程例 5　解方程 ．238xx6．图象变换及应用问题例 6　为了得到函数 的图象，可以把函数 的图象（　　） ．935xy3xyA．向左平移 9 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度B．向右平移 9 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度C．向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度D．向右平移 2 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度习题1、比较下列各组数的大小：（1）若 ，比较 与 ；（2）若 ，比较 与 ；（3）若 ，比较 与 ；（4）若 ，且 ，比较 a 与 b；（5）若 ，且 ，比较 a 与 b．解：（1）由 ，故 ，此时函数 为减函数．由 ，故 ．（2）由 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．（3）由 ，因 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．（4）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样 ．又因 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾．　　（5）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样有 ．又因 ，且 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾．小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．2 曲线 分别是指数函数 , 和 的图象,则 与 1 的大小关系是 ( ).( 分析:首先可以根据指数函数单调性,确定,在 轴右侧令 ,对应的函数值由小到大依次为 ,故 应选 .小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是 由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识.求最值3 求下列函数的定义域与值域.(1)y＝2 ; (2)y＝4 x+2x+1+1.31x解：(1)∵x-3≠0，∴y＝2 的定义域为｛x｜x∈R 且 x≠3｝.又∵ ≠0，∴2 ≠1，31 31x31x∴y＝2 的值域为｛y｜y>0 且 y≠1｝.31x(2)y＝4 x+2x+1+1 的定义域为 R.∵2 x>0,∴y＝4 x+2x+1+1＝(2 x)2+2·2x+1＝(2 x+1)2>1.∴y＝4 x+2x+1+1 的值域为｛y｜y>1｝.4 已知-1≤x≤2,求函数 f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值解：设 t=3x,因为-1≤x≤2，所以 ，且 f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当 t=3 即 x=1 时，f(x)取最大931t值 12，当 t=9 即 x=2 时 f(x)取最小值-24。

5、设 ，求函数 的最大值和最小值．分析：注意到 ，设 ，则原来的函数成为 ，利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值．　　解：设 ，由 知， ，函数成为 ， ，对称轴 ，故函数最小值为 ，因端点 较 距对称轴 远，故函数的最大值为．6（9 分）已知函数 在区间[－1,1]上的最大值是 14，求 a 的值.)1(2aayx．解： ， 换元为 ，对称轴为 .)(12yx )1(2atty1t当 ， ，即 x=1 时取最大值，略t解得 a=3 (a= －5舍去)7．已知函数 （ 且 ）（1）求 的最小值； （2）若 ，求 的取值范围．．解：（1） ， 当 即 时， 有最小值为（2） ，解得 当 时， ；当 时， ．8（10分） （1）已知 是奇函数，求常数 m的值；mxf132)(（2）画出函数 的图象，并利用图象回答： k为何值时，方程|3 Ｘ －１｜＝ k无||y解？有一解？有两解？解： （1）常数 m=1（2）当 k0 且 a≠1).1xa(1)求 f(x)的定义域和值域；(2)讨论 f(x)的奇偶性；(3)讨论 f(x)的单调性.解：(1)易得 f(x)的定义域为｛x｜x∈R｝.设 y＝ ,解得 ax＝- ①∵a x>0 当且仅当- >0 时，方程①有解.解- >0 得-11 时，∵a x+1 为增函数，且 ax+1>0.∴ 为减函数，从而 f(x)＝1- ＝ 为增函数.2°当 01)的图像是( )答案：1. 分析：先求 的值再比较大小，要注意 的取值是否在同一单调区间内．bc且 xbc且解：∵ ，(1)()fxf∴函数 的对称轴是 ．1x故 ，又 ，∴ ．203fc∴函数 在 上递减，在 上递增．()x且∞ 且∞若 ，则 ，∴ ；≥ 21x≥ ≥ (3)(2)xxff≥若 ，则 ，∴ ．0x3xxxff综上可得 ，即 ．()(2)xxff≥ ()()xxfcfb≥2. 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．解：∵ ，225(1)41aa≥∴函数 在 上是增函数，(xy)且∞ ∞∴ ，解得 ．∴ x 的取值范围是 ．31x414且∞3. 解：由题意可得 ，即 ，260x≥ 26≤∴ ，故 ． ∴函数 的定义域是 ．20≤ ≤ ()f2且∞令 ，则 ，6xt1yt又∵ ，∴ ． ∴ ，即 ．≤ 20≤ 261x≤ 01t≤∴ ，即 ．01t≤ ≤∴函数的值域是 ．1且4. 分析：令 可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后 的取值范围．xta t　　解：令 ，则 ，函数 可化为 ，其对称轴为 ．xta0t21xya2(1)yt1t∴当 时，∵ ，11且∴ ，即 ．xa≤ ≤ ta≤ ≤∴当 时， ．t2max(1)4y解得 或 （舍去） ；3a5当 时，∵ ，01且∴ ，即 ，xa≤ ≤ 1ta≤ ≤∴ 时， ，1t2max4y解得 或 （舍去） ，∴ a 的值是 3 或 ．3515. 解：原方程可化为 ，令 ，上述方程可化为 ，解得 或29(3)809xx(0)xt2980t9t（舍去） ，∴ ，∴ ，经检验原方程的解是 ．19tx 26. 　分析：注意先将函数 转化为 ，再利用图象的平移规律进行判断．935xy235xt解：∵ ，∴把函数 的图象向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长235xxyxy度，可得到函数 的图象，故选（C） ．9x练习题答案：1、　解：（1）由 ，故 ，此时函数 为减函数．由 ，故 ．（2）由 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．（3）由 ，因 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．（4）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样 ．又因 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾．（5）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样有 ．又因 ，且 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾．2 分析:首先可以根据指数函数单调性,确定 ,在 轴右侧令 ,对应的函数值由小到大依次为 ,故应选 .　　小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识.求最值3 解：(1)∵x-3≠0，∴y＝2 的定义域为｛x｜x∈R 且 x≠3｝.又∵ ≠0，∴2 ≠1，31 31x31x∴y＝2 的值域为｛y｜y>0 且 y≠1｝.31x(2)y＝4 x+2x+1+1 的定义域为 R.∵2 x>0,∴y＝4 x+2x+1+1＝(2 x)2+2·2x+1＝(2 x+1)2>1.∴y＝4 x+2x+1+1 的值域为｛y｜y>1｝.4 解：设 t=3x,因为-1≤x≤2，所以 ，且 f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当 t=3 即 x=1 时，f(x)取931t最大值 12，当 t=9 即 x=2 时 f(x)取最小值-24。

5、分析：注意到 ，设 ，则原来的函数成为 ，利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值．解：设 ，由 知， ，函数成为 ， ，对称轴 ，故函数最小值为 ，因端点 较 距对称轴 远，故函数的最大值为．6 解： ， 换元为 ，对称轴为 .)1(2aayx )1(2atty1t当 ， ，即 x=1 时取最大值，略1t解得 a=3 (a= －5舍去)7． 解：（1） ， 当 即 时， 有最小值为（2） ，解得 当 时， ；当 时， ．8 解： （1）常数 m=1（2）当 k0 当且仅当- >0 时，方程①有解.解- >0 得-11 时，∵a x+1 为增函数，且 ax+1>0.∴ 为减函数，从而 f(x)＝1- ＝ 为增函数.2°当 01，由指数函数图像易知，应选 B.解法 2：因为 y＝a ｜x｜ 是偶函数，又 a>1，所以当 x≥0 时，y＝a x是增函数；x＜0 时，y＝a -x是减(,) {-},0) )xf函数.∴应选 B.。