《上课用选修4-1 直线与圆的位置关系——.圆的内接四边形及切线》由会员分享，可在线阅读，更多相关《上课用选修4-1 直线与圆的位置关系——.圆的内接四边形及切线（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二.圆内接四边形的 性质与判定定理CODBA圆心角的度数等于它所对的弧的度数。同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等. 半 圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径.圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。圆周角定理圆心角定理推论1推论2【温故知新】性质定理1 圆内接四边形的对角互补性质定理2 圆内接边形的外角等于它的内角的对角。圆内接四边形判定定理 如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆. 推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角， 那么它的四个顶点共圆. 例1：如图O1与O2都经过A、B两点.经过点A 的直线CD与O1交
2、于点C,与O2交于点D.经过点 B的直线EF与O1交于点E,与O2交于点F.求证 ：CEDF.OO2FABECD分析：只要证明同旁内角互补即可！ 并利用圆内接四边形的性质定理证明：连接AB 四边形ABEC是O1的内接四边形， BADE又四边形ABFD是O2的内接四边形， BAD+F=180 E+F=180 CE/DF变式1：如图，O1和O2都经过A、B两点过A点的直 线CD与O1交于点C，与O2交于点D过B点的直线EF与 O1交于点E，与O2交于点F求证：CE/DF.EDCFABO1O2变式2:如图,O1和O2有两个公共点A B过A B两点的直线分别交O1于C 、E,交O2于D 、F，且CDE
3、F求证：CE=DFCEABDFO1O2由例1可知:CE/DF, 又CD/EF, DCEF为平行四边 形 CE=DF.例2 如图，CF是ABC的AB边上的高，FPBC,FQAC.求证：A,B,P,Q四点共圆AFBPQC证明：连接PQ。 在四边形QFPC中，FPBC FQAC.FQA=FPC=90.Q,F,P,C四点共圆。 QFC=QPC. 又CFAB QFC与QFA互余.而A与QFA也互余.A=QFC. A=QPC.A,B,P,Q四点共圆1、(1)圆内接平行四边形一定是 形.(2)圆内接梯形一定是 形.(3)圆内接菱形一定是 形.矩 等腰梯正方练习2：2.如果四边形一边上的两个顶点的视角 相等，
4、那么四边形的四个顶点共圆DCBA已知：如图，四边形ABCD中， ADB=ACB. 求证: A、B、C、D四点共圆分析:要用圆内接四边形判定定理或推论,无法找到足够 的条件,即直接方法不易证明,于是仿照判定定理的证明 用反证法.DCBADCBAED CBAE已知：如图，四边形ABCD中，ADB=ACB.求证: A、B、C、D四点共圆.证明：由三点A、B、D可以确定一个圆，设该圆为O(1)如果点C 在O 的外部.连接BC,与 圆交于点E则ADB=AEB. ADB=ACB, ACB=AEB与AEBACB相矛盾故点不可能在圆外()如果点C 在O的内 部.延长BC与圆交于点E 连接AE.则ADB=AEB
5、. ADB=ACB, ACB=AEB 与ACBAEB相矛盾故点不可能在圆内综合(1),(2)可知，点C 只能在圆上即A、B 、C、D四点共圆习题2.2 1.AD,BE是ABC的两条高，求证：CED=ABC.2.求证：对角线互相垂直的四边形中，各边中点在同 一个圆周上。CABE Do3.如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相 交于E,EG平分E,且与BC,AD分别相交于F,G.求证： CFG=DGF.ABEF GDC三. 圆的切线的性质及判定定理圆与直线的位置关系:相交-有两个公共点相切-只有一个公共点相离-没有公共点切线的性质定理:O切线的性质定理逆命题是否成立?M反 证 法推论1
6、: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.这与线圆相切矛盾.思考:圆的切线垂直于经过切点的半径 假设不垂直, 作OM 因“垂线段最短”, 故OAOM, 即圆心到直线距离小于半径.A切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.AOB.直线与圆只有一个公共点, 是切线.在直线上任取异于A的点B. 连OB.则在RtABO中OBOA=r故B在圆外例1 如图,AB是O的直径, O过BC的中点D, DEAC.求证:DE是O是切线.证明:连接OD. BD=CD,OA=OB,OD是ABC的中位线,OD/AC.又DEC=90 ODE=90 又
7、D在圆周上,DE是O是切线.AOBDCE例2 如图. AB为O的直径,C为O上一点,AD和过 C点的切线互相垂直,垂足为D. 求证:AC平分DAB.ABOCD证明:连接OC, OCCD.又ADCD, OC/AD.由此得 ACO=CAD. OC=OA. CAO=ACO. CAD=CAO. 故AC平分DAB.CD是O的切线,习题2.3 1.如图,ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点, O与腰AB相切于点D.ABOCD求证:AC与O相切.E2.已知:OA和OB是O的半径,并且OAOB,P是OA 上任意一点,BP的延长线交O于Q.过Q作O的切 线交OA的延长线于R,.求证:RP=RQ BOPA RQ
8、AQO= APQ3.AB是O的直径,BC是O的切线,切点为B,OC平 行于弦AD. 求证:DC是O的切线.AOBCD13 24COD与COB全等例3 作经过一定点C的圆的切线思考：定点C在圆的什么位置？C OO.C(1)点C在圆上()点C在圆外作法：连接OC，过 点C作ABOC则 直线AB就是所要作 的切线BA证明：直线AB经过点 C，并且ABOC由 切线的判定定理可知， AB就是O的切线，切 点是点C作法：连接OC, 以OC为直径的 圆为O1，与O 相交于两点P和 P.连接CP和 CP,则CP和CP 都是过已知点C 所引O的切线 PPO1证明：OPC是O1内半圆上 的圆周角，OPC=90.
9、PCOP. 又OP是O的半径，PC经过 点C，PC就是所要作的切线.同理，CP也是所要作的切线.例4 求作与ABC的三边都相切的圆三角形的内切圆及旁切圆课堂小结：一 判定一条直线是圆的切线有三种方法1 根据定义直线与圆有唯一的公共点 2 根据判定定理 3 根据圆心到直线的距离等于半径 二 添辅助线的方法则连接圆心与交点则过圆心作直线的垂线段1，已知直线与圆有交点，2，没有明确的公共点，练习1.如图A是O外的一点，AO的延长线交O于 C，直线AB经过O上一点B，且ABBC，C 30. 求证：直线AB是O的切线.证明：连结OB, OB=OC,AB=BC,C=30OBC=C=A=30AOB=C+OB
10、C=60ABO=180(AOB+A) =180(60+30)=90 AB是O的切线.题目中“半径”已有，只需证“垂直”,即可得直线与圆相切.CA BDOAOOC， OCAA30, BOC60. BOC是等边三角形. BDOBBC， DBCD30. DCO90. DCOC. DC是O的切线.练习2已知：如图，AB是O的直径，D在AB的 延长线上，BDOB，C在圆上，CAB30,求 证：DC是O的切线.证明：连OC、BC，练习3 若RtABC内接于O,A=30.延 长斜边AB到D，使BD等于O的半径,求证 ：DC是O的切线.DCAB.O3003001200600600600分析:如图1已知：在AB
11、C中，ABAC，以AB为直径作O交BC于D，DEAC于E，如图(1)，求证：DE是O的切线. 2如图(2)，已知在ABC中，ADBC于D，ADBC/2，E和F分别为AB和 AC的中点，EF与AD交于G，以EF为直径作O，求证：O与BC相切. 图1图2思考：分析：因为DE经过O上的点D，所以要证明DE为切线，可连结OD， 再证明DEOD.分析：要证明以EF为直径的O与BC相切，只要过O作OHBC于H，证 明OH等于直径EF的一半.3如图(3)，ABC内接于O，P、B、C在一直线上，且PA2PBPC， 求证：PA是O的切线.图3思考：分析：PA过O上一点A，要证PA为切线，只要证PAAO，为此，作 直径AD，并连结CD，只要证PAAD即可.
