圆周运动和动力学

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1、1-2 1-2 圆周运动和一般曲线运动圆周运动和一般曲线运动 一、圆周运动的角量表示1、角位置2、角位移OXR 3、角速度4、角加速度单位：rad/s单位：rad/s2二、圆周运动的加速度切向加速度法向加速度方向切向方向沿曲率半径中心向里注意：20 a 的方向永远指向 曲线凹的一方。dtd va！圆周运动中角量和线量的关系匀角加速圆周运动是恒量一般圆周运动匀速圆周运动是恒量讨论：匀速直线运动匀变速直线运动匀速率圆周运动变速曲线运动讨论：解：由题意，可得该点的速率为：例题1-3 一飞轮边缘上一点所经过的路程与时间的关系为 ，v0、b都是正的常量。（1）求该点在时刻 t 的加速度；（2）t 为何值

2、时，该点的切向加速度与法向加速度的大小相等？已知飞轮的半径为R. 上式表明，速率随时间t 而变化，该点做匀变速圆周运动（1）t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小 :Ro加速度方向由它和速度的夹角确定为：（2）令a t= a n，即得例. 一质点从静止出发作圆周运动，半径R=3.0m,切向加速 度 问：（1）速度与时间的关系 ？解（1）（2）（3）（2）经过多长时间，其加速度与由圆心至质点的矢径 方向成 135 0 角？ （3）在上述时间内，质点所经历的路 程和角位移各为多少？质点运动学的两类基本问题 1. 已知运动方程，如何求速度、加速度？2. 已知加速度，如何求速度、运动方程和轨迹方程

3、？*已知运动方程，用求导的方法可求速度、加速度。*已知加速度和运动的初始条件，用积分的方法可求速度 、运动方程和轨迹方程。的具体表达式不知时，如何求解？不是求 而是求 时，如何求解？如何用矢量的分量式求解？的表达式不是 t 的函数时，如何求解？20 注意：关于质点运动有以下几种说法: (1)在圆周运动中,加速度的方向一定指向圆心; (2)质点作匀速率圆周运动时,切向加速度不变,法向 加速度改变; (3)物体作曲线运动时,速度方向一定在运动轨道的切 线方向，法向分速度恒等于零,因此其法向加速度 也一定等于零. (4)物体作曲线运动时,必定有加速度，加速度的法向 分量一定不等于零. 上述说法中,(

4、 )是正确的. (A) 只有(2); (C) (1),(2); (B) (2) (3); (D) (2),(4).(D)质点沿圆周运动,且速率随时间均匀增 大,问法向加速度、切向加速度、加速 度的大小是否都随时间改变？法向加速度和加速度的大小随时间改变 ，切向加速度的大小不随时间改变。抛体运动：从地面上某点向空中抛出的物体在 空中所做的运动称抛体运动。以抛射点为坐标原点建立坐标系，水平方向为x 轴，竖直方向为y轴。设抛出时刻t=0的速率为v0，抛 射角为 ，三、抛体运动的矢量描述三、抛体运动的矢量描述则初速度分量分别为：故任意时刻的速度为：将上式积分，得运动方程为:物体在空中飞行回落到抛出点高

5、度时所用的时间为: 飞行的射程（即回落到与抛出点的高度相同时所经过的水平距离）为: 运动方程消去时间参数t，得到抛体运动的轨迹方程为：若 ，则 ， 此时为平抛运动； 若 ，则 ，此时射程最大； 若 ，则 ，此时为竖直抛体运动. 飞行的射高（即高出抛射点的距离）为 例. 一质点从坐标原点以恒定的速率 作 平面运动，速度的方向与 x 轴的夹角为解：用分量式由（1）：由（2）：轨迹方程。圆心在 处 ，半径为 的 x y 平面上的圆求：轨迹方程例. 用气枪瞄准挂在高处的靶，当子弹以 离开 枪口 时，靶由解扣机械释放而自由下落，不论子弹的初速率多 大，总会击中下落的靶。求击中的时刻 t已知： 解：子弹与

6、靶的加速度都是常矢量对子弹：若击中，则注意：10 矢量除法无意义20 此命题成立的条件是靶的坐标对靶：求：to xyzo xyzP一、相对运动一、相对运动1-3 1-3 相对运动相对运动 常见力和基本力常见力和基本力1.伽利略坐标变换K系原点相对K系原点的位矢 ：成立的条件:绝对时空观！空间绝对性:空间两点距离的 测量与坐标系无关。时间绝对性:时间的测量 与坐标系无关。o xyzo xyzPP点在K系和K系的空间坐 标、时间坐标的对应关系 为：因此，满足经典时空观的条件时伽利略坐标变换式o xyzo xyzP分别表示质点在两个坐标系中的速度即在直角坐标系中写成分量形式伽利略速度变换2.伽利略速

7、度变换与加速度变换注意：低速运动的物体满足速度变换式，并且可通过实 验证实，对于高速运动的物体 ，上面的变换式失效。o xyzo xyzP相对于地面竖直下落的物体，作出各个坐标系中的速度方向，满足矢量三角形法则。表明质点的加速度相对于作匀速运动的 各个参考系不变。伽利略加速度变换例1-6 某人以4 km/h的速度向东前进时，感觉风从 正北吹来.如果将速度增加一倍，则感觉风从东北方 向吹来.求相对于地面的风速和风向.解：由题意，以地面 为基本参考系K，人为 运动参考系K，取风 为研究对象，作图45y(北)x(东)O根据速度变换公式得到：由图中的几何关系，知：由此解得以及即风速的方向为向东偏南45

8、，亦即在东南方向上。45y(北)x(东)O例1-7 一货车在行驶过程中，遇到5m/s竖直下落的大 雨，车上仅靠挡板平放有长为l=1m的木板。如果木板 上表面距挡板最高端的距离h=1m，问货车以多大的 速度行驶，才能使木板不致淋雨？lh解：车在前进的过程中，雨 相对于车向后下方运动，使 雨不落在木板上，挡板最上 端处的雨应飘落在木板的最 左端的左方。45例1-8 一升降机以加速度1.22m/s2上升，当上升速度 为2.44m/s时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天 花板与升降机的底面相距2.74 m计算螺帽从天花板 落到底面所需的时间和螺帽相对于升降机外固定柱的 下降距离。 解：我们把松开点作

9、为坐标系的原点，把Oy轴的正 方向选定为竖直向上的方向，那么，在螺帽松脱时 ，也即t=0时，螺帽以初速v0=2.44m/s作竖直上抛运 动，到t时刻，它离开出发点的距离为而在这段时间内，升降机却以初速v0作加速度a=1.22 m/s2的匀加速运动，它上升的距离为因在螺帽与机底相遇时，s2与s1之差实际上是升降机 的高度h=2.74 m，由此即可求出螺帽与机底相遇的 时刻，亦即于是得 即螺帽与机底相遇所花时间为0.71 s螺帽相对于机外固定柱子的下降距离为 二、常见力二、常见力重力：在地球表面的物体，受到地球的吸引而使物 体受到的力。重力与重力加速度的方向都是竖直向下。地轴赤道面1.重力弹性力：

10、两个相互接触并产生形变的物体企图恢复原 状而彼此互施作用力。方 向: 始终与使物体发生形变的外力方向相反。条 件：物体间接触，物体的形变。三种表现形式：(1)两个物体通过一定面积相互挤压；方向:垂直于接触面指向对方。大小:取决于挤压程度。2.弹力(2)绳对物体的拉力；(3)弹簧的弹力；x大小：取决于绳的收紧程度。方向：沿绳子背离物体。弹性限度内，弹性 力满足胡克定律：方向：指向要恢复 弹簧原长的方向。静摩擦力最大静摩擦力：静摩擦因数静摩擦因数滑动摩擦力 ：滑动摩擦因数滑动摩擦因数摩擦力：两个相互接触的物体在沿接触面相对运动 时，或者有相对运动趋势时，在它们的接触面间所 产生的一对阻碍相对运动或

11、相对运动趋势的力。方向：与物体相对运动或相对运 动趋势的方向相反。条件：表面接触挤压；相对运动或相对运动趋势。3.摩擦力万有引力：存在于一切物体间的相互吸引力。牛顿万有引力定律:其中m1和m2为两个质点的质量，r为两个质 点的距离，G0叫做万有引力常量。4.万有引力一、牛顿第一定律一、牛顿第一定律任何物体都保持静止的或沿一条直线作匀速运动 状态,除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。1.第一定律涉及了哪两个基本概念? 答:惯性和力。 2.第一定律定义了一个什么样的参考系? 答:惯性参考系。 3.一艘船在一个风平浪静的海面上匀速的航行,某人 站在船尾纵身向上一跃,问此人能否掉入海里? 1-4

12、1-4 牛顿运动定律牛顿运动定律二、牛顿第二定律二、牛顿第二定律运动的变化与所加的合动力成正比,并且发生在这 合力所沿的直线的方向上。 1.第二定律中“运动”一词指什么? 答(质量与速度的乘积即动量) 2.怎样理解第二定律中“变化”一词? 答(对时间的变化率) 第二定律的数学表达式:直角坐标系中：自然坐标系中：三、牛顿第三定律三、牛顿第三定律对于每一个作用,总有一 个相等的反作用与之相反;或 者说,两个物体对各自的对方 的作用总是相等的,而且指向 相反的方向。12第三定律的数学表达式:注意:1.作用力与反作用力同生同灭。2.作用力与反作用分别作用于两个不同的物体, 各产生其效果。3.作用力与反

13、作用力性质相同。F12F21牛顿定律的几点说明3. 只是数值上等于合外力，它本身不是力。外力改变时，它也同时改变，它们同时存在，同时改变,同时消失2.牛顿第二定律只适用于质点或可看作质点的物体1. 牛顿定律只适用于惯性系四、牛顿定律应用举例四、牛顿定律应用举例隔离物体明确研究对象 具体分析研究对象的运动情况和受力情 况，作出受力图 选定坐标参考系、坐标系、正方向 建立方程分量式解题步骤：十六字诀两类力学问题：已知力求运动 已知运动求力桥梁是加速度例题1-9 设电梯中有一质量可以忽略的滑轮，在滑轮 两侧用轻绳悬挂着质量分别为m1和m2的重物A和B， 已知m1m2 。当电梯(1)匀速上升，(2)匀

14、加速上升时 ，求绳中的张力和物体A相对与电梯的加速度。m1m2oym1m2解：以地面为参考系，物体A和B为研究对象，分别 进行受力分析。 物体在竖直方向运动，建立坐标系oy1. 常力作用下的连结体问题(1)电梯匀速上升，物体对电梯的加速度等于它们对 地面的加速度。A的加速度为负，B的加速度为正， 根据牛顿第二定律，对A和B分别得到：上两式消去T，得到：将ar代入上面任一式T，得到：(2)电梯以加速度a上升时，A对地的加速度a-ar，B 的对地的加速度为a+ar，根据牛顿第二定律，对A和 B分别得到：解此方程组得到：由(2)的结果，令a=0，即得到的结果由(2)的结果，电梯加速下降时，a0，即得

15、到例题1-10 一个质量为m、悬线长度为l的摆锤挂在架子 上，架子固定在小车上，如图所示。求在下列情况下 悬线的方向(用摆的悬线与竖直方向所成的角表示)和 线中的张力： (1)小车沿水平方向以加速度a1作匀加速直线运动。(2)当小车以加速度a2沿斜面(斜面与水平面成角)向 上作匀加速直线运动。ml ml a1mla2oyxm解：(1)以小球为研究对象，当小车沿水平方向作 匀加速运动时，分析受力：在竖直方向小球加速度为零，水平 方向的加速度为a。建立图示坐标系： 利用牛顿第二定律，列方程： x方向：y方向：解方程组，得到：a2(2)以小球为研究对象，当小车沿斜面作匀加速运 动时，分析受力：y x om 小球的加速度沿斜面向上，垂直 于斜面处于平衡状态，建立图示坐标 系，重力与轴的夹角为。 利用牛顿第二定律，列方程： x方向：y方向：求解上面方程组，得到：讨论：如果=0，a1=a2，则实际上是小车在水平 方向作匀加速直线运动；如果=0，加速度为零 ，悬线保持在竖直方向。牛顿运动定律应用举例例题1-12 计算一小球在水中竖直沉降的速度。已 知小球的质量为m，水对