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1、第七节 立体几何中的向量方法1. 直线的方向向量与平面的法向量在确定直线和平面位置关系中的应用(1)直线(2)直线l的方向向量为基础梳理(3)平面的法向量为2. 利用空间向量求空间角 (1)两条异面直线所成的角 定义:设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线 所夹的 锐角或直角叫做a与b所成的角. 范围:两异面直线所成角的取值范围是向量求法:设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为,a、b夹角为,则有(2)直线与平面所成的角 定义:直线和平面所成的角,是指直线与它在这个平面内的射影所成的角.范围:直线和平面所成角的取值范围是 .向量求法:设直线l的方向向量为a,平面的法向量为u,直线与平面
2、所成的角为,a与u的夹角为,则有 (3)二面角 定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫 做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面,在二面角的棱上任取一点O,以 O为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线OA,OB,则射线OA和OB构 成的AOB叫做二面角的平面角.二面角的平面角的取值范围是0,.二面角的向量求法: ()若AB、CD分别是二面角-l-的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角 的大小就是向量 的夹角(如图1).()设 分别是二面角-l-的两个面、的法向量,则向量 的夹角( 或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图2、3).典例分析【例1】如图,已
3、知直三棱柱 中,ABC为等腰直角三角形 ,BAC=90,且 ,D、E、F分别为 的中点.求证： (1)DE平面ABC; (2) 平面AEF.题型一 利用空间向量证明平行垂直问题分析 由题可知,题中具备两两垂直的三条直线，可用向量法建立空间直角 坐标系，用向量的坐标运算来解决；也可以用几何法，利用线面垂直、线 面平行的判定定理来解决.，证明 如图建立空间直角坐标系, 令 则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0), (1)取AB中点N,连接NC,则 N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2),学后反思 (1)证明线面平行需证明线线平行,只需证明这条直线与平
4、面内 的直线的方向向量平行.可用传统法，也可用向量法，用向量法更为普遍 . (2)证明线面垂直的方法:可用直线的方向向量与平面的法向量共线证明 ，也可用直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直证明. (3)证明面面垂直通常转化为证明线面垂直,也可用两平面的法向量垂直 来证明.举一反三 1. 如图，在正方体 中，E、F、M分别为棱 的中点.求证：解析：（1）以D为原点，向量 的方向分别为x轴，y轴、z轴 的正方向建立坐标系如图，设正方体的棱长为1.则设平面ADE的法向量为m=(a,b,c),则令c=2,得m=(0,-1,2).（2） 设平面 的法向量为n=(x,y,z)，则令y=2,则n
5、=(0,2,1). mn=(0,-1,2)(0,2,1)=0-2+2=0, mn,平面ADE平面 .题型二 两条异面直线所成的角【例2】 长方体 中, 点,P在线段BC上,且CP=2,Q是 的中点,求异面直线AM与PQ所成角的 余弦值.分析 本题以长方体为载体,易建立空间直角坐标系来 解决.欲求异面直线所成的角，一般可以从公式入手，先求得所需向量，代入即可.解 如图,建立空间直角坐标系B-xyz,则故异面直线AM与PQ所成的角的余弦值为 .学后反思 求异面直线所成角的主要方法: (1)定义法(平移法); (2)向量法:建系求相关向量的坐标通过向量坐标运算求角,有时也可用题目 中给出的向量表示相
6、关向量,然后计算角. 利用向量求角的关键是区分异面直线所成角的概念和向量夹角概念的差别.举一反三 2. 在正三棱柱 所成角的大小为.解析: 方法一：如图1，以A为原点，射线AC、 分别为y轴、z轴，过A垂 直于AC、 的射线为x轴，建立空间直角坐标系，取 =1，则方法二：利用平移法作出异面直线所成的角.如图2，连接方法三：如图3，取BC的中点D， 连接 由正三棱柱 知， 面ABC面BC ， 又ADBC,答案:90题型三 直线与平面所成的角【例3】 如图所示,在三棱锥P-ABC中,ABBC,AB=BC= PA.点O、D分别是 AC、PC的中点,OP底面ABC. (1)求证:OD平面PAB; (2
7、)求直线OD与平面PBC所成角的正弦值.分析 （1）根据线面平行的判定定理. （2）几何法：找出或作出相应于平面PBC的垂线、斜线和射影，作出线面 角求解；向量法：建立空间直角坐标系，利用向量去解.解 方法一:(1)证明: O、D分别为AC、PC的中点, ODPA. 又PA 平面PAB且OD PAB, OD平面PAB.(2)ABBC,OA=OC, OA=OB=OC. 又OP平面ABC,PA=PB=PC. 取BC中点E,连接PE,则BC平面POE, 平面PBC平面POE. 作OFPE于F,连接DF,则OF平面PBC, ODF是OD与平面PBC所成的角.在RtOFD中,OD与平面PBC所成角的正弦
8、值为 .方法二: OP平面ABC,OA=OC,AB=BC, OAOB,OAOP,OBOP. 以O为原点,射线OP为非负z轴,建立空间直角坐标系O-xyz(如图),设AB=a,则设OP=h,则P(0,0,h).(1)证明:D为PC的中点, ,OD平面PAB.设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z),则 即设OD与平面PBC所成的角为,学后反思 几何法是把空间角转化成平面角去解，求线面角要按照一作、 二证、三计算的步骤进行. 在用向量法求直线OP与平面所成的角时一般有两种途径： 直接求 ，其中 为斜线OP在内的射影； 通过求 进而转化求解，其中n为平面的法向量，此时应注意OP 与平面所成角与
9、的关系，它们互为余角，注意最后完成转化.举一反三3. 在正方体 成角的正弦值.解析：如图，建立以D为原点,DA,DC, 分别为x,y,z轴的坐标系,设棱长 为1,平面 的法向量n=(x,y,z), 则 与平面 所成角的正弦值为 . 题型四 二面角【例4】如图,在长方体 中, 点E在棱 AB上移动. (1)求证: (2)AE等于何值时,二面角 的大小为 ?分析 (1)的求解方法有线面垂直的性质;二面角的逆用;三棱锥等积 法.(2)可以用向量法.解 方法一:(1)AE平面 又 是正方形,(2)如图，过D作DHCE于H,设AE=x,则BE=2-x.方法二:以D为坐标原点,直线DA,DC,D 分别为x
10、,y,z轴,建立如图所示 的空间直角坐标系,设AE=x, 则D(0,0,0), (1,0,1), (0,0,1), E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0).(2)设平面 EC的法向量n=(a,b,c),=(1,x-2,0), =(0,2,-1), =(0,0,1), 由令b=1,c=2,a=2-x,n=(2-x,1,2).依题意，得学后反思 确定二面角的平面角的方法: (1)定义法:在二面角的棱上找一特殊点,在两个半平面内分别作垂直于 棱的射线. (2)垂面法:过棱上一点作与棱垂直的平面,该平面与二面角的两个半平 面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角. (3)垂线法
11、:过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱 的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角,此种方法通用 于求二面角的所有题目,具体步骤为:一找,二证,三求. (4)向量法:求出两个平面的法向量的夹角,然后结合图形,求二面角的平 面角.举一反三4. （2009陕西改编）如图，在直三棱柱 中，AB=1， ABC=60. （1）求证：AB ; (2)求二面角A- -B的余弦值.解析： （1）三棱柱 为直棱柱， 在ABC中，AB=1,AC= ,ABC=60, 由正弦定理得ACB=30，BAC=90, 即ABAC. 如图，建立空间直角坐标系A-xyz, 则（2）如图,可取 的法向量,设平
12、面 的 法向量为n=(l,m,n),则题型五 利用空间向量求距离【例5】(12分)如图，在三棱锥S-ABC中,ABC是边长为4的正三角形,平面 SAC平面ABC,SA=SC=2 ,M、N分别为AB、SB的中点，求点B到平面 CMN的距离.分析 由面SAC面ABC,SA=SC,BA=BC,知本题可以取 AC中点O为坐标原点,分别以OA,OB,OS所在直线为x轴,y 轴,z轴建立空间直角坐标系,用向量法求解.解 取AC中点O,连接OS、OB1 SA=SC,AB=BC, ACSO,ACBO.2 平面SAC平面ABC, 平面SAC平面ABC=AC, SO平面ABC,.3 SOBO.4如图所示，建立空间
13、直角坐标系O-xyz,.5.7 设n=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,8则 取z=1,则 .10点B到平面CMN的距离 .12学后反思 (1)本例求点到面的距离，采用了向量法,比几何法要简便得多，减 少了运算量. (2)作辅助线证明垂直,创造条件建立空间直角坐标系，利用法向量是求点到 面距离常用的方法. (3)关于异面直线、点面、线面、面面距离问题是高考考查的重点的内容，可 以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点.举一反三 5. 如图所示，已知ABC是以B为直角的直角三角形，SA平面ABC， SA=BC=2，AB=4，D、N分别是BC、AB的中点，求A到平面SND的距离.解析：以A为原点， 为y轴、z轴，过A垂直于 的射线为x轴
