2015年高考数学复习重点知识点90条

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1、主讲人：主讲人： 徐泽林徐泽林天津师范大学数学科学学院http:/59.67.71.237:8080/006/index.htm zelinxuS第七章 分析时代在18世纪，微积分得到了进一步深入发展，这种 发展与广泛的应用交织在一起，刺激和推动了许多数 学新分支的产生，从而形成了“分析”这样一个在观 念和方法上都具有鲜明特点的数学领域。18世纪可以说是分析的时代，也是向现代数学过 渡的重要时期。 7.1 7.1 微积分的发展微积分的发展7.1.1 积分技术与椭圆积分 7.1.2 微积分向多元函数的推广 7.1.3 无穷级数理论 7.1.4 函数概念的深化7.1.5 微积分严格化的尝试 7.2

2、 7.2 微积分的应用与新分支的形成微积分的应用与新分支的形成7.2.1 常微分方程 7.2.2 偏微分方程7.2.3 变分法 7.3 7.3 1818世纪的几何与代数世纪的几何与代数7.3.1 微分几何的形成 7.3.2 方程论及其他7.3.3 数论的进展 7.1 7.1 微积分的发展微积分的发展微积分算法的推广，在英国和欧洲大陆国家是循着 不同的路线进行的。大不列颠的数学家们在剑桥、牛 津、伦敦和爱丁堡等著名的大学里教授和研究牛顿的 流数术，他们中的优秀代表有泰勒、麦克劳林、棣莫 弗、斯特林等。泰勒在自己的正的和反的增量方法中，陈述 了他早在1712年就已获得的那个著名定理:Brook T

3、aylorColin Maclaurin其中v为独立变量 z 的增量， 和 为流数。泰勒假定随 时间均匀变化，故为常数，从而上述公式相当于现代形式 的“泰勒公式”： 泰勒公式使任意单变量函数展为幂级数成为可能，是微积 分进一步发展的有力武器。但泰勒对该定理的证明很不严谨， 也没有考虑级数的收敛性。泰勒公式在零点的特殊情况后来被爱丁堡大学教授麦克劳林重新得到，现代微积分 教材中一直把这一特殊情形称为麦克劳林公式。麦克劳林是牛顿微积分学说的竭力维护 者，他曾试图对牛顿流数论进行严密的形式化推演，但因囿于几何传统而并不成功。麦克劳林之后，英国数学陷入了长期停滞的状态。微积分发明权的争论滋长了大不 列

4、颠数学家的民族保守情结，使他们不能摆脱牛顿微积分学说中弱点的束缚。而在英吉 利海峡的另一边，新分析却在莱布尼兹的后继者们的推动下蓬勃发展起来 。 推广莱布尼兹学说的任务，在从17世纪到18世纪的过渡时期，主要是由雅各布伯努利和 约翰伯努利两兄弟担当。他们的工作，构成了现今所谓初等微积分的大部分内容。18世 纪微积分最重大的进步应归于欧拉。他于1748年出版的无限小分析引论以及随后发 表的微分学和积分学是微积分史上里程碑式的著作。它们在很长时间里被当作 分析课本的典范而普遍使用着。Jacob Bernoulli1654-1705Johann Bernoulli 1667-1748 这三部著作包含

5、了欧拉本人 在分析领域的大量创造，同 时引进了一批标准的分析学 符号，对分析表述的规范化 起了重要作用。此外，法国 学派的代表人物克莱洛、达 朗贝尔、拉格朗日、蒙日和 勒让德等，也为微积分及其 应用在欧陆的推广做出了卓 越贡献。18世纪微积分最重大的进步应归 于欧拉。他于1748年出版的无限小 分析引论以及随后发表的微分学 和积分学是微积分史上里程碑 式的著作。它们在很长时间里被当作 分析课本的典范而普遍使用着。这三 部著作包含了欧拉本人在分析领域的 大量创造，同时引进了一批标准的分 析学符号，如：对分析表述的规范化起了重要作用。 欧拉还创设了许多数学符号，例如 （1736年），sin和cos

6、（1748年） ，tg（1753年），x（1755年）等 Leonhard Eulere i欧拉1707年出生在瑞士的巴塞尔（ Basel）城，13岁就进巴塞尔大学读书 ，得到当时最有名的数学家约翰伯努 利（Johann Bernoulli，1667-1748年 ）的精心指导欧拉渊博的知识，无穷无尽的创作精 力和空前丰富的著作，都是令人惊叹不已的 ！他从19岁开始发表论文，直到76岁，半个 多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文到今 几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字 ，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理 ，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程 的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程 的欧拉方

7、程，级数论的欧拉常数，变分学的 欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等，数也 数不清他对数学分析的贡献更独具匠心， 无穷小分析引论一书便是他划时代的代 表作，当时数学家们称他为“分析学的化身“ 欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数 学家，据统计他那不倦的一生，共写下了886 本书籍和论文，其中分析、代数、数论占40% ，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占 11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，彼得 堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四 十七年。 欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可以在任何不良的环境中工作，他常常 抱着孩子在膝上完成论文，也不顾孩子在旁边喧哗他那顽强的毅力和孜孜不倦的 治学

8、精神，使他在双目失明以后， 也没有停止对数学的研究，在失明后的17年间， 他还口述了几本书和400篇左右的论文19世纪伟大数学家高斯（Gauss，1777-1855 年）曾说：“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”欧拉的父亲保罗欧拉（Paul Euler）也是一个数学家，原希望小欧拉学神学 ，同时教他一点教学由于小欧拉的才人和异常勤奋的精神，又受到约翰伯努利 的赏识和特殊指导，当他在19岁时写了一篇关于船桅的论文，获得巴黎科学院的奖 的奖金后，他的父亲就不再反对他攻读数学了1725年约翰伯努利的儿子丹尼尔伯努利赴俄国，并向沙皇喀德林一世推荐 了欧拉，这样，在1727年5月17日欧拉来到了彼

9、得堡1733年，年仅26岁的欧拉担任 了彼得堡科学院数学教授1735年，欧拉解决了一个天文学的难题（计算慧星轨道 ），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的 方法，三天便完成了然而过度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，这时 他才28岁1741年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请，到柏林担任科学院物理数学所 所长，直到1766年，后来在沙皇喀德林二世的诚恳敦聘下重回彼得堡，不料没有多 久，左眼视力衰退，最后完全失明不幸的事情接踵而来，1771年彼得堡的大火灾 殃及欧拉住宅，带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火中，虽然他被别人从火海中 救了出来，但他的书房和大量研究成

10、果全部化为灰烬了沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来在他完全失明之 前，还能朦胧地看见东西，他抓紧这最后的时刻，在一块大黑板上疾书他发现的公 式，然后口述其内容，由他的学生特别是大儿子A欧拉（数学家和物理学家）笔录 欧拉完全失明以后，仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究， 直到逝世，竟达17年之久欧拉的记忆力和心算能力是罕见的，他能够复述年青时代笔记的内容，心算并不 限于简单的运算，高等数学一样可以用心算去完成有一个例子足以说明他的本领， 欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字，两人相差一 个单位，欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行全部运

11、算，最后把错误找了出来.欧拉在 失明的17年中；还解决了使牛顿头痛的月离问题和很多复杂的分析问题欧拉的风格是很高的，拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家，从19岁起和欧拉通信 ，讨论等周问题的一般解法，这引起变分法的诞生等周问题是欧拉多年来苦心考虑 的问题，拉格朗日的解法，博得欧拉的热烈赞扬，1759年10月2日欧拉在回信中盛称拉 格朗日的成就，并谦虚地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表，使年青的拉格 朗日的工作得以发表和流传，并赢得巨大的声誉他晚年的时候，欧洲所有的数学家 都把他当作老师，著名数学家拉普拉斯（Laplace）曾说过：“欧拉是我们的导师“ 欧拉充沛的精力保持到最后一刻，1783年

12、9月18日下午，欧拉为了庆祝他计算气球上升 定律的成功，请朋友们吃饭，那时天王星刚发现不久，欧拉写出了计算天王星轨道的 要领，还和他的孙子逗笑，喝完茶后，突然疾病发作，烟斗从手中落下，口里喃喃地 说：“我死了“，欧拉终于“停止了生命和计算“ 欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜 不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的 欧拉在数学上的建树很 多，对著名的哥尼斯堡七桥问题的解答开创了图论的研究。欧拉还发现 ，不论什么 形状的凸多面体，其顶点数v、棱数e、面数f之间总有v-e+f=2这个关系。v-e+f被称为 欧拉示性数，成为拓扑学的基础概念。在数论中

13、，欧拉首先引进了重要的欧拉函数 (n)，用多种方法证明了费马小定理。以欧拉的名字命名的数学公式、定理等在数学 书籍中随处可见, 与此同时，他还在物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面取得了辉 煌的成就。Alexis Clairaut1713-1765Jean Le Rond dAlembert1717-1783此外，法国学派的代表人物克莱洛、达朗贝尔、拉格朗日、蒙日和勒让德 等，也为微积分及其应用在欧陆的推广做出了卓越贡献。Joseph-Louis Lagrange1736-1813Gaspard Monge1746-1818Adrien-Marie Legendre1752-1833Pierre

14、-Simon Laplace1749-182718世纪这些数学家虽然不象牛顿、莱布尼茨那 样创立了微积分，但他们在微积分发展史上同样功 不可没，假如没有他们的奋力开发与仔细耕耘，牛 顿和莱布尼茨草创的微积分领地就不可能那样春色 满园，相反也许会变得荒芜凋零。我们不可能逐一 介绍18世纪的数学家和他们的工作，以下概要论述 这一时期微积分深入发展的几个方面。18世纪的这些数学家们以高度的技巧，将牛顿和莱布尼兹的无限小算法施行到 各类不同的函数上，不仅发展了微积分本身，而且作出了许多影响深远的新发现。 在这方面，积分技术的推进尤为明显。约翰伯努利和欧拉在他们的论著中使用变量代换和部分分式等方法求出了

15、许多 困难的积分，这些方法已经成为今天微积分教材中求函数积分的常用方法。当18世纪的数学家们考虑无理函数的积分时，他们正在打开一片新天地。因为 他们发现许多这样的积分不能用已知的初等函数来表示，例如雅可布伯努利在求双 纽线（极坐标下方程为 r 2 = a2 cos2 ）弧长时，得到弧长积分：7.1.1 积分技术与椭圆积分在天文学中很重要的椭圆弧长计算则引导到积分：欧拉在1744年处理弹性问题也得到积分：所以这些积分都属于后来所谓的“椭圆积分”范畴，它们既不能用代数函数，也不能 用通常的初等超越函数（如三角函数、对数函数等）表示出来。椭圆积分的一般形 式是：（其中P(x)是 x 的有理函数， R

16、(x)则是一般的四次多项式）勒让德后来将所有的椭圆积分归 结为三种基本形式。在18世纪，法尼 亚诺、欧拉、拉格朗日和勒让德等都 为特殊类型的椭圆积分积累了大量结 果。而对椭圆函数的一般研究在19世 纪20年代被阿贝尔和雅可比分别独立 地从反演的角度发展为深刻的椭圆函 数论。Guillaume De lHpital虽然微积分的创立者已经接触到了偏微商和重积分 的概念，但将微积分算法推广到多元函数而建立偏导数 理论和多重积分理论的主要是18世纪的数学家。1720年，尼古拉伯努利证明了二元函数在一定条 件下，对两个自变量求偏导数的结果与求导顺序无关。 即相当于：Nicolaus(II) Bernoulli1687-17597.1.2 微积分向多元函数的推广欧拉在1734年的一篇文章中证明了同样的事实。 在此基础上，欧拉在一系列的