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1、2009 年浙江省高考解析几何专题预测年浙江省高考解析几何专题预测浙江省江山实验中学 夏红青（324100）例例 1.（杭二中二月预测卷）（杭二中二月预测卷） 如图所示，已知圆为圆MAyxC),0 , 1 (, 8) 1( :22定点 上一动点，点在上，点在上，且满足的轨迹PAMNCMNAMNPAPAM点, 0,2 为曲线.（1）求曲线的方程；EE（2）若直线与（1）中所求点的轨迹交于不同两点是坐12kkxyNEOHF，、 标原点，且，求的面积的取值范围.23 34OF OH FOH解：（1），APAM20 AMNP所以为线段的垂直平分线，NPAMNMNA CANMNCNANC222所以动点的
2、轨迹是以，为焦点的椭圆，且N0 , 1C 0 , 1A长轴长为，焦距，所以，222 a22 c2a1c12b曲线 E 的方程为. 1222 yx（2）设（x1，y1）H（x2，y2） ，则由， 112222kkxyyx消去 y 得)0(08, 0214) 12(22222kkkxkkxk122,121422212221kkxxkkkxx22 12121212222 121222222 2 222(1)(1)(1)1()1(1) 24(1)11212121OF OHx xy yx xkxkkxkkx xk kxxkkkkkkkkkk 2 2 221311,32142kkk2 222 121222
3、 2|(1)()4(1).21kFHkxxx xkk又点到直线的距离，OFH1d2222(1)1|221kkSd FHk221212,3,(1),2tktkt令2 2111121(1)(1) 1(1)1222Stttttt，22111312 223,19423ttt 62 43S例例 2（.绍兴三月模拟）绍兴三月模拟） 已知平面上两定点 M（0，2） 、N（0，2） ，P 为平面上一动点，满足.|MNPNMNMP（I）求动点 P 的轨迹 C 的方程；（II）若 A、B 是轨迹 C 上的两不同动点，且（R）.分别以 A、B 为切点NBAN作轨迹 C 的切线，设其交点为 Q，证明为定值。ABNQ解
4、解：（I）设 ( ,).P xy设( ,2),(0, 4),(, 2),MPxyMNPNxy 令令令2248 | | 4(2)MP MNyPNMNxy 令令22| |,484(2) .MP MNPNMNyxy 整理，得： 即动点 P 的轨迹 C 为抛物线，其方程为 28 .xy.82yx （II）由已知 N（0，2）三点共线。设1122( ,), (,).,A x yB xyANNBA N B 令令直线 AB 与 x 轴不垂直，可设直线 AB 的方程为：，2.ykx2 22, 81601.8ykx xkxyx令令令令则： 抛物线方程为1621xx.41,812xyxy求导得所以过抛物线上 A、
5、B 两点的切线方程分别是：11122211(),(),44yx xxyyx xxy22 11221111,.4848yx xxyx xx即121212(,)(, 2)282xxx xxxQ解出两条切线的交点的坐标为即xyoACNMP12 2112(,4) (,)2xxNQ ABxxyy 令令0)81 81(4)(212 12 22 12 2xxxx所以为定值，其值为 0. ABNQ例例 3.（江山实验中学三月模拟（江山实验中学三月模拟 ）已知椭圆 C：上动点到定点,其22 142xyP,0M m中的距离的最小值为 1.02mPM（1）请确定 M 点的坐标（2）试问是否存在经过 M 点的直线 ,
6、使 与椭圆 C 的两个交点 A、B 满足条件ll（O 为原点）,若存在,求出 的方程,若不存在请说是理由。OAOBAB l【思维分析】此题解题关键是由条件知从而将条件转化点OAOBAB 0OA OB 的坐标运算再结合韦达定理解答。解析：设，由得故,p x y22 142xy2 22 14xy2222 14xPMxm由于且且故当时，22212 12242xxmm02m22x 022m的最小值为此时，当时，取得最小值为2PM221m1m 224m2x 解得不合题意舍去。综上所知当是满足题意此时 M 的22421mm1,3m 1m 坐标为（1，0） 。（2）由题意知条件等价于，当 的斜率不存在时，
7、与 COAOBAB 0OA OB ll的交点为，此时，设 的方程为，代入椭圆方程整理61,20OA OB l1yk x得，由于点 M 在椭圆内部故恒成立，由2222124240kxk xk0 知即，据韦达定理得0OA OB 12120x xy y222 122110kx xkxk，代入上式得21224 12kxxk212224 12kx xk得不合题意。综上知这样的直线2222221244120kkkkkk24k 不存在。【知识点归类点拔知识点归类点拔】在解题过程中要注意将在向量给出的条件转化向量的坐标运算，从而在解题过程中要注意将在向量给出的条件转化向量的坐标运算，从而 与两交点的坐标联系起
8、来才自然应用韦达定理建立起关系式。此题解答具有很强的示范性，与两交点的坐标联系起来才自然应用韦达定理建立起关系式。此题解答具有很强的示范性， 请同学们认真体会、融会贯通。请同学们认真体会、融会贯通。例例 4 （09 苏州模拟）苏州模拟）已知点 P（4，4） ，圆 C：与椭圆 E：22()5(3)xmym有一个公共点 A（3，1） ，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线22221(0)xyababPF1与圆 C 相切 （）求 m 的值与椭圆 E 的方程；（）设 Q 为椭圆 E 上的一个动点，求的取值范围AP AQ 解：解：（）点 A 代入圆 C 方程，得2(3)15m m3，m1圆 C：22(
9、1)5xy设直线 PF1的斜率为 k，则 PF1：，(4)4yk x即440kxyk直线 PF1与圆 C 相切， 2|044|5 1kkk 解得当 k时，直线 PF1与 x 轴的交点横坐标为，不合题意，舍111,22kk令11 236 11去当 k时，直线 PF1与 x 轴的交点横坐标为4，1 2c4F1（4，0） ，F2（4，0） 2aAF1AF2，5 226 23 2a a218，b22椭圆 E 的方程为： 22 1182xy（），设 Q（x，y） ，(1,3)AP (3,1)AQxy，即，(3)3(1)36AP AQxyxy 22 1182xy22(3 )18xy而，186xy1822(
10、3 )2| |3 |xyxyQPOyxF1ACF2则的取值范围是0，36 222(3 )(3 )6186xyxyxyxy的取值范围是6，63xy的取值范围是12，0 36AP AQxy 例例 5.（南通第一次统考）（南通第一次统考）抛物线24yx的焦点为 F，11221212( ,), (,) (,0,0)A x yB xyxxyy在抛物线上，且存在实数 ，使AFBF 0，25|4AB （1）求直线 AB 的方程； （2）求AOB 的外接圆的方程解：（1）抛物线24yx的准线方程为1x AFBF 0 ，A，B，F 三点共线由抛物线的定义，得|AB |=122xx设直线 AB：(1)yk x，而
11、12 1212 12,0,0,0.yykxxyykxx2(1),4 ,yk xyx 22222(2)0k xkxk2122122(2),1,kxxk xx |AB |=122xx= 222(2)2524k k216 9k 从而4 3k ，故直线 AB 的方程为4(1)3yx，即4340xy （2）由24340,4 ,xyyx 求得 A（4，4） ，B（1 4，1） 设AOB 的外接圆方程为220xyDxEyF，则0,1616440,111()0.164FDEFDEF 解得29,4 3,4 0.DEF 故AOB 的外接圆的方程为22293044xyxy例例 6. （苏北十校期末）（苏北十校期末）
12、如图，已知椭圆的焦点和上顶点分别为2222:1(0)xyCabab、，我们称为椭圆的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似1F2FB12FBFC的，则称这两个椭圆是“相似椭圆” ，且三角形的相似比即为椭圆的相似比.（1）已知椭圆和，判断与是否 2 2 1:14xCy222:1164xyC2C1C相似，如果相似则求出与的相似比，若不相似请说明理由；2C1C（2）写出与椭圆相似且半短轴长为的椭圆的方程，并列举 1CbbC相似椭圆之间的三种性质（不需证明） ； （3）已知直线,在椭圆上是否存在两点、关于直:1l yxbCMN线 对称，若存在，则求出函数的解析式.l f bMN 解解 ：（1）椭圆
13、与相似.2C1C因为的特征三角形是腰长为 4，底边长为的等腰三角形，而椭圆的特征三角2C321C形是腰长为 2，底边长为的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为3. （2）椭圆的方程为：. 2:1bC)0( 142222 bby bx两个相似椭圆之间的性质有：两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方； 分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似，相似比即为椭圆的相似比； 两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合； 过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比. （3）假定存在，则设、所在直线为，中点为.MNyxt MN00,xy则. 142222by bxtxy 0)(485222btxtx所以.5,54 2021 0tytxxx中点在直线上，1yx所以有.35t222 1240100()20(4)425395559
