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1、 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区 域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规 划问题,并能加以解决.1.二元一次不等式表示平面区域(1)一般地,二元一次不等式AxByC0在平面直角 坐标系中表示直线AxByC0某一侧的所有点组成 的平面区域(半平面) 边界直线.不等式AxByC0所表示的平面区域(半平面) 边界直线.不包括包括(2)对于直线AxByC0同一侧的所有点(x,y),使得AxByC的值符号相同,也就是位于同一半平面的点,其坐标适合AxByC0;而位于另一个半平面内的点,其坐标适合 .(3)可在直线AxB
2、yC0的某一侧任取一点,一般取特殊点(x0,y0),从Ax0By0C的 来判断AxByC0(或AxByC0时,区域为直线AxByC0的上方,当B(AxByC)0(0时,最优解是将直线axby0在可行域内 向上方平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的; 当b0时,则是向下方平移.特别警示 当目标函数不是直线形式时,常考虑目标函数的几何意义,常见代数式的几何意义主要有以下几点:(1) 表示点(x,y)与原点(0,0)的距离;表示点(x,y)与(a,b)的距离.(2) 表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率;表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化,
3、往往是解决问题的关键.已知实数x,y满足(1)若z2xy,求z的最大值和最小值.(2)若zx2y2,求z的最大值和最小值;(3)若z ,求z的最大值和最小值.思路点拨课堂笔记 不等式组 表示的平面区域如图所示.图中阴影部分即为可行域.由得 A(1,2);由 得B(2,1);由 得 M(2,3).(1)z2xy,y2xz,当直线y2xz经过可行域内点M(2,3)时,直线在y轴上的截距最大,z也最大,此时zmax2237.当直线y2xz经过可行域内点A(1,2)时,直线在y轴上的截距最小,z也最小,此时zmin2124.所以z的最大值为7,最小值为4.(2)过原点(0,0)作直线l垂直于直线xy3
4、0,垂足为N,则直线l的方程为yx,由 得 N( ),点N( )在线段AB上,也在可行域内.此时可行域内点M到原点的距离最大,点N到原点的距离最小.又|OM| ,|ON| ,即 , x2y213,所以,z的最大值为13,z的最小值为 .(3)kOA2,kOB , 2,所以z的最大值为2,z的最小值为 .在例2中,若zaxy(其中a0),仅在点(1,2)处取得最小值,求a的范围.解:直线xy30的斜率k11,zaxy(a0)的斜率k2a,由题意k1k2,即1a,得a1.1.能建立线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源,问怎样运用这些资 源,使完成的任务量最大,收到的效益最大;
5、(2)给定一项任务,问怎样统筹安排,使完成这项任务耗 费的人力、物力资源量最小.2.解线性规划应用问题的步骤(1)设出决策变量,找出约束条件和线性目标函数;(2)利用图象在线性约束条件下找出决策变量,使目标 函数达到最大或最小.特别警示 (1)用图解法解答线性规划应用题时应注意仔细审题,对关键部分进行“精读”,准确理解题意,明确有哪些限制条件,探求的目标如何?起关键作用的变量有哪些?由于线性规划应用题中的量较多,为了理顺题目中量与量之间的关系,一般可将数据列成一个表格来帮助分析数量关系.(2)要注意结合实际问题,确定未知数x、y等是否有限制.(2009山东高考)某公司租赁甲、乙两种设备生产A、
6、B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元.现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为 元.思路点拨课堂笔记 设需租赁甲型设备x台,乙型设备y台.租赁费为z元.根据题意得 z200x300y.如图可知z在(4,5)处取到最小值,z420053002 300.即所需租赁费最少为2 300元.答案 2 300以选择题和填空题的形式考查给出线性约束条件,求线性目标函数的最值问题是高考对本节内容的常规考法.09年山东、安徽、福建高考则考查了线性规划的
7、逆向性问题,即已知目标函数的最值,求约束条件或目标函数中所含参数的最值范围问题,这是一个新的考查方向.考题印证(2009山东高考)设x,y满足约束条件 若目标函数zaxby(a0,b0)的最大值为12,则的最小值为 ( )A. B.C. D.4【解析】 由图形可知,目标函数在(4,6)处取得最大值12,2a3b6,从而有 (2a3b)【答案】 A自主体验已知x、y满足 且目标函数z2xy的最大值为7,最小值为1,则 ( )A.2 B.2C.1 D.1解析:先作出 所表示的平面区域,再将目标函数z2xy进行平移,可知目标函数z2xy在直线2xy7和xy4的交点(3,1)处取得最大值7,在直线2x
8、y1和x1的交点(1,1)处取得最小值1,故直线axbyc0经过点(3,1)与点(1,1),且c0,代入两点坐标可解得 故 2.答案:A1.(2009安徽高考)不等式组 所表示的平面区域 的面积等于 ( )A. B.C. D.解析:不等式组表示的平面区域如图所示.A(0, ),B(1,1),C(0,4).SABC |AC|h答案:C2.(2009宁夏、海南高考)设x、y满足 则zx y ( )A.有最小值2,最大值3B.有最小值2,无最大值C.有最大值3,无最小值D.既无最小值,也无最大值解析:不等式组 的平面区域为如图的阴影区域.xy在点A(2,0)处取最小值为2,无最大值.答案:B3.若实
9、数x,y满足 且x2y2的最大值等于34, 则正实数a 的值等于 ( )A. B.C. D.解析:在平面直角坐标系中画出已知不等式组所表示的平面区域MPA(如图所示),其中直线axya0的位置不确定,但它经过定点A(1,0),斜率为a.又由于x2y2( )2,且x2y2的最大值等于34,所以平面区域MPA中的点到原点的最大距离等于 ,又M( ,3),OM ,所以点P( 1,3)到原点的距离最大,故有( 1)2934,解得a .答案:B4.如图,ABC中,A(0,1),B(2,2), C(2,6),则ABC区域所表示的二元一次不等式组为 .解析:由两点式得直线AB、BC、CA的方程并化简为:直线
10、AB:x2y20,直线BC:xy40,直线CA:5x2y20.原点(0,0)不在各直线上,将原点坐标代入到各直线方程左端,结合式子的符号可得不等式组为答案:5.已知点(x,y)在如图所示平面区域内运动(包含边界), 目标函数zkxy.当且仅当x ,y 时,目标 函数z取最小值,则实数k的取值范围是 .解析:答案:6.某公司仓库A存有货物12吨,仓库B存有货物8吨,现按 7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店, 从仓库A运货物到商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分 别为8元、6元、9元;从仓库B运货物到商店甲、乙、丙, 每吨货物的运费分别为3元、4元、5元.问应如何安排调 运方案,才能使
11、得从两个仓库运货物到三个商店的总运 费最少?解:将已知数据列成下表:商店每吨运费仓库甲乙丙AB836495设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x吨,y吨,则仓库A运给丙商店的货物为(12xy)吨,从而仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7x)吨、(8y)吨、5(12xy)(xy7)吨,于是总运费为z8x6y9(12xy)3(7x)4(8y)5(xy7)x2y126.线性约束条件为 ,即 ,目标函数为zx2y126.作出上述不等式组表示的平面区域,即可行域,如图所示作出直线l:x2y0,把直线l平行移动,显然当直线l移动到过点(0,8)时,在可行域内zx2y126取得最小值zmin028126110,则x0,y8时总运费最小.