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1、Hilbert-Huang变换方法傅里叶变换理论不适合分析非平稳振动信号，对非平稳信号比较直观、有效的分析方法是使用具有局域性的基本量和基函数。 1996年，美籍华人Norden E. Huang等人在对瞬时频率的概 念进入深入研究后，创立了Hilbert-Huang变换（HHT）。 创造性地提出了固有模态函数（IMF）的新概念以及将任意信 号分解为固有模态函数的方法经验模态分解（EMD），从而 赋予瞬时频率合理的定义、物理意义和求法。在振动工程领域，HHT变换被应用于故障检测、参数识别等方 面。Hilbert-Huang变换方法一 HHT变换方法的基本理论 1、瞬时频率 HHT分析数据的步骤
2、：a. 把信号分解成一些基本的固有模态函 数分量（IMF）；b. 把IMF分量进行相应的谱分析（Hilbert变换） ，从而得到时频平面上的能量分布谱图（Hilbert时频谱）。 必要条件：能量密度和频率必须是时间的函数，而不是FFT分 析得出的全局谱与能量分布。Hilbert-Huang变换方法一 HHT变换方法的基本理论 1、瞬时频率 HT中的瞬时频率定义：由于带宽的限制， 定义方法没被建立 起来。Hilbert-Huang变换方法一 HHT变换方法的基本理论 2、固有模态函数 为了定义一个有意义的瞬时频率，必须把数据分解成基本模式 分量，该分量或函数必须满足两个条件（IMF）： a. 在
3、整个数据集中，其极值点个数和过零点的数目相等或最多 差1个； b. 在任意点，由局部极大值构成的上包络和由局部极小值构成 的下包络的均值必须为零Hilbert-Huang变换方法二 固有模态函数的数学模型 1 固有模态函数的数学模型且满足三个条件： a. a(t)0 b. (t)0，即(t) 单调上升 c. c(t)与cos(a(t)具有同向单调性Hilbert-Huang变换方法三 HHT的实现 1、经验模式分解 a. 筛选/移动的包络线算法 EMD方法吧信号分解成各个IMF的步骤如下： 1) 识别出信号X(t)的所有极值点，将极大值点拟合出上包络线 u(t),将极小值点拟合出下包络线v(t
4、)，满足v(t) X(t) u(t)； 2) 求上下包络的平均曲线m(t), m(t)=0.5u(t)+ v(t); 3) 计算h1= X(t) -m(t)，并重复 mk-1(t)=0.5uk-1 (t)+ vk-1 (t) hk(t)= hk-1(t)-mk-1(t)直到hk满足 IMF条件，得到第一个IMFHilbert-Huang变换方法三 HHT的实现 1、经验模式分解 a. 筛选/移动的包络线算法 4) C1(t)= hk(t)，r1(t)= X(t)- C1(t)，对r1(t)继续EMD分解，直 到所得的剩余部分为一单调信号或其值小于预先给定的值时，分解 完毕。 IMF的余量和分量
5、： rn(t)= rn-1(t)- Cn(t) X(t)= C1(t)+C2(t)+.+Cn(t)+rn(t)Hilbert-Huang变换方法三 HHT的实现 案例1Hilbert-Huang变换方法三 HHT的实现Hilbert-Huang变换方法三 HHT的实现Hilbert-Huang变换方法三 HHT的实现Hilbert-Huang变换方法三 HHT的实现Hilbert-Huang变换方法三 HHT的实现Hilbert-Huang变换方法三 HHT的实现Hilbert-Huang变换方法三 HHT的实现 案例2Hilbert-Huang变换方法三 HHT的实现Hilbert-Huan
6、g变换方法三 HHT的实现Hilbert-Huang变换方法三 HHT的实现Hilbert-Huang变换方法三 HHT的实现Hilbert-Huang变换方法三 HHT的实现Hilbert-Huang变换方法三 HHT的实现 2、经验模式分解标准的选择 HHT变换中的EMD本质是筛选，可以消除附加波的影响，但 是使每个IMF满足两个必要条件比较困难，需要确定一个标准使分 离过程停下来S值定在0.20.3 终止标准不同， 分离出的IMF的个数和振幅也会有所区别Hilbert-Huang变换方法三 HHT的实现 3、经验模式分解中的端点问题及其解决办法 对于原始信号进行EMD运算，首先要得到其上
7、、下包络，即根 据信号极大极小值，用样条曲线进行逼近。 由于所分析信号的有限长度、信号的两端点不能确定是否是极 值，因此，进行插值的时候，必然使得信号的上下包络在信号的两 端附近严重扭曲。对高频分量，端部的边缘效应影响小，对于低频 分量，极值间的距离大，端部的边缘效应影响大。 对多分量复杂信号，特别是需要多次EMD分解的时候，边缘效 应会放大，严重淹没信号的端部特征，即所谓的端点飞翼问题。Hilbert-Huang变换方法三 HHT的实现 3、经验模式分解中的端点问题及其解决办法 1) 信号包络的极值延拓 对极大值和极小值进行延拓，而不必对信号本身进行延拓。 极大值和极小值是相间分布的，同时考
8、虑插值的要求，所以只 要在信号左、右两端分别延拓两个极大值和极小值即可。 以端点的一个特征波为依据进行延拓具有较好的效果。 特点：实现比较简单，有一定误差，且每次循环都会对端点延 拓，误差会积累变大，致使处理的效果欠佳。Hilbert-Huang变换方法三 HHT的实现 3、经验模式分解中的端点问题及其解决办法 2) 信号包络的镜像闭合延拓 在信号从左边向右的第l个极值处，和从信号右边起向左的第r 个极值处分别放置两面平面镜，把镜内的信号向外进行映射。得到 序列长度为两倍于镜内信号长度的周期性信号。把它头尾相结，便 构成一个环形的闭合曲线。镜像延拓后的曲线不含端点（周期性） ，故称为信号的镜像
9、闭合延拓。 特点：只需对原始信号进行一次延拓；若信号本身存在较强的 对称性，把镜子放在具有对称性的极值出，处理效果极佳。若信号 不对称，会引入端点影响。Hilbert-Huang变换方法三 HHT的实现 3、经验模式分解中的端点问题及其解决办法 3) 信号包络的神经网络延拓 先由学习过程确定网络模型的权值矢量和偏移量，再由其模型 对数据进行左右延拓。 特点：可以很好的抑制端点效应，但每次求解IMF分量的循环 中都要对原数据序列的两端进行延拓，速度太慢。另外，对于不同 类型的数据序列，需根据具体情况设定不同类型的神经网络模型， 给实现带来麻烦。Hilbert-Huang变换方法三 HHT的实现
10、3、经验模式分解中的端点问题及其解决办法 4) 利用自回归（AR）模型进行端点延拓 设x(n)之前的p个数据已知，希望利用这p个数据的线性组合来 预测x(n)的值。根据线性预测方法，通过预测值 与实际值x(n)之间总的预 测误差功率最小的原则，可以求出系数ak，根据上式求出预测值 然后根据新的序列预测x(n+1)。依次类推，可以求出x(n-1)之后的 任意时刻的预测值。Hilbert-Huang变换方法三 HHT的实现 3、经验模式分解中的端点问题及其解决办法 4) 利用自回归（AR）模型进行端点延拓 特点：距离越远预测值与真实值之间的误差越大。 具有较好的精度。但是是边筛分，边延拓，即每一次
11、求IMF分 量的循环中都要进行预测延拓，误差会累积增大。Hilbert-Huang变换方法三 HHT的实现 3、经验模式分解中的端点问题及其解决办法 5) 基于多项式拟合算法的端点延拓 首先取出原极值点序列做左端的三个极值点，然后对所取得的 极值点利用最小二乘法求出拟合多项式，计算出多项式对应数据序 列左端点的函数值，把此函数值作为极值点序列在该端点处的近似 值。同理，求出右端点处的近似取值。 特点：渲染只能求出极值点序列在端点处的近似值，但使得包 络完全由端点以内的数据确定，不但抑制了端点效应，而且把其中 的主要信息也完整地提取出来。Hilbert-Huang变换方法四 Hilbert变换的
12、时频谱与边际谱 经过经验模式分解，得到信号的各个内在IMF分量。所有IMF的瞬时频率和瞬时幅度均为时间的函数。 其中所有IMF分量的均值为0。因为Hilbert变换后瞬时幅值和 瞬时频率对偏移量非常敏感。例如：Hilbert-Huang变换方法四 Hilbert变换的时频谱与边际谱 3个变量a，w，t互相相关，如三维平面的3条坐标轴，易得到 分别以(w,a),(w,t),(t,a)为底的三维图像。其中任意一个三维图像都 表示Hilbert谱。以(w,t)为函数的幅度a，称为Hilbert幅度谱H(w,t)Hilbert-Huang变换方法四 Hilbert变换的时频谱与边际谱 边际谱：h(w)
13、，表明单位频率内的幅度分布的累加。在傅里叶表达中，在某一频率w处能量的存在，代表一个正弦 或余弦波在整个时间长度上都存在。 在Hilbert变换里，仅代表在数据的整个时间长度上，很可能有 这样一个频率的振动波在局部出现过。 在边际谱某一频率仅代表有这样频率的振动存在的可能性，发 生的精确时间在Hilbert幅值谱中给出。Hilbert-Huang变换方法五 Hilbert-Huang变换的实现流程1、经验模式分解，为迭代过程，最后得到信号分解 的结果，是一些满足固有模态函数定义的分量； 2、求解时频谱的过程。Hilbert-Huang变换方法六 影响Hilbert-Huang变换的几个因素 1
14、、数学理论依据。核心算法EMD只是一种经验式的 分解方法，没有太多的数学理论依据； 2、上、下包络的曲线拟合。Huang等人采用的是三 次样条曲线拟合，有待进一步的深入研究； 3、EMD的停止标准。对于不同的停止标准，得到的IMF分量有一定的区别； 4、边界摆动问题。三次样条曲线的拟合方法，在边 界处会出现摆动现象。Hilbert-Huang变换方法六 Hilbert-Huang变换的应用 1、非平稳信号趋势项的剔除 1) 优势 均值具有趋向性的非平稳随机信号是由确定性部分和 平稳随机部分所组成，即平稳随机部分趋势项。可以为线性函数、幂函数、指数函 数及周期函数等Hilbert-Huang变换
15、方法六 Hilbert-Huang变换的应用 1、非平稳信号趋势项的剔除 1) 优势 传统的趋势项提取法：根据需要对数据做某类函数的 拟合，不具有自适应的特点，且比较复杂。 对趋势项的具体形式不感兴趣时，可用ARMA模型法或季节模型法，对数据作若干次差分或季节差分处理，将 趋势项剔除，使数据变为平稳随机的。 对趋势项的具体形式感兴趣时，可用最小二乘法，对 数据作某类函数拟合。Hilbert-Huang变换方法六 Hilbert-Huang变换的应用 1、非平稳信号趋势项的剔除 1) 优势 经验模式分解，将原始信号分解，总是得到从高频到 低频，最后为单调的趋势项的一组固有模态函数，其分解 是很有
16、规律的，尤其适合于处理均值具有趋向性的非平稳随机信号。Hilbert-Huang变换方法六 Hilbert-Huang变换的应用 1、非平稳信号趋势项的剔除 2) 仿真实例 平稳随机信号 趋势项：Hilbert-Huang变换方法六 Hilbert-Huang变换的应用 1、非平稳信号趋势项的剔除线性趋势项的EMD结果Hilbert-Huang变换方法六 Hilbert-Huang变换的应用 1、非平稳信号趋势项的剔除幂函数趋势项的EMD结果Hilbert-Huang变换方法六 Hilbert-Huang变换的应用 1、非平稳信号趋势项的剔除指数函数趋势项的EMD结果Hilbert-Huang变换方法六 Hilbert-Huang变换的应用 1、非平稳信号趋势项的剔除周期趋势项的EMD结果Hilbert-Huang变换方法六 Hilbert-Huang变换的应用 1、非平稳信号趋势项的剔除 3) 应用实例 一辆卡车以10km/h20km/h的速度在树林中
