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1、第一课不等式和绝对值不等式【网络络体系】【核心速填】 1.不等式的基本性质质(1)对对称性:ab_.(2)传递传递 性:ab,bc_.(3)加(减):ab_.(4)乘(除):ab,c0_;ab,cca+cb+cacbcacb0_,nN*,且n2.(6)开方:ab0_,nN*,且n2.anbn2.基本不等式(1)定理1:如果a,bR,那么a2+b2_(当且仅仅当a=b时时,等号成立).(2)定理2:如果a,b0,那么 _(当且仅仅当a=b时时,等号成立).2ab(3)引理:如果a,b,cR+,那么a3+b3+c3_(当且仅仅当a=b=c时时,等号成立).(4)定理3:如果a,b,cR+,那么 _
2、(当且仅仅当a=b=c时时,等号成立).(5)推论论:如果a1,a2anR+,那么 _(当且仅仅当a1=a2=an时时,等号成立).3abc3.绝对值绝对值 三角不等式(1)|a|的几何意义义表示数轴轴上的点到原点的_,|a-b|的几何意义义表示数轴轴上两点间间的_.(2)|a+b|_(a,bR,ab0时时等号成立).(3)_|a-b|+|b-c|(a,b,cR,(a-b)(b-c)0时时等号成立).距离距离|a|+|b|a-c|(4)|a|-|b|a+b|_(a,bR,左边边“=”成立的条件是ab0,右边边“=”成立的条件是ab0).(5)_|a-b|a|+|b|(a,bR,左边边“=”成立
3、的条件是ab0,右边边“=”成立的条件是ab0).|a|+|b|a|-|b|【易错错警示】 1.关注不等式性质质的条件(1)要注意不等式的等价性.(2)应应用不等式时时,要注意不等式成立的条件.2.基本不等式求最值时值时 的关注点要注意考虑虑所给给式子是否满满足“一正,二定,三相等”的要求.3.解绝对值绝对值 不等式的关注点由绝对值绝对值 不等式转转化为为不含绝对值绝对值 不等式时时,要注意转转化的等价性,特别别是平方时时,两边应边应 均为为非负负数.类类型一 不等式的基本性质质的应应用【典例1】已知:ab0,cb0,c0,ab0,所以 0,所以 【方法技巧】不等式的基本性质应质应 用的注意点
4、(1)注意不等式成立的条件,若弱化或强化了条件都可能得出错误错误 的结论结论 .(2)注意明确各步推理的依据,以防出现现解题题失误误.【变变式训练训练 】1.若a,b是任意实实数,且ab,则则( )A.a2b2 B. 0D. 【解析】选D.因为y= 是减函数,所以ab 2.“x0”是“x+ 2”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.当x0时, =2,因为x,同号,所以当x+ 2时,则x0, 0,所以x0.3.已知:xy0,mn0求证证: 【证明】因为mn0,所以 0,因为xy0,所以 0,所以 类类型二 基本不等式的应应用【典例2】(1
5、)x,y,zR+,x-2y+3z=0,求 的最小值值.(2)若a,b,cR+,且a+b+c=1,求证证:【解析】(1)由x-2y+3z=0,得y= ,则 当且仅当x=3z时,等号成立.(2)因为a,b,cR+且a+b+c=1,所以2=(a+b)+(b+c)+(c+a)所以(a+b)+(b+c)+(c+a) 所以【方法技巧】利用基本不等式求最值问题值问题 的类类型(1)和为为定值时值时 ,积积有最大值值.(2)积为积为 定值时值时 ,和有最小值值.在具体应应用基本不等式解题时题时 ,一定要注意适用的范围围和条件:“一正、二定、三相等”.【变变式训练训练 】1.已知xR+,则则函数y=x2(1-x
6、)的最大值为值为 _.【解析】y=x2(1-x)=xx(1-x)=xx(2-2x) 当且仅当x=2-2x,即x= 时取等号.此时,ymax= .答案: 2.求函数y= 的最小值值.【解析】y= +2+2tan2=3+ +2tan23+2 =3+2 .当且仅当2tan2= 即tan= 时,等号成立.所以ymin=3+2 .类类型三 绝对值绝对值 不等式的解法【典例3】解关于x的不等式|2x-1|0,又xg(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)f(x)2g(x)2.(4)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型:零点分段讨论讨论 法;利用|x-a|的几何意义义法;在直
7、角坐标标系中作出不等式两边边所对应对应 的两个函数的图图象.【变变式训练训练 】1.解不等式|x+1|x-3|.【解析】方法一:由|x+1|x-3|两边平方得(x+1)2(x-3)2,所以8x8,所以x1,所以原不等式的解集为x|x1.方法二:当x-1时,有-x-1-x+3,此时x无解;当-1-x+3,即x1,所以此时13时,有x+1x-3成立,所以x3.所以原不等式解集为x|x1.2.已知函数f(x)=|2x+1|-|x|-2.(1)解不等式f(x)0.(2)若存在实实数x,使得f(x)|x|+a,求实实数a的取值值范围围.【解析】(1)函数f(x)=|2x+1|-|x|-2当x0),g(x
8、)=x+2.(1)当a=1时时,求不等式f(x)g(x)的解集.(2)若f(x)g(x)恒成立,求实实数a的取值值范围围.【解析】(1)当a=1时,不等式f(x)g(x),即|2x-1|+|2x+1|x+2,解求得x无解,解求得0x 解求得 综上,不等式的解集为 (2)由题意可得|2x-a|+|2x+1|x+2恒成立,转化为|2x-a|+|2x+1|-x-20恒成立,令h(x)=|2x-a|+|2x+1|-x-2=易得h(x)的最小值为 -1,令 -10,解得a2.【方法技巧】对对于恒成立不等式求参数范围问题围问题 的常见类见类 型及其解法(1)分离参数法:运用“f(x)af(x)maxa,f
9、(x)af(x)mina”可解决恒成立中的参数范围问题围问题 .(2)更换换主元法:不少含参数的不等式恒成立问题问题 ,若直接从主元入手非常困难难或不可能时时,可转换转换 思维维角度,将主元与参数互换换,常可得到简简捷的解法.(3)数形结结合法:在研究曲线线交点的恒成立问题时问题时 ,若能数形结结合,揭示问题问题 所蕴蕴含的几何背景,发挥发挥 形象思维维与抽象思维维各自的优势优势 ,可直观观地解决问题问题 .【变变式训练训练 】1.若不等式|x-a|+|x-2|1对对任意实实数x恒成立,求实实数a的取值值范围围.【解析】设y=|x-a|+|x-2|,则ymin=|a-2|因为不等式|x-a|+|x-2|1对任意x恒成立,所以|a-2|1,解得a3或a1.2.(2016南昌高二检测检测 )已知函数f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a.(1)当a=0时时,解不等式f(x)g(x).(2)若存在xR,使得f(x)g(x)成立,求实实数a的取值值范围围.【解析】(1)当a=0时,由f(x)g(x)得|2x+1|x|,两边平方整理得3x2+4x+10,解得x-1或x- ,所以原不等式的解集为(-,-1 (2)由f(x)g(x)得a|2x+1|-|x|,令h(x)=|2x+1|-|x|,即h(x)=故h(x)min= ,故可得到实数a的范围为
