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1、20092009 届高考数学压轴题预测届高考数学压轴题预测专题二 数列1.已知函数2( )1f xxx，, 是方程f(x)0 的两个根()，( )fx是f(x)的导数；设11a ，1() ()n nn nf aaafa(n1，2，)(1)求, 的值；(2)证明：对任意的正整数n，都有naa；(3)记lnn n nabaa(n1，2，)，求数列bn的前n项和Sn。解析：(1)2( )1f xxx，, 是方程f(x)0 的两个根()，1515,22 ；(2)( )21fxx，21115(21)(21)1244 2121nnnnn nnn nnaaaaaaaaaa5 114(21)4212n naa
2、，11a ，有基本不等式可知25102a(当且仅当151 2a时取等号)，25102a同，样351 2a，51 2na(n1，2，)，(3)1()()(1)2121nnn nnn nnaaaaaaaa ，而1 ，即1 ，21() 21n n naaa，同理21() 21n n naaa，12nnbb，又113535lnln2ln1235b 352(21)ln2n nS2.已知数列 na的首项121aa（a 是常数，且1a ） ，2422 1nnaann（2n ） ，数列 nb的首项1ba，2nabnn（2n ） 。 （1）证明： nb从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列；（2）设nS为数列
3、 nb的前 n 项和，且 nS是等比数列，求实数a的值；（3）当 a0 时，求数列 na的最小项。分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出，第（3）问由a的不同而要分 类讨论。解：（1）2nabnn222 11) 1(2) 1(4) 1(2) 1(nnnanabnnnnnbna2222(n2)由121aa得24aa，22444baa，1a ， 20b ，即 nb从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列。（2）1(44)(21)34(22)22 1n n naSaaa 当 n2 时，11 1(22)234342(22)234(1)234n n nn nSaaa Saaaa nS是等
4、比数列, 1nn SS(n2)是常数，3a+4=0，即4 3a 。（3）由（1）知当2n 时，2(44)2(1)2nn nbaa，所以221(1)(1)2(2)nnanaan n，所以数列 na为 2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，显然最小项是前三项中的一项。当1(0, )4a时，最小项为 8a-1；当1 4a 时，最小项为 4a 或 8a-1；当1 1( , )4 2a时，最小项为 4a；当1 2a 时，最小项为 4a 或 2a+1；当1( ,)2a时，最小项为 2a+1。点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。 考点二：求数列的通项与求和3.已知
5、数列na中各项为：12、1122、111222、111n 个222n 个（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.（2）求这个数列前 n 项之和 Sn . 分析：先要通过观察，找出所给的一列数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。解：（1）12(101) 10(101)99nnn na 1(101) (102)9nn101101() (1)33nn 记：A =101 3n, 则 A=333n 为整数 na= A (A+1) ， 得证 (2) 21121010999nn na 2422112(101010 )(10 1010 )999nn nSn2211(1011 10198210)89
6、1nnn点评：本题难点在于求出数列的通项，再将这个通项“分成” 两个相邻正数的积，解 决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。4.已知数列 na满足411a， ), 2(2111Nnnaaannn n（）求数列 na的通项公式na；（）设21nnab ，求数列 nb的前n项和nS；（）设2) 12(sinnacnn，数列 nc的前n项和为nT求证：对任意的 Nn，74nT分析：本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列中不 等式的证明通常是放缩通项以利于求和。解：（）12) 1(1nnnaa，) 1(1)2() 1(111nnnnaa，又3) 1(11a，数列 nna11
7、是首项为3，公比为2的等比数列1)2(3) 1(1nnna， 即123) 1(11nnna. （）12649) 123(1121nnn nb9264321)21 (1641)41 (19nnSnnnnn （）1) 1(2) 12(sinnn，1231 ) 1()2(3) 1(111nnnnnc 个当3n时，则1231 1231 1231 13112nnT212 21 1211321)(1 2811 231 231 231 71 41 nn74 8448 8447 61 2811)21(1 61 28112n321TTT， 对任意的 Nn，74nT 点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟
8、悉的结构求得数列 na的通项na，第三问不等式的证明要用到放缩的办法，这将到下一考点要重点讲到。考点三：数列与不等式的联系5.已知为锐角，且12tan，函数)42sin(2tan)(2xxxf，数列an的首项)(,2111nnafaa. 求函数)(xf的表达式； 求证：nnaa1； 求证：),2(211 11 111*21Nnnaaan分析：本题是借助函数给出递推关系，第（2）问的不等式利用了函数的性质，第 （3）问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。解：1) 12(1) 12(2 tan1tan22tan22 又为锐角42 1)42sin( xxxf2)( nnnaa
9、a2 1211a naaa,32都大于 002na nnaa1 nnnnnnnaaaaaaa111 )1 (1112 1111 11nnnaaa1322121111111 11 11 11nnnaaaaaaaaa1111211nnaaa43 21)21(2 2a, 143)43(2 3a , 又nnaan12131aan 21211na211 11 11121naaa点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（3）问不等 式的证明更具有一般性。6.已知数列 na满足111,21nnaaanN （）求数列 na的通项公式；（）若数列 nb满足nnb nbbbba) 1(44
10、441111321，证明： nb是等差数列；（）证明：2311112 3nnNaaa分析：本例（1）通过把递推关系式转化成等比型的数列；第（2）关键在于找出连续 三项间的关系；第（3）问关键在如何放缩。 解：（1）121nnaa，) 1(211nnaa故数列1na是首项为 2，公比为 2 的等比数列。n na21，12 n na（2）nnb nbbbba) 1(44441111321，nnnbnbbb24)(21nnnbnbbb2)(2211121) 1() 1(2)(2nnnbnnbbbb得nnnnbbnb11) 1(22，即1) 1(2nnbnnb212) 1(nnnbbn得112nnnn
11、bnbnb，即112nnnbbb所以数列nb是等差数列（3）1111 21 221 1211nnn naa设132111naaaS，则)111(211322naaaaS)1(21112naSa321 3212112nnaaaS点评：数列中的不等式要用放缩来解决难度就较大了，而且不容易把握，对于这样的 题要多探索，多角度的思考问题。7.已知函数( )ln 1f xxx,数列 na满足101a, 1nnaf a; 数列 nb满足1111,(1)22nnbbnb, *nN.求证:（）101;nnaa（）21;2n naa（）若12,2a 则当 n2 时,!nnban.分析：第（1）问是和自然数有关的
12、命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利 用函数的单调性；第（3）问进行放缩。解：()先用数学归纳法证明01na,*nN.（1）当 n=1 时,由已知得结论成立; （2）假设当 n=k 时,结论成立,即01ka.则当 n=k+1 时,因为 0g(0)=0.因为01na,所以 0ng a,即 22n naf a0,从而21.2n naa() 因为 1111,(1)22nnbbnb,所以0nb ,1nnb b1 2n , 所以12 1 1211!2nn nn nnbbbbbnbbb , 由()21,2n naa知:1 2nnnaa a, 所以1na a=312121212 22nnnaaaaa
13、 a aaa ,因为12 2a , n2, 101.nnaa所以 na112 12 22naa aa1 12nna2 12 2na=1 2n .由 两式可知: !nnban.点评：本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应 引起注意。 考点四：数列与函数、向量等的联系8.已知函数 f(x)=52 168x x ，设正项数列 na满足1a=l， 1nnaf a(1)写出2a、3a的值; (2)试比较na与5 4的大小，并说明理由；(3)设数列 nb满足nb=5 4na，记 Sn=1ni ib证明：当 n2 时,Sn1 4(2n1)分析：比较大小常用的办法是作差法，而求和式的不等式常用的办法是放缩法。解：(1)152 168n
