《高考数学题预测立体几何》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学题预测立体几何（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、转化转化20092009 届高考数学压轴题预测届高考数学压轴题预测专题五 立体几何立体几何1.如图, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AA14，点D是AB的中点， （I）求证：ACBC1； （II）求证：AC 1/平面CDB1；解析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.答案答案: :解法一解法一：（I）直三棱柱ABCA1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5， ACBC，且BC1在平面ABC内的射影为BC， ACBC1；（II
2、）设CB1与C1B的交点为 E，连结 DE， D 是AB的中点，E 是BC1的中点， DE/AC1， DE平面CDB1，AC1平面CDB1， AC1/平面CDB1；解法二：解法二：直三棱柱ABCA1B1C1底面三边长AC3，BC4，AB5，AC、BC、C1C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C1C分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则C（0,0，0） ，A（3,0，0） ，C1（0,0，4） ，B（0,4，0） ，B1（0,4，4） ，D（23，2,0）（1）AC（3,0，0） ，1BC（0，4,0） ，AC1BC0，ACBC1.（2）设CB1与C1B的交战为 E
3、，则 E（0,2，2）.DE（23，0,2） ，1AC（3,0，4） ，121ACDE ，DEAC1.点评：2平行问题的转化：面面平行线面平行线线平行；主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理2.如图所示，四棱锥 PABCD 中，ABAD，CDAD，PA底面ABCA1B1C1ExyzABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M 为 PC 的中点。(1)求证：BM平面 PAD；(2)在侧面 PAD 内找一点 N，使 MN平面 PBD；(3)求直线 PC 与平面 PBD 所成角的正弦。解析：本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.答案：（1）M是P
4、C的中点，取 PD 的中点E，则MECD21，又ABCD21四边形ABME为平行四边形 BMEA，PADBM平面 PADEA平面 BMPAD平面（4 分）（2）以A为原点，以AB、AD、AP 所在直线为x轴、y轴、 z轴建立空间直角坐标系，如图，则)0 , 0 , 1B，0 , 2 , 2C，0 , 2 , 0D，2 , 0 , 0P， 1 , 1 , 1M，1 , 1 , 0E在平面PAD内设zyN, 0，1, 1, 1 zyMN，2, 0 , 1 PB，0 , 2, 1 DB 由 PBMN 0221 zPBMN 21z由 DBMN 0221 yDBMN 21y 21,21, 0NN是AE的
5、中点，此时BDMNP平面（8 分）（3）设直线PC与平面PBD所成的角为 2, 2 , 2 PC， 21,21, 1MN，设 MNPC,为3226322cos MNPCMNPC 32cossin故直线PC与平面PBD所成角的正弦为32（12 分）解法二：（1）M是PC的中点，取 PD 的中点E，则MECD21，又ABCD21四边形ABME为平行四边形 BMEA，PADBM平面 PADEA平面 BMPAD平面（4 分）（2）由（1）知ABME为平行四边形ABCDPA底面ABPA ，又ADAB PADAB平面 同理PADCD平面，PAD平面AE AEAB ABME为矩形 CDME，PDCD ，又
6、AEPD PDME ABME平面PD PBDPD平面 ABMEPBD平面平面 作EBMF故PBD平面MF MF交AE于N，在矩形ABME内，1 MEAB，2AE32MF，22NE N为AE的中点当点N为AE的中点时，BDMNP平面（8 分）（3）由（2）知MF为点M到平面PBD的距离，MPF为直线PC与平面PBD所成的角，设为，32sinMPMF直线PC与平面PBD所成的角的正弦值为32点评：（1）证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可；（2）求斜线与平 面所成的角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线，斜线和射影所成的角，即为所求角； （3）证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线
7、垂直变可.这些从证法中都能十分 明显地体现出来 3.如图，四棱锥PABCD中，侧面PDC是边长为 2 的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是60ADC的菱形，M为PB的中点. ()求PA与底面ABCD所成角的大小； ()求证：PA平面CDM； ()求二面角DMCB的余弦值. 解析：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 求二面角的大小也可应用面积射影法，比较好的方法是向量法头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头
8、头 头头 头 头 头 头 头头 头 答案：(I)取DC的中点O，由 PDC是正三角形，有PODC 又平面PDC底面ABCD，PO平面ABCD于O 连结OA，则OA是PA在底面上的射影PAO就是PA与底面所成角 ADC=60，由已知 PCD和 ACD是全等的正三角形，从而求得OA=OP=3 PAO=45PA与底面ABCD可成角的大小为 45 6 分 (II)由底面ABCD为菱形且ADC=60，DC=2，DO=1，有OADC 建立空间直角坐标系如图，则( 3, 0, 0),(0, 0,3),(0,1, 0)APD, ( 3, 2, 0),(0,1, 0)BC由M为PB中点，33(,1,)22M33
9、(, 2,),( 3, 0,3),22DMPA (0, 2, 0)DC 3332 0(3)022PA DM ，032 00 (3)0PA DC PADM，PADC PA平面DMC4 分(III)33(, 0,),( 3,1, 0)22CMCB 令平面BMC的法向量( , )nx y z，则0n CM ，从而x+z=0； , 0n CB ，从而30xy 由、，取x=1，则3,1yz 可取( 1,3,1)n 由(II)知平面CDM的法向量可取( 3, 0,3)PA ，2 310cos,5|56n PAn PAnPA 所求二面角的余弦值为10 56 分法二：（）方法同上 （）取AP的中点N，连接MN
10、，由（）知，在菱形ABCD中，由于60ADC，则AOCD，又POCD，则CDAPO 平面，即CDPA，又在PAB中，中位线/MN1 2AB，1/2COAB，则/MN CO，则四边形OCMN为A，所以/MCON，在APO中，AOPO，则ONAP，故APMC而 MCCDC，则PAMCD 平面（）由（）知MCPAB 平面，则NMB为二面角DMCB的平面角，在RtPAB中，易得6,PA22226210PBPAAB，210cos510ABPBAPB，10coscos()5NMBPBA 故，所求二面角的余弦值为10 5点评：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强头 头 头 头
11、头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 用平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角，是常用的方法. 4.如图所示：边长为 2 的正方形ABFC和高为 2 的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=2，ED/AF且DAF=90。（1）求BD和面BEF所成的角的余弦；（2）线段EF上是否存在点P使过P、A、C三点 的平面和直线DB垂直，若存在，求EP与 PF的比值；若不存在，说明理由。 解析：1.先假设存在，再去推理，下结论： 2. 运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出 结论，然后再根据条件给出证明或计算
12、。 答案：（1）因为 AC、AD、AB 两两垂直，建立如图 坐标系， 则 B（2，0，0） ，D（0，0，2） ， E（1，1，2） ，F（2，2，0） ，则)0 , 2 , 0(),2 , 1 , 1(),0 , 0 , 2(BFBEDB设平面BEF的法向量xzyxn则),(0, 02yzy，则可取)0 , 1 , 2(n，向量) 1 , 0 , 2(nDB和所成角的余弦为1010)2(21220222222 。即 BD 和面 BEF 所成的角的余弦1010。（2）假设线段 EF 上存在点 P 使过 P、A、C三点的平面和直线 DB 垂直，不妨设 EP 与APF的比值为m，则P点坐标为),1
13、2,121,121(mmm mm 则向量AP),12,121,121(mmm mm ，向量CP),12,11,121(mmmm 所以21, 012)2(12101212mmmm mm所以。点评：本题考查了线线关系，线面关系及其相关计算，本题采用探索 式、开放式设问方式，对学生灵活运用知识解题提出了较高要求。5.已知正方形ABCD头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 E、F分别是AB、CD的中点,将ADEA沿DE折起,如图所示,记二面角ADEC的大小为(0)头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 (I) 证明/BF平面AD E;(II)若A
