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1、北京市西城区 2009 年高三抽样测试高三三数学试卷（文科）（文科） 2009.1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟.第卷(选择题 共 40 分)一、本大题共一、本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项题目要求的一项. 1.若集合，则集合等于（ ）12 3 4A ，2 4 7 81,3,4,5,9BC，()ABCA. B. C. D. 2,41,2,3,42,4,7,81,3,42.若向量，则等于（ ）(12) ，a( 3,4)b
2、 =()()a b a+bA. B. 20( 10,30)C. D.54( 8,24)3. 若，且，则等于（ ）3tan4sincot0sinA. B. 3 53 5C. D. 4 54 54.已知函数，那么函数的反函数的定义域为（ ）( )3xf x ( )f x1( )fxA. B. |1x x |0x x C. D. R |01x xx且5.已知 m 是平面的一条斜线，点，l 为过点 A 的一条动直线，那么下列情形可能A出现的是（ ）A. B. / / ,lm l,lm l三总分题号分数 一 二 151617181920P 4 ma mDCABC. D. ,/ /lm l/ / /lml
3、，6. 分配 4 名水暖工去 3 个不同的居民家里检查暖气管道. 要求 4 名水暖工都分配出去，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（ ）A. 种 B. 种 3 4A31 33A AC. 种 D. 种23 43C A113 433C C A7已知圆的圆心为 M，设 A 为圆上任一点，线段 AN 的垂22(2)36xy(2,0)N直平分线交 MA 于点 P，则动点 P 的轨迹是（ ）A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线8如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在 P 处有一棵树与两墙的距离分别是 a m(01 时，函数在 x=1 时，有极大值，此时函数无极小值；( )f x4
4、 3当 b-13 时，函数在 x=3 时，有极小值 0，此时函数无极大值；( )f x当 b1，且时，函数无极值. -13 分1 3b ( )f x故当时，函数无极值；(,12,34,)b ( )f x当时，函数在 x=1 时，有极大值，此时函数无极小值；(1,2)b( )f x4 3当时，函数在 x=3 时，有极小值 0，此时函数无极大值.-14(3,4)b( )f x分19.（本小题满分 14 分）方法一：（）解：由题意，得，直线 l 的方程为.(1,0)F1yx=-由, 得, 214yxyx=-= 2610xx-+=设 A, B 两点坐标为, AB 中点 M 的坐标为,1122( ,),
5、(,)A x yB xy00(,)M xy则, 12112232 2,32 2,122 2,122 2xxyxyx=+=-=-=+=-=-故点 -3 分(32 2,22 2),(32 2,22 2),AB+-所以,12 0003,122xxxyx+=-=故圆心为, 直径,(3,2)M22 1212|()()8ABxxyy=-+-=所以以 AB 为直径的圆的方程为；-6 分22(3)(2)16xy-+-=（）解：因为, 三点 A, F, B 共线且点 A, B 在点 F 两侧, | 2|FABF所以,2FABF 设 A, B 两点坐标为, 则,1122( ,),(,)A x yB xy1122(
6、1,),(1,)FAxyBFxy 所以 121212(1),2.xxyy-=-= - 1因为点 A, B 在抛物线 C 上,所以, -10 分22 11224 ,4yxyx=2由，解得12111122222,2,2 2,2 2,11,22 2.2.xxyyxxyy= -= -=、所以, -1311(2,2 2),( ,2),(2,2 2),( ,2)22ABAB-、分故直线 l 的方程为或.-2 22 20,xy-=2 22 20xy+-=-14 分方法二：（）解：由题意，得，直线 l 的方程为.(1,0)F1yx=-由, 得, 214yxyx=-= 2610xx-+=设 A, B 两点坐标为
7、, AB 中点 M 的坐标为,1122( ,),(,)A x yB xy00(,)M xy因为所以, 264320,D =-=12126,1xxx x+=所以, 故圆心为, -312 0003,122xxxyx+=-=(3,2)M分由抛物线定义，得,1212| |()()822ppABAFBFxxxxp=+=+=+=所以(其中 p=2).12|8ABxxp=+=所以以 AB 为直径的圆的方程为； -622(3)(2)16xy-+-=分（）解：因为, 三点 A, F, B 共线且点 A, B 在点 F 两侧, | 2|FABF所以,2FABF 设 A, B 两点坐标为, 则,1122( ,),(
8、,)A x yB xy1122(1,),(1,)FAxyBFxy 所以 -9 分 121212(1),2.xxyy-=-= - 1设直线 AB 的方程为或(不符合题意，舍去).(1)yk x=-1x=由，消去 x 得 ， 2(1)4yk xyx=-= 2440kyyk-=因为直线 l 与 C 相交于 A, B 两点，所以,0k 则, , 216160kD =+12124,4yyy yk+= -2由，得方程组，解得 或 -1312121212442yyk y yyy+= = -= - 122 22 22kyy= -= -= 122 22 22kyy= - 分故直线 l 的方程为或.-142 22
9、 20,xy-=2 22 20xy+-=分20.（本小题满分 14 分）（）解：数列是公差为 2 的等差数列,QnnaS11()()2,nnnnaSaS+-+=即 -2 分12,2n naa+=； -4 分11,a =Q2337,24aa=（）证明：由题意，得121,a -= -，122212 222nnnna a aa+-=-Q是首项为-1，公比为的等比数列； -8 分2na 1 2（）解：由（）得,112( )2n na-= -,112( )2n na-=-是首项为，公差为 2 的等差数列,QnnaS112aS+=, 2(1)22nnaSnn+=+-=, -9 分1122( )2n nSn-=-+设存在整数，使不等式对任意的N*成立,1nnSna n即存在整数，使不等式对任意的N*成立,11111 ( )2( )22nnn n当 n=1 时，不等式成立，解得, -10 分1以下证明存在最大的整数，使不等式对任意的N*成立.11nnSna n当 n=2 时，不等式化简为，成立；33 22当 n时，,3Q21(1)3( )02n nnSnan 成立.(1)nnSna综上，知存在整数，使不等式对任意的N*成立，且的1nnSna n最大值为 1. -14 分
