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1、1问题驱动教学，提高课堂效率-因动点产生的相切问题教学一例教学背景：美国数学家哈尔莫斯（P.R.Halmos）曾经指出：“问题是数学的心脏” 。著名科学方法论学者波普尔（K.R.Popper）也认为：“正是问题激发我们去学习，去发展知识，去实践，去观察” 。数学家们无一不懂得问题在整个数学发展以及个人创造活动中的地位和作用，正是问题驱动使科学家付出毕生的精力去追求答案。同样问题对于数学教学也至关重要，一方面，从学科属性来看，学科数学的材料来源于科学数学，问题同样是学科数学的生长点；另一方面，从教育属性来看，促进学生发展的动因也是问题驱动，问题也是数学教学的最主要策略。数与形构成了数学研究的基本
2、对象，数形结合是一种极富数学特点的信息转换，在数学上总是用数的抽象性质来说明形的事实，同时又用图形的性质来说明数的事实。数形结合过程中潜在地蕴含着两种主要的思维方式：一是严谨的逻辑思维，一是直觉的感知思维。数形结合是达到沟通逻辑思维与直觉思维、形成数学深度理解的一种有效途径。在初三专题复习课中，运用数形结合问题驱动教学模式更能体现知识的脉络和梯度，从而使学生更好地掌握相关知识，并提高思维能力。设计分析：根据数学课程标准对直线与圆位置关系这章要求，我设计了九年级因动点产生的相切问题专题课，为圆的专题教学作一个铺垫，通过一系列问题串设计和师生间、生生间的活动，让学生明白主动思维，积极参与的重要性，
3、而九年级学生已有一定数学底基与思维能力，于是我计划以问题为驱动，引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，激发学生学习的欲望，同时也明确知识学习的必要性，并在问题解决中学习新知识，培养新能力。课中实践教学目标：21. 知识与技能目标运用直线与圆相切时的性质的来解决圆里的一系列有关问题。2. 过程与方法目标通过一系列问题解决培养学生数形结合的思想方法，提高分析问题、解决问题、总结归纳的能力。3. 情感态度、价值观目标通过师生的合作与交流，体现教师为主导、不断创设问题，学生为主体、不断解决问题的教学模式，让学生在解决问题过程中提高自己的分析能力，并培养学生探究精神和创新意识，
4、让学生感受数学，体会数学的魅力。教学重点：直线与圆相切时性质的应用教学难点：把动态的平移、旋转、函数的综合知识与圆的切线结合起来需要学生有一定的画图分析能力。教学方法：动手实践，合作探究，讲、练、自己动手画图相结合，通过小组讨论探究，在教师有目的的讲解下，掌握直线与圆相切时一系列问题。教学准备：多媒体辅助教学几何画板 、三角板、学案教学过程：1.课前热身（1）已知O 的半径为 5，圆心 O 到直线 AB 的距离为 3，则直线 AB 与O 。（2）已知O 的半径为 5，若 PO=8,则点 P 在 。（3）如图，PA 切O 于点 A，OP 交O 于点 B，且O 的半径为 5，APB=30，则 PO
5、 的长为B POA3_；当 PA 绕点 P 逆时针旋转,至少旋转 度时又与O 相切。（4 分钟的热身训练，学生十分投入，很认真地思考解答）意图：通过 3 小题的课前热身练习，学生迅速回忆起直线与圆相切时，半径垂直于切线的性质，并初步感受到以问题步步驱动，符合学生的认知水平与思维水平，让学生迅速投入到课堂氛围中。师：有了前面知识的铺垫，大家基础知识与基本技能掌握非常不错，接下来我们一起思考探究例 1。2.思考探究例 在平面直角坐标系中，已知直线 l1经过点 A（ ，1）和坐标原点 O,点3C 在直线 l1上运动.(1)求直线 l1的解析式 ;(2)求AOX 的度数；(3)若C 的半径为 ,求当C
6、 与 x 轴相3切时点 C 的坐标；（用 6 分钟的时间学生自己独立思考完成并解出 解析式与AOX 度数，同时学生们易解出C 与 x 轴相切时 一种1l 3,C情况。 ）意图：从图形、坐标的已知设计的 2 个问题，让学生想到数形结合思想方法去求解析式与角的度数，而问题（3）的设计，思维深化一步，通过教师引导，几何画板动画演示，学生提高了思考问题的全面性，并会用运动思想画出C 与 x 轴相切点 C 两种位置情况的示意图，通过这些问题驱动设计，学生分析思维水平迅速提高，学生热情进一步高涨。师：问题继续深化。已知直线 l2 ：y= 与直线 l13交于点 P，点 C 的坐标为 ，C(6,)的半径为 3
7、；xyAOl1xy CPOl1l24判断直线 l2与C的位置关系,并说明理由；求出点 P 的坐标，判断点 P 与C 的位置关系,并说明理由；直线 l2绕点 P 顺时针旋转角度 （0 90）后与C 相切，记此时的直线为 l3，求出 的度数，并求出直线 l3的解析式；生：用了 6 分钟思考完成，并在图中正确画出了 l3的位置。生活动：在学生独立完成基础上，留 4 分钟时间分 4 人小组探究讨论，引导学生自己产生问题，小组同学一起帮忙解决，教师留 2 分钟点拨。意图：在判断位置关系上，学生思路层出不穷，典型的错误是就直观地在图上看出直线与圆相交，点在圆外，此时教师对知识提炼小结，并告诉学生判断直线与
8、圆位置关系和点与圆位置关系的常规方法；对于的解决引导学生真正画图，数形结合分析变化后图形及各量关系，从而顺利求出直线 的3l解析式，这些问题串的设计，让学生大胆通过猜测、实验、合作、交流的活动，无形中提高了学生分析与画图能力，内容逐步推进。师：有了你们的出色能力，老师相信你们的水平，一定可以完成本堂课难点（5）中各小题的解决！（5）在直线 l1，直线 l3解析式不变的条件下，C 与直线 l3 相切，作直线 CMx 轴，垂足为 M，并与直线 l3交于点 N，点 C 的横坐标为 a，C 半径为R判断PCN 是什么三角形；证明点 P 到直线 CM 的距离等于C 的半径 R；求出 R 与 a 的等量关
9、系；当C 和直线 l3不相离时，已知C 的半径 R=3，点 B 的坐标为 ，(0,3)记四边形 NMOB 的面积为 S（其中点 N 是直线 CM 与 l3的交点） ，S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的 a 值；若不存在，请说明理由。（5）中的 4 小题，学生自己独立思考，小组讨论点拨，教师引导共占 18分钟，这些题目学生自我解决有一定的困难，需老师引导、点拨。 ）意图：的解决需要计算三角形三内角均为 ，从而判断出它是正三065角形；的解决转化为画好图后证明三角形全等，需作出正确图形和利用结论，再加以分类讨论，学生有一定学习困难，此时老师予以正确作图，导出等量关系为： 或 两种情
10、况；对于通过数形结合当 时求Ra3a 3R出 ，并建立函数模型求出面积最大值并分两种情况讨论；在教学过程中学生有一定难度，但个别高水准学生经过自己分析产生思维火花，更进一步训练了初三学生的数学思维。我在把握住因动点产生直线和圆相切时各种情况，设计出优质的问题，并在上课的过程中放下“居高临下”的架子，没有把自己当作权威的化身，压制学生的见解。即使学生的想法过于离奇，我也没有简单粗暴地否定，而是尊重学生发表的见解，并看到其中蕴含着创新思维的火花，鼓励其大胆发表观点和看法，创造出民主平等的课堂气氛，同时，在问题的发现和解决中提高学生的能力。3.课后拓展在前面第题第小题条件下，若C 的半径 ，此时的
11、S 是否存在23R最大值？若存在，求出这个最大值及此时的 a 值；若不存在，请说明理由。课后拓展留给学有余力的学生，更有难度，需要学生分类讨论。4.归纳小结学完本课的收获：你会了什么，明白了 (学生口述，师补充，共同完成) 通过课中实践表明，问题驱动式教学，使知识由浅入深，学生思维步步动起来，课堂上学生表现活跃，兴趣盎然。课后反思：数学课堂教学设计应提倡问题意识，让学生带着数学问题走进教室，带着更多的新问题走出教室，这就是以问题为纽带的教学设计。随着素质教育的深入，新课程的改革，那种标出知识点死记硬背的方法日显得陈旧迂腐，现在数学教学并不以知识的传授为目的，而是以激发学生的问题意识、培养学生探
12、求解决问题的方法为任务。所以，在数学课堂教学设计中，努力创设与教学内容相关的问题情境，以问题为主线来组织和调控课堂教学，充分调动学生的学习积极性，培养其探究能力是至关重要的。长此以往不仅让学生学到知识，而且让他们学会了探究问题的方法，学会了主动探索，主动思考，主动学习。这样6就真正实现了有效教学。本节课的教学，就是体现“以学生发展为本”的教学理念。教学过程中，以问题为驱动，学生活动为主线，为学生提供了探究问题、分析问题、解决问题的活动平台。例题内容的安排上，注意逐步推进，力求使教师的启发引导与学生的思维同步，顺应学生学习数学的过程，促进学生认知结构的发展，给学生留下广阔的思维空间和拓展探索的余地，让学生体验到数学活动充满了探索和创造。张奠宙先生说过：“没有问题的数学教学，不会有火热的思考。 ”通过问题驱动式教学，真正提高了课堂效率。
