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1、第 二 节证明不等式的基本方法考纲纲要 求了解证证明不等式的基本方法:比较较法、综综合法、分析法、反证证法、放缩缩法 考情播 报报以选择题选择题 、填空题题的形式考查查不等式的证证明方法,一般不出现现解答题题【知识梳理】1.比较法比较法是证明不等式最基本的方法,可分为作差比较法和作商比较法两种名称作差比较较法作商比较较法理论论依据ab_a0, 1abb1a0a-bb,bca_c.放大缩缩小【考点自测测】1.(思考)给给出下列命题题:比较较法最终终要判断式子的符号得出结论结论 ;综综合法是从原因推导导到结结果的思维维方法,它是从已知条件出发发,经过经过 逐步推理,最后达到待证证的结论结论 ;分析
2、法又叫逆推证证法或执执果索因法,是从待证结论证结论 出发发,一步一步地寻寻求结论结论 成立的必要条件,最后达到题设题设 的已知条件或已被证证明的事实实;使用反证证法时时,“反设设”不能作为为推理的条件应应用;放缩缩法就是把分式的分子放大,分母缩缩小.其中正确的命题题是( )A. B. C. D.【解析】选B.错误.当使用作商比较法时要判断与1的大小关系才能得出结论.正确.根据综合法的定义可得结论正确.错误.根据分析法的定义,应把“必要条件”改为“充分条件”才是正确的结论.错误.根据反证法的定义,“反设”能作为已知条件充分使用.错误.不符合放缩法的定义.2.若abc,则 ( )A.大于0 B.小
3、于0C.小于或等于0 D.大于或等于0【解析】选A.因为abc，所以a-cb-c0,故选A.3.若a，b，c，d，x，y是正实数，且则( )A.P=Q B.PQ C.PQ D.PQ 【解析】选C.4.设x0,y0, 则A，B的大小关系是( )A.A=B B.AB【解析】选B. 即A0,y0,z0)与3的大小关系是( )A.P3 B.P=3 C.P3【解析】选C.方法一：因为x0,y0,z0,所以所以P0,y0,z0,所以所以P(1+a+a2)2.【证明】因为3(1+a2+a4)-(1+a+a2)2=3(1+a2)2-a2-(1+a+a2)2=3(1+a+a2)(1-a+a2)-(1+a+a2)
4、2=(1+a+a2)(2a2-4a+2)=2(1+a+a2)(a-1)2=2 (a-1)2,又aR,a1,所以2 (a-1)20,故3(a4+a2+1)(1+a+a2)2.2.已知ab,求证证:a4+6a2b2+b44ab(a2+b2).【证明】a4+6a2b2+b4-4ab(a2+b2)=a4-2a2b2+b4-4ab(a2-2ab+b2)=(a2-b2)2-4ab(a-b)2=(a+b)2(a-b)2-4ab(a-b)2=(a-b)2(a2+2ab+b2-4ab)=(a-b)2(a-b)2=(a-b)4.因为ab,所以(a-b)40.由此可知原命题成立.3.设ab0，求证：【证明】方法一：
5、因为ab0,所以左边-右边故原不等式成立.【加固训练】1.求证:(x+1)(x2+ +1)(x+ )(x2+x+1).【证明】因为(x+1)(x2+ +1)=(x+1)(x2+x+1- ）=(x+1)(x2+x+1)- (x+1),(x+ )(x2+x+1)=(x+1- )(x2+x+1)=(x+1)(x2+x+1)- (x2+x+1).作差得(x+1)(x2+ +1)-(x+ )(x2+x+1)=(x+1)(x2+x+1)- (x+1)-(x+1)(x2+x+1)+ (x2+x+1)= (x2+x+1)- (x2+x)= 0,所以(x+1)(x2+ +1)(x+ )(x2+x+1).2.已知
6、函数f(x)= (e2.718).(1)若x1,x21,+),x1x2.求证： (2)若满足f(|a|+3)f(|a-4|+1),试求实数a的取值范围.【解析】(1)因为x1,x21,+),x1x2,所以x1x210,所以(2)由(1)可知，f(x)在1，+)上为单调增函数.因为|a|+31,|a-4|+11且f(|a|+3)f(|a-4|+1)，所以|a|+3|a-4|+1.当a0时，-a+34-a+1,所以35,所以a ;当04-a+1,所以a1,所以1a-4+1,所以3-3,所以a4.综上所述，a1.考点2 用综合法证明不等式【典例2】已知a,b,c0且互不相等,abc=1.试证明:【解
7、题视点】本题可用abc=1代换 中的a,b,c，然后利用基本不等式证明或者利用基本不等式从右向左证明.【规范解答】方法一：因为a,b,c0，且互不相等，abc=1，所以即方法三:因为a,b,c是互不相等的正数，且abc=1,【互动探究】本例已知条件不变，则(a+2)(b+2)(c+2)与27的大小关系为_.【解析】由已知得(a+2)(b+2)(c+2)=(a+1+1)(b+1+1)(c+1+1)答案：(a+2)(b+2)(c+2)27【规律方法】1.综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证
8、明的关键.(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件.2.综合法证明时常用的不等式(1)a20.(2)|a|0.(3)a2+b22ab，它的变形形式有a2+b22|ab|;a2+b2-2ab;(a+b)24ab;a2+b2 (a+b)2;【变式训练】1.(2014兰州模拟)若a,b,x,y均为正实数，并且x+y=1，求证：ab(ax+by)(ay+bx)【证明】(ax+by)(ay+bx)-ab=a2xy+b2xy+abx2+aby2-ab=xy(a2+b2)+ab(x2+y2-1)=xy(a2+b2)+ab(x+y)2-2xy
9、-1.因为x+y=1,所以(ax+by)(ay+bx)-ab=xy(a2+b2)-2abxy=xy(a-b)20(x,y0),所以ab(ax+by)(ay+bx).2.已知a,b，c是全不相等的正实数，求证：【证明】方法一：要证方法二：因为a,b,c全不相等,【加固训练】已知a,bR,且a+b=1，求证：(a+2)2+(b+2)2【证明】方法一：(比较法)因为a,bR，a+b=1,所以b=1-a,所以(a+2)2+(b+2)2- =a2+b2+4(a+b)-=a2+(1-a)2+4- =2a2-2a+ =2(a- )20.即(a+2)2+(b+2)2 (当且仅当a=b= 时，取等号).方法二：
10、(分析法)(a+2)2+(b+2)2 a2+b2+4(a+b)+8 因为显然成立，所以原不等式成立.方法三：(反证法)假设(a+2)2+(b+2)20，且ab+bc+ca=1.求证：(1)a+b+c【解题视点】(1)不好直接用比较法和综合法，可选择用分析法证明.(2)先将不等式左边通分变形后利用分析法证明，注意使用(1)中已证得的结论.【规范解答】(1)要证a+b+c由于a,b,c0,因此只需证明(a+b+c)23.即证：a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)3,而ab+bc+ca=1，故需证明：a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)3(ab+bc+ca).即证：a2+b2+c2ab+bc
11、+ca.而这可以由ab+bc+ca =a2+b2+c2(当且仅当a=b=c时等号成立)证得.所以原不等式成立.(当且仅当a=b=c 时等号成立).所以原不等式成立.【易错警示】分析法证明不等式的注意点本题采用分析法证明，在采用分析法时要注意以下问题：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”“只需证”这样的连接“关键词”.【规律方法】1.用分析法证“若A则B”这个命题的模式为了证明命题B为真，只需证明命题B1为真，从而有只需证明命题B2为真，从而有只需证明命题A为
12、真，而已知A为真，故B必真.2.分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.3.综合法与分析法的逻辑关系用综合法证明不等式是“由因导果”,分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理、清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见,分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.【变式训练】已知不等式|x+1|+|x-2|m
13、的解集是R.(1)求实数m的取值范围.(2)在(1)的条件下，当实数m取得最大值时，试判断是否成立？并证明你的结论.【解析】(1)由绝对值不等式性质知：|x+1|+|x-2|x+1+2-x|=3对xR恒成立.故|x+1|+|x-2|m的解集为R，只需m3即可，所以m的取值范围是(-,3.(2)由(1)知实数m的最大值为3,当m=3时，不等式 成立.证明如下：等价于4230，而4230显然成立，故所证不等式成立.【加固训练】1.设a,b,c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( )A.(a+3)20,求证：【证明】(1)因为m0,所以1+m0.所以要证即证(a+mb)2(1+m)(a2+
14、mb2),即证m(a2-2ab+b2)0，即证(a-b)20,而(a-b)20显然成立，故(2)因为m0，考点4 用反证法与放缩法证明不等式【典例4】已知n1且nN+,证明PQ.【解题视点】由于P有n项相加，直接求和不好求，用作差比较法也不好求，应该对P利用放缩法后，裂项求和解决.【规范解答】因为【规律方法】1.适宜用反证法证明的数学命题(1)结论本身是以否定形式出现(如所证结论涉及“不可能”“不是”等字眼)的一类命题.(2)关于唯一性、存在性的命题.(3)结论以“至多”“至少”等形式出现的命题.(4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题.2.常见的“结论词”与“反设词”结论词反设词结论
15、词反设词 至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立 至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立 至少有n个至多有n-1个p或qp且q 至多有n个至少有n+1个p且qp或q3.用放缩法证明不等式的常用方法(1)添加或舍去一些项，如 (2)将分子或分母放大(或缩小)，如(3)利用真分数的性质：若00，则(4)利用基本不等式，如a+b (a0,b0).(5)利用绝对值不等式定理：|a|-|b|ab|a|+|b|.(6)利用函数的单调性.【变式训练】1.已知|a|b|, 则m,n之间的大小关系是( )A.mn B.m1 D.S1【解析】选B.用放缩法，2.已知a,b,c(0,1)，求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于【思路点拨】先假设三式都大于 然后合理推导，得出矛盾，从而证明原命题成立.【证明】方法一：假设三式同时大于 即有与假设矛盾，故原结论正确.方法二：假设
