3-敏感性分析(运筹学)

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1、*第三 讲 线性规划：灵敏度分析与对偶李勇建 博士主要内容 线性规划的对偶问题 线性规划的灵敏度分析问题*线性规划的对偶问题对偶问题的来源对偶问题的应用和经济解释对偶问题的转化*原问题约束： 对偶问题最优解：x1=50, x2=250；Z*=27500* 如果把三种资源分别以价格 出租或买出， 那么出 让相对于生产一单位第 j 种产品的资源消耗的价值应不低 于第 j 种产品的单位利润价值 因此有 但是买方会把价格压到最低 ：y1：y2：y3：*对偶问题决策变量：yi 收买该公司一单位 i 种资源时付给的价格目标函数：约束：此极小问题称为原问题的对偶问题，解是 分别称为原料1，2，3的影子价格或

2、对偶价格. . *y1,y2,y3*举例 原问题 Max 50x1+30x2 S.t. 4x1+3x2120 2x1+x250 x1,x20对偶问题 Min 120y1+50y2 S.t. 4y1+2y250 3y1+y2 30 y1,y20*对偶规划的应用 一般来说，线性规划问题是确定资源的最优分 配方案；对偶问题则是确定对资源的恰当估价 ，以确定资源的最有效利用； 可借助资源的影子价格确定一些内部结算价格 ，以便控制有限资源的使用和考核下属企业经 营的好坏； 对于一些紧缺资源，可以借助于影子价格机制 规定上交的利润额，控制一些经济效益低的公 司自觉地节约使用紧缺资源。影子价值的内涵影子价格

3、不是资源的实际价格，反映了资源配置结构，其它数据固定，某资源增加一单位导致目标函数的增量。对资源i总存量的评估：购进购进 or 出让出让对资源i当前分配量的评估：增加增加 or 减少减少 第一，影子利润说明增加哪种资源对经济效益最有利 第二，影子价格告知以怎样的代价去取得紧缺资源 第三，影子价格是机会成本，提示资源出租/转让的基价 第四，利用影子价格分析新品的资源效果：定价决策 第五，利用影子价格分析现有产品价格变动的资源紧性 第六，可以帮助分析工艺改变后对资源节约的收益 第七，可以预知哪些资源是稀缺资源而哪些资源不稀缺资源定价的决策方案例：某厂生产甲乙产品，（1）如何安排每周的利润为最大?（

4、2）如果企业可以不生产，那资源出让如何定价？甲乙资源成本资源拥有量原材料 (kg) 设备 (工时) 电力 (度)9 4 34 5 1020 50 1360 200 300 销售价格(元)3903521、最优生产决策资源定价的决策方案2、资源获利决策如果决策者考虑自己不生产甲乙两种产品，而把原拟用于生产 这两种产品的原材料、设备工时、电量资源全部出售给外单位， 或者做代加工，则应如何确定这三种资源的价格。 设原材料的单位出让获利为y1，设备工时的单位出让获利为y2 ，电量的单位出让获利为y3 。 出让决策的线性规划模型： *阅读和自学：参考书 P60-61，第3.3.4节*想一想 产品的机会成本

5、是什么:表示减少一件产品 j 所节省的资源可以增加的 利润. 产品的差额成本是什么:*如果则用这些资源来生产这种产品更为有利可图. 如果表明已经在其他地方以更为有利可图的方式使用这些资源，没有必 要生产产品j . 其经济解释是:在利润最大化的生产计划中 (1)边际利润大于0的资源没有剩余; (2)有剩余的资源边际利润等于0; (3)安排生产的产品机会成本小于等于利润; (4)机会成本大于利润的产品不安排生产.对偶问题的经济解释*对偶的一般形式*例1：写出下面线性规划的对偶规划* 1，建立对偶表*y1y2y32，写出对偶规划*阅读和自学：参考书 P56-59，第3.3.1和3.3.2节*线性规划

6、的敏感性分析什么是敏感性分析 伟恩德公司案例研究目标函数系数分析右端项的影子价格分析*原材料6 大块8 小块产品桌 椅Profit = $20/TableProfit = $15/Chair自己动手*如果桌子的利润是$35，最优解会怎样变化呢？ 如果又有一个额外的大块，会增加总利润吗？ 如果桌子和椅子构成改变，最优解会变化吗？ 如果还有一些原材料，你愿意以多大的代价购买呢？拼装玩具生产自己动手你怎么来分析这些问题？想想看！*什么是敏感性分析 定义：建立数学模型和求得最优解后，研究线性规划的一个或多个参 数（系数）ci , aij , bj 变化时，对最优解产生的影响数学模型只是实际问题的一个粗

7、略的抽象 最优解一般只是针对某一特定的数学模型 管理者要对未来做各种假设，在这些假设下，测试可能产生的结果， 通过对各种结果深入分析来指导决策 通常，在取得最初版本模型的最优解之后，进行分析才能取得对问题 深入的认识 这种分析称为what-if分析或敏感性分析（Sensitivity Analysis） 意义： what-if分析可以表明改变这些决策对结果的影响，从而有效 指导管理者作出最终的决策*伟恩德公司案例研究实际举例*伟恩德公司案例研究修正的伟恩德例子，门的单位利润PD=$300降到 PD=$200，而最优解不变 实际举例*伟恩德公司案例研究修正的伟恩德例子，门的单位利润PD=$300

8、增加到 PD=$500，而最优解不变 实际举例*伟恩德公司案例研究修正的伟恩德例子，门的单位利润从PD=$300增加 到PD=$1000，最优解改变 实际举例*伟恩德公司案例研究在伟恩德的例子中系统改变门的单位利润得到数据表 实际举例*伟恩德公司案例研究其中最后三栏表示了门窗单位利润的最优域。 实际举例RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGESVARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLECOEF INCREASE DECREASEX1 300.000000 450.000000 300.

9、000000X2 500.000000 INFINITY 300.000000*最优域敏感性分析如何在不重新求解模型的条件下，确定如果目标函 数的几个系数同时变化，可能造成对最优解的影响 如果伟恩德公司两种新产品单位利润的估计值都是 不精确的，将会对结果产生怎样的影响？ *伟恩德公司案例研究修正的伟恩德问题模型，其中门，窗的单位利润分别 被改为PD=$450,PW$400，但是最优解不变 实际举例*伟恩德公司案例研究修正的伟恩德问题模型，其中门，窗的单位利润分别 被改为PD=$600,PW$300，从而最优解改变 实际举例*伟恩德公司案例研究伟恩德例子中系统改变门，窗单位利润得到的数据表 实际

10、举例*百分之百法则目标函数系数同时变动的百分之百法则(The 100 percent rule for simultaneous changes in objective function coefficients)：如果目标函数的系数同时变动，计算出每一系数 变动量占该系数最优域允许变动量的百分比，而 后，将各个系数的变动百分比相加，如果所得的 和不超过百分之一百，最优解不会改变，如果超 过百分之一百，则不能确定最优解是否改变。 *可用于确定在保持最优解不变的条件下，目标 函 数系数的变动范围 百分百法则通过将允许的增加或减少值在各个 系数之间分摊，从而可以直接显示出每个系数 的允许变动值

11、线性规划研究结束以后，如果将来条件变 化 ，致使目标函数中一部分或所有系数都发生变 动，百分百法则可以直接表明最初最优解是否 保持不变 百分之百法则的作用*右端项的影子价格分析分析函数约束右端值变动的原因也是不能得到模 型的参数的精确值，只能对其作大略的估计。因 此要知道万一这些估计不准确产生的后果 更主要的理由是因为这些常数往往不是由外界决 定的而是管理层的政策决策。在建模并求解后， 管理者想要知道如果改变这些决策是否会提高最 终收益影子价格分析就是为管理者提供这方面的信息 *影子价格在给定线性规划模型的最优解和目标函数相应值的 条件下，影子价格（shadow price）就是约束常数增加微

12、小的量，使得目标函数值增加的量。 * Max z=20A+30B S.t. 工序1: 2A+B40 工序2: A+2B40 工序3: A+B25 非负约束：A0, B0 最优解：A=10, B=15, Z=650 影子价格：工序1的为0；工序2的为10；工序3 的为10实际举例* Max z=20A+30B S.t. 工序1: 2A+B 4041 工序2: A+2B40 工序3: A+B25 非负约束：A0, B0 最优解： A=15, B=10, Z=650 没有变化，工序1的影子价格是0*Max z=20A+30BS.t.工序1: 2A+B40工序2: A+2B4041工序3: A+B25

13、非负约束：A0, B0最优解：A=9, B=16, Z=650 660增加了10元，工序2的影子价格是10但是若增加太多，例如增加100小时，该约束不再是限制约束了 ，增加的价值反而不是1000元。也就是说存在上限。* Max z=20A+30B S.t. 工序1: 2A+B40 工序2: A+2B40 工序3: A+B2526 非负约束：A0, B0 最优解：A=12, B=14, Z=650 660 增加了10元，工序3的影子价格是10 同工序2，只有在生产能力有较小的变动时适 用*同时改变右端项如果，多个约束右端值同时变动，那么管理层又 该如何来评估可能造成的影响呢？ 这种问题很常见！*

14、同时改变几个或所有函数约束的约束右端值，如 果这些变动的幅度不大，那么可以用影子价格预 测变动产生的影响。如果所有的百分比之和不超 过百分之一百，那么，影子价格还是有效的，如 果所有的百分比之和超过百分之一百，那就无法 确定影子价格是否有效 The 100 percent rule 百分之百法则*修正的伟恩德问题，其中一个小时的工作时间从工厂3 移到工厂2，模型的求解。 实际举例Wyndor Case Study 伟恩德公司案例研究*不断将工厂3的工作时间转移到工厂2，从而生成数据表 实际举例Wyndor Case Study 伟恩德公司案例研究*百分之百法则设参数a变化的最优范围的上下限分别

15、为a,a，若参数a变化增加到a* ，则可行增加的百分比(a*-a)/(a-a)；若参数a变化减少到a*，则可 行减少的百分比(a -a*)/(a-a)。注意：不是(a -a*)/(a”-a)。对所有变化的目标函数系数，求其占可行增加和可行减少的百分比的绝 对值之和。若绝对值之和不超过100%，则最优解不变；对所有变化的约束条件右侧的值系数，求其占可行增加和可行减少的百 分比的绝对值之和。若绝对值之和不超过100%，则影子价格起作用；注意：当允许增加（减少）的量为无穷大时，则对任意增加（减少）的量，其 允许增减（减少）的百分比均看做0；百分百法则是充分条件，非必要条件；该法则不能应用于目标函数系数和约束条件右边常数值同时变化的情况 ，此时需要重新计算。*本讲小结 小结what-if 分析是在求得基本模型的最优解之后进行的，这些分 析可以为管理层决策提供非常有用的信息；很多软件可以生成灵敏度报告，可以很快计算出最优域 ；运用目标函数系数的百分百法则，可进一步方便地检验所有 的同时变动情况 ；通过影子价格分析，发现改变决策会产生的影响，从而为管