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1、种群的相互竞争模型1.模型建立 当某个自然的环境中只有一种生物的群体(种群)生 存时,我们常用Logistic模型来描述它的数量的演变 过程,即易知,x=N是自治系统(1)的稳定的平衡点.它表示当时 间t趋于无穷时,x(t)N.如果一个自然环境中存在两个或两个以上的种群,它 们之间的关系大致可分为以下几种:相互竞争,相互依 存,弱肉强食(食饵与捕食者),也可能毫无关系.前几种 情形我们来一一研究它们,最后一种情形不用研究.下 面我们种群的相互竞争模型.先研究两个种群的相互 竞争模型.模型假设 设甲乙两个种群都生活在同一个自然 环境中,其数量变化服从Logistic规律.记: x1(t), x2
2、(t)分别是甲乙两个种群的数量r1,r2分别是甲乙两个种群的固有增长率N1,N2分别是甲乙两个种群的最大容量于是对种群甲我们有于是对种群甲我们有这里1的意义是:单位数量的乙(相对于N2而言)消耗 的供养甲的食物量为单位数量的甲(相对于N1)消耗 的供养甲的食物量的1倍.类似,我们有于是我们得 到模型这里1,2一般是相互独立的.在某些特殊的情形下, 我们有12 =1.其中的第三个平衡点是在1,2 1的情形 下才会得到.按照判断平衡点的稳定性的方法,我们先看矩阵稳定条件其它平衡点类似处理.我们由此得到结论:不稳定稳定条件qp平衡点注意到平衡点的定义我们可以看出,它是一个局部的 性质.对于非线性方程
3、(4)所描述的种群竞争,我们更 关心的是平衡点的全局稳定性,即不论初值如何,平 衡点都是稳定的.这需要在上面得到的局部稳定性的 基础上辅之以相轨线分析.下面我们根据1,2 的不同取值范围,直线=0, =0 的相对位置,讨论如下:在代数方程组 （5）中，记我们看到,两条直线将第一象限分 成了三个部分,在每一区域内导数 符号能够确定:OOOOOOOO最终结论:不稳定全局稳定条 件qp平衡点结果解释:( 我们只解释第一个)1. 11. 11意味着在对供养乙的资源的竞争中甲强 于乙,于是乙终将灭绝,种群甲将趋于最大容量,于是将趋 于平衡点P1.这里1的意义是:单位数量的乙(相对于N2而言)消耗 的供养
4、甲的食物量为单位数量的甲(相对于N1)消耗 的供养甲的食物量的1倍.种群的相互依存模型自然界中处于同一环境下的两个种群相互依存的现 象是很多的.如植物与昆虫之间,昆虫可以帮助植物充 分授粉,而昆虫也在此过程中获得食物(花粉).人类与 人工饲养的牲畜之间也有类似的关系.假设种群甲可以独立存在,服从Logistic规律增长, 种群乙的存在有助于甲的增长,因此甲的数量x1(t) 满足假设种群乙离开了甲便不能独立存在,设其死亡 率为r2,于是其独立存在时的数量x2(t)满足现在甲为乙提供食物,于是甲对乙的增长有促进作用,故这样模 型为二维自治系统的稳定性理论结论:(1)p0,q0时,平衡点是稳定的;(2)P0或q0时,平衡点是不稳定的.
