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1、第四章 向量组的线性相关性一、向量的定义一、向量的定义定义: n 个有次序的数a1, a2, , an所组成的数组 称为n维向量, 这n个数称为该向量的n个分量, 第 i 个数ai 称为第 i 个分量. 分量全为实数的向量称为实向量, 分量为复数的 向量称为复向量.行向量; 列向量.向量的相等; 负向量; 零向量.向量按照矩阵运算法则进行运算.二、向量的线性运算二、向量的线性运算向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运算, 满足下列八条运算规则:(1) 加法交换律: + = + ; (2) 加法结合律: ( + ) + g = + ( +g ) ; (3) 对任一向量 , 有 +O = ; (4
2、) 对任一向量, 存在负向量 , 有 +( ) = O ; (5) 1 = ; (6) 数乘结合律: k(l ) = (l k) ; (7) 数乘对向量加法的分配律: k( + ) = k + k ; (8) 数量加法对数乘的分配律: ( k + l ) = k + l ;其中, , g为n维向量, 1, k, l为数, O为零向量.除了上述八条运算规则, 显然还有以下性质:(1) 0 =O; (2) 若 k = O, 则或者k=0, 或者 = O; (3) 向量方程: + x = , 有唯一解 x = - ; 其中, 为n维向量, 0为数零, k任意数, O为零向量.三、线性组合三、线性组合
3、若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组 成的集合叫做向量组.定义: 给定向量组A: 1, 2, , m, 对于任何一组 实数k1, k2, ,km, 向量 k11 + k22 + + kmm 称为向量组A: 1, 2, m一个线性组合, k1, k2, ,km 称为这个线性组合的系数.给定向量组A: 1, 2, , m和向量b, 如果存在一 组数1, 2, ,m, 使 b = 11 + 22 + + mm 则向量b是向量组A的线性组合, 这时称向量b能由向量 组A线性表示. 定理1: 向量b能由向量组A线性表示的充分必要 条件是矩阵A=(1, 2, , m)与B=(1, 2, , m,
4、b)的 秩相等.定义: 设有两向量组A: 1, 2, , m 与 B: 1, 2, , s .若B组中的每一个向量都能由A组线性表示, 则称向量组B能由向量组A线性表示; 若向量组B与向量组A可以相互线性表示, 则称这两个向量组等价.四、线性相关性四、线性相关性定义: 给定向量组A: 1, 2, , m , 如果存在不全 为零的数 k1, k2, ,km , 使 k11 + k22 + + kmm = O 则称向量组A是线性相关的, 否则称它是线性无关.定理2: 向量组 1, 2, , m (当 m2 时)线性相关的充分必要条件是1, 2, , m中至少有一个向量可由其余 m1个向量线性表示.
5、定理3: 向量组1, 2, , m线性相关的充分必要 条件是它所构成的矩阵A=(1, 2, , m)的秩小于向 量个数m; 向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m.定理4: (1)若向量组A:1, 2, , m线性相关, 则 向量组B: 1, 2, , m, m+1也线性相关; 反言之, 若向 量组B线性无关, 则向量组A也线性无关.(2)设即j 添上一个分量后得向量j. 若向量组A: 1, 2, , m线性无关, 则向量组B: 1, 2, , m也线性无关; 反言之, 若向量组B线性相关, 则向量组A也线性相关.(3) m个n维向量组成的向量组当维数n小于向量个数m时一定线性相关(4)
6、设向量组A: 1, 2, , m线性无关, 而向量组B: 1, 2, , m, 线性相关, 则向量 必能由向量组A线性表示, 且表示式是唯一的.定义: 设有向量组A, 如果在A中能选出r 个向量 A0: 1, 2, r, 满足(1)向量组A0: 1, 2, r, 线性无关;(2)向量组A中任意r+1个向量(如果存在的话)都线 性相关. 那末称向量组A0是向量组A的一个最大线性无 关向量组(简称最大无关组).最大无关组所含向量个数r 称为向量组的秩.五、向量组的秩五、向量组的秩 定理1: 矩阵的秩等于它的列向量组的秩, 也等于 它的行向量组的秩.定理2: 设向量组B能由向量组A线性表示, 则向量
7、 组B的秩不大于向量组A的秩, 即 R(B)R(A).推论1: 等价的向量组的秩相等.推论2: 设Cmn = Ams Bsn, 则R(C)R(A), R(C)R(B).推论3: 设向量组B是向量组A的部分组, 若向量组B线性无关, 且向量组A能由向量组B线性表示, 则向量组B是向量组A的一个最大无关组.六、向量空间六、向量空间定义: 设V为n维向量的集合, 如果集合V非空, 且 集合V对于加法及乘数两种运算封闭, 那么就称集合V 为向量空间.集合V对于加法及乘数两种运算封闭是指: 若, V, 则 + V; 若 V, R, 则 V.一般地, 由向量组a1, a2, , am所生成的向量空间为:七
8、、子空间七、子空间定义: 设有向量空间V1及V2, 若有V1V2. 则称V1 是V2的子空间.八、基与维数八、基与维数定义: 设V是向量空间, 如果有r 个向量1, 2, , rV, 满足(1) 1, 2, , r 线性无关;(2) V中任一向量都可由1, 2, , r 线性表示. 则称向量组1, 2, , r为向量空间V的一个基, 称整 数r 为向量空间V的维数, 并称V为r 维向量空间.九、齐次线性方程组九、齐次线性方程组 向量方程; 解向量.解向量的性质(1) 若x = 1, x = 2为Ax = 0的解, 则 x =1 + 2也是 Ax = 0的解.(2) 若x = 1为Ax = 0的
9、解, k为数, 则 x = k1也是 Ax = 0的解.由以上两个性质可知, 方程组的全体解向量所组 成的集合, 对于加法和数乘运算是封闭的, 因此构成一 个向量空间, 称此向量空间为齐次线性方程组 Ax = 0 的解空间.定义: 如果向量组1, 2, , t 为齐次线性方程组 Ax = 0的解空间的一组基, 则向量组1, 2, , t 称为 齐次线性方程组Ax = 0的基础解系.称向量组1, 2, , t为齐次线性方程组Ax = 0的 基础解系, 如果 (1) 1, 2, , t 是Ax = 0的一组线性无关的解; (2) Ax = 0的任一解都可由1, 2, , t 线性表出. 方程组Ax
10、 = 0的基础解系是不唯一的.如果向量组1, 2, , t 为齐次线性方程组Ax = 0 的一组基础解系, 那么, Ax = 0的通解可表示为: x = k11 + k22 + + ktt 其中k1, k2, , ktt 为任意常数.求齐次线性方程组的基础解系1. 用初等行变换将系数矩阵A化为最简行阶梯形:2. 将第r+1, r+2, , n列的前r个分量反号, 得解1, 2, ,n-r的前r个分量:3. 将其余nr个分量依次组成 nr 阶单位矩阵, 于是得齐次线性方程组的一个基础解系:十、非齐次线性方程组十、非齐次线性方程组(1) 设 x=1 及 x=2 都是方程组 Ax=b 的解, 则 x
11、=12为对应齐次方程组Ax=0的解.(2) 设 x= 是方程组 Ax=b 的解, x= 是方程组 Ax=0 的解, 则 x=+ 仍为方程组 Ax=b 的解.解向量的性质求非齐次线性方程组的特解用初等行变换将增广矩阵B化为最简行阶梯形:当dr+10时, 则方程组 Ax=b 无解; 否则, 得齐次线性方程组Ax=0的基础解系1, 2, ,n-r和非齐次线性方程组Ax=b的一个特解:*=(d1, d2, , dr , 0, , 0)T.一、向量组线性相关性的判定一、向量组线性相关性的判定典 型 例 题典 型 例 题研究这类问题一般有两个方法.方法1. 从定义出发令 k11 + k22 + + kmm
12、 = 0, 即整理得齐次线性方程组:(1)若齐次线性方程组(1)只有零解, 则1, 2, , m线性无关; 否则, 1, 2, , m线性相关.方法2. 利用矩阵的秩与向量组的秩之间的关系给出一组n维向量1, 2, , m, 就得到一个相应 的矩阵A=(1, 2, , m), 求R(A), 则若R(A)=m, 则 1, 2, , m线性无关; 若R(A)m, 则 1, 2, , m线性相关.例1: 研究下列向量组的线性相关性,解一: 令 k11 + k22 + k33 = 0, 即整理得齐次线性方程组:(2)上述齐次线性方程组(2)的系数行列式为:齐次线性方程组(2)有非零解, 故1, 2,
13、3线性相关.解二: 构造矩阵A = (1, 2, 3) =则由 R(A) = 2 3 得, 向量组1, 2, 3线性相关. 例2: 设向量组1, 2, , r (r 2)线性相关, 证明: 存在不全为零的数 t1, t2, , tr , 使得对任何向量, 都有 1 + t1, 2 + t2, , r + tr , 线性相关.分析: 我们从定义出发, 考察向量方程: k1(1 + t1 ) + k2(2 + t2 ) + + kr(r + tr ) = 0即向量方程: k11 + k22 + + krr + (k1t1 + k2t2 + + krtr ) = 0是否有某组不全为零的数k1, k2
14、, , kr , 而使得对任何 向量, 恒有非零解, 因此可得如下证明:证明: 因为向量组1, 2, , r 线性相关, 所以, 存在不全为零的数k1, k2, , kr , 使得k11 + k22 + + krr = 0.因为 r 2, 所以必有非零解, 设(t1, t2, , tr )为其 一个非零解, 则对任意向量 , 都有再考察方程组: k1x1 + k2x2 + + krxr = 0.k11 + k22 + + krr + (k1t1 + k2t2 + + krtr ) = 0, 即k1(1 + t1 ) + k2(2 + t2 ) + + kr(r + tr ) = 0.线性相关.由k1, k2, , kr不全为零得: 1 + t1, 2 + t2, , r + tr 二、求向量组的秩二、求向量组的秩求一个向量组的秩, 可以把它转化为矩阵的秩来求, 这个矩阵是由这组向量为行(列)向量所排成的.若矩阵A经过初等行(列)变换化为矩阵B, 则A和B中任何对应的列(行)向量组都有相同的线性相关性. 如果向量组的向量以列(行)向量的形式给出, 把向 量作为矩阵的列(行), 对矩阵作初等行(列)变换, 这样, 不仅可以求出向量组的秩, 而且可以求出最大
