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1、机械能守恒定律机械能守恒定律 一、知识点综述：一、知识点综述： 1.1. 在只有重力和弹簧的弹力做功的情况下，物体的动能和势能发生相互转化，但机械能在只有重力和弹簧的弹力做功的情况下，物体的动能和势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变的总量保持不变. .2.2. 对机械能守恒定律的理解：对机械能守恒定律的理解：（1 1）系统在初状态的总机械能等于末状态的总机械能）系统在初状态的总机械能等于末状态的总机械能. .即即 E E1 1 = = E E2 2 或或 1/2mv1/2mv1 12 2 + + mghmgh1 1= = 1/2mv1/2mv2 22 2 + + mghmgh2 2（2 2
2、）物体（或系统）减少的势能等于物体）物体（或系统）减少的势能等于物体( (或系统或系统) )增加的动能，反之亦然。增加的动能，反之亦然。即即 -E-EP P = = EEK K （3 3）若系统内只有）若系统内只有 A A、B B 两个物体，则两个物体，则 A A 减少的机械能减少的机械能 E EA A等于等于 B B 增加的机械能增加的机械能 EE B B 即即 -E-EA A = = EEB B 二、例题导航：二、例题导航：例例 1 1、如图示，长为、如图示，长为l l 的轻质硬棒的底端和中点各固定一个质量为的轻质硬棒的底端和中点各固定一个质量为 m m 的小球，为使轻质硬的小球，为使轻质
3、硬 棒能绕转轴棒能绕转轴 O O 转到最高点，则底端小球在如图示位置应具有的最小速度转到最高点，则底端小球在如图示位置应具有的最小速度 v=v= 。 解解：系统的机械能守恒，：系统的机械能守恒，EEP P +E+EK K=0=0 因为小球转到最高点的最小速度可以为因为小球转到最高点的最小速度可以为 0 0 ，所以，所以，例例 2 2. . 如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角=30=30，另一边与地面垂直，顶上，另一边与地面垂直，顶上 有一定滑轮。一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块有一定滑轮。一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A A和和B B
4、连结，连结，A A的质量为的质量为 4 4m m，B B 的质量为的质量为m m，开始时将，开始时将B B按在地面上不动，然后放开手，让按在地面上不动，然后放开手，让A A沿斜面下滑而沿斜面下滑而B B上升。物块上升。物块 A A与斜面间无摩擦。设当与斜面间无摩擦。设当A A沿斜面下滑沿斜面下滑S S 距离后，细线突然断了。求物块距离后，细线突然断了。求物块B B上升离地的最上升离地的最 大高度大高度H.H. 解解：对系统由机械能守恒定律：对系统由机械能守恒定律4mgSsin4mgSsin mgSmgS = = 1/21/2 5 5 mvmv2 2 v v2 2=2gS/5=2gS/5细线断后
5、，细线断后，B B 做竖直上抛运动，由机械能守恒定律做竖直上抛运动，由机械能守恒定律mgH=mgH= mgS+1/2mgS+1/2 mvmv2 2 H H = = 1.21.2 S S lmglmgvmmv2221 212 2glglv8.4524例例 3 3. . 如图所示，半径为如图所示，半径为R R、圆心为、圆心为O O的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小圆环套在的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小圆环套在大圆环上一根轻质长绳穿过两个小圆环，它的两端都系上质量为大圆环上一根轻质长绳穿过两个小圆环，它的两端都系上质量为m m的重物，忽略小圆环的重物，忽略小圆环的大小。的大小。（1 1）将两
6、个小圆环固定在大圆环竖直对称轴的两侧）将两个小圆环固定在大圆环竖直对称轴的两侧=30=30的位置上的位置上( (如图如图) )在在两个小圆环间绳子的中点两个小圆环间绳子的中点C C处，挂上一个质量处，挂上一个质量M M= = m m的重的重物，使两个小圆物，使两个小圆环间的绳子水平，然后无初速释放重物环间的绳子水平，然后无初速释放重物M M设绳子设绳子与大、小圆环间的摩擦均可忽略，求重物与大、小圆环间的摩擦均可忽略，求重物M M下降的最大距离下降的最大距离（2 2）若不挂重物）若不挂重物M M小圆环可以在大圆环上自由移动，且绳子与大、小小圆环可以在大圆环上自由移动，且绳子与大、小圆环间及大、小
7、圆环之间的摩擦均可以忽略，问两个小圆环分别在哪些圆环间及大、小圆环之间的摩擦均可以忽略，问两个小圆环分别在哪些位置时，系统可处于平衡状态位置时，系统可处于平衡状态? ?解解：(1)(1)重物向下先做加速运动，后做减速运动，当重物速度重物向下先做加速运动，后做减速运动，当重物速度为零时，下降的距离最大设下降的最大距离为为零时，下降的距离最大设下降的最大距离为 h h ，由机械能守恒定律得由机械能守恒定律得 解得解得 （另解（另解h=0h=0 舍去）舍去）(2)(2)系统处于平衡状态时，两小环的可能位置为系统处于平衡状态时，两小环的可能位置为a a 两小环同时位于大圆环的底端两小环同时位于大圆环的
8、底端b b两小环同时位于大圆环的顶端两小环同时位于大圆环的顶端c c两小环一个位于大圆环的顶端，另一个位于大圆环的底端两小环一个位于大圆环的顶端，另一个位于大圆环的底端d d除上述三种情况外，根据对称性可知，系统如能平衡，则两小圆环的位置一定关于大圆除上述三种情况外，根据对称性可知，系统如能平衡，则两小圆环的位置一定关于大圆环竖直对称轴对称设平衡时，两小圆环在大圆环竖直对称轴环竖直对称轴对称设平衡时，两小圆环在大圆环竖直对称轴两侧两侧 角的位置上角的位置上( (如图所示如图所示) )对于重物，受绳子拉力与重力作用，对于重物，受绳子拉力与重力作用， 有有 T=mgT=mg对于小圆环，受到三个力的
9、作用，水平绳的拉力对于小圆环，受到三个力的作用，水平绳的拉力 T T、 竖直绳子竖直绳子的拉力的拉力 T T、大圆环的支持力、大圆环的支持力 N.N.两绳子的拉力沿大圆环切向的分力大小相等，方向相反两绳子的拉力沿大圆环切向的分力大小相等，方向相反 得得=,=, 而而 +=90+=90，所以，所以 =45=45 2RsinRsinh2mgMgh22R2h 例例 4 4. . 如图质量为如图质量为m m1 1的物体的物体A A经一轻质弹簧与下方地面上的经一轻质弹簧与下方地面上的 质量为质量为m m2 2的物体的物体B B相连，弹簧的劲度系数为相连，弹簧的劲度系数为k k，A A、B B都处于都处于
10、 静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体 A A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都牌伸直状态，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都牌伸直状态，A A上方上方 的一段沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为的一段沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为m m3 3的物体的物体C C上升。上升。 若将若将C C换成另一个质量为换成另一个质量为( (m m1 1+ +m m3 3) )物体物体D D，仍从上述初始位置，仍从上述初始位置 由静止状态释放，则这次由静止状态释放，则这次B B则离地时则离地时D D的速度的大小是多少？的速度的大小是多少？ 已知重力加
11、速度为已知重力加速度为g g。解解: :开始时，开始时，B B 静止平衡，设弹簧的压缩量为静止平衡，设弹簧的压缩量为x x1,1,gmkx11挂挂C C后，当后，当 B B 刚要离地时，设弹簧伸长量为刚要离地时，设弹簧伸长量为x x2 2，有，有gmkx22此时，此时，A A和和C C速度均为零。从挂速度均为零。从挂C C到此时，根据机械能守恒定律弹簧弹性势能的改变到此时，根据机械能守恒定律弹簧弹性势能的改变 量为量为)()(211213xxgmxxgmE将将C C换成换成D D后，有后，有)()()()(21 21121312 131xxgmxxgmmmmmEv联立以上各式可以解得联立以上各
12、式可以解得)2()(2312 211 mmkgmmm v针对训练针对训练A m1kB m21 1在光滑水平面上有两个相同的弹性小球在光滑水平面上有两个相同的弹性小球 A A、B B，质量都为，质量都为 m.m. 现现 B B 球静止，球静止，A A 球向球向 B B 球运球运 动，发生正碰。已知碰撞过程中总机械能守恒，两球压缩最紧时的弹性势能为动，发生正碰。已知碰撞过程中总机械能守恒，两球压缩最紧时的弹性势能为 E Ep p，则碰前，则碰前 A A 球的速度等于球的速度等于 （ ）2 2质量质量 为为 m m 的物体，在距地面的物体，在距地面 h h 高处以高处以 g g /3/3 的加速度由
13、静止竖直下落到地面，的加速度由静止竖直下落到地面， 下列说法中正确的是：下列说法中正确的是： （ ） A.A. 物体的重力势能减少物体的重力势能减少 1/31/3 mghmgh B.B. 物体的机械能减少物体的机械能减少 2/32/3 mghmgh C.C. 物体的动能增加物体的动能增加 1/31/3 mghmgh D.D. 重力做功重力做功 mghmgh3 3一物体从某一高度自由落下，落在直立于地面的轻弹簧上，如图所一物体从某一高度自由落下，落在直立于地面的轻弹簧上，如图所 示在示在 A A 点时，物体开始接触弹簧；到点时，物体开始接触弹簧；到 B B 点时，物体速度为零，然后点时，物体速度
14、为零，然后 被弹回下列说法中正确的是被弹回下列说法中正确的是bcdbcd A A物体从物体从 A A 下降到下降到 B B 的过程中，动能不断变小的过程中，动能不断变小B B物体从物体从 B B 上升到上升到 A A 的过程中，动能先增大后减小的过程中，动能先增大后减小C C物体由物体由 A A 下降到下降到 B B 的过程中，弹簧的弹性势能不断增大的过程中，弹簧的弹性势能不断增大D D物体由物体由 B B 上升到上升到 A A 的过程中，弹簧所减少的弹性势能等于物体所的过程中，弹簧所减少的弹性势能等于物体所 增加的动能与增加的重力势能之和增加的动能与增加的重力势能之和4.4. 长为长为 L L 质量分布均匀的绳子，对称地悬挂在轻小的定滑轮上，质量分布均匀的绳子，对称地悬挂在轻小的定滑轮上， 如图所示如图所示. .轻轻地推动一下，让绳子滑下，那么当绳子离轻轻地推动一下，让绳子滑下，那么当绳子离 开滑轮的瞬间，绳子的速度为开滑轮的瞬间，绳子的速度为 . .5.5.一根内壁光滑的细圆管，形状如下图所示，放在竖直平面内，一根内壁光滑的细圆管，形状如下图所示，放在竖直平面内， 一个小球自一个小球自 A A
