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1、第6讲 函数及其基本性质1.高中阶段研究的基本初等函数主要有一次函数（正比例函数）、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数以及三角函数共七类.各类函数的五大性质：定义域；值域（最值、极值、边界）；周期性；奇偶性（对称性）；单调性，是高考的重点与热点，是试卷命题的中心，也是体现考试说明中抽象概括能力、推理论证能力及运算求解能力的良好载体，试题多不会趋向简单.2.备考过程中既要从宏观上掌握研究学习函数的一 般方法和规律，按照“定义定义域、值域图象性质”的思路程序研究每一类函数,又要从微观上理解和把握各类函数的不同性质、运算规律. 3.函数及其基本性质是函数内容的主体部分，是高考考查的重点
2、，其中定义域、单调性、奇偶性、周期性等几乎是每年必考，常常是将这些知识点与集合、不等式、方程、函数图象等知识交汇融合，以填空题的形式进行考查.对于函数定义域，还常常隐性地进行考查，因为研究函数的性质以及其他问题时，必须首先研究函数的定义域.函数的单调性、奇偶性、周期性经常融合为一体，在研究参数的范围问题、求值问题中进行考查.4.以函数知识为依托，渗透基本数学思想方法.函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过 程，包括解决几何问题.纵观近几年江苏省高考试卷，从老版本教材到新课标教材，选择填空题，解答题均有涉及，以基本函数为背景的应用题和综合题是每一年高考“能力立意”的首选素材.备考过程中还要仔
3、细体会数形结合这一数学思想方法的应用.函数是考查数形结合思想的良好载体，除应熟悉常见函数图象外，还应加强函数与方程、图象与曲线的区别与统一性认识，加强对图象与图象变换的理解与应用.5.新课标考试说明明确要求“注重数学的应用意识 和创新意识的考查”.“函数”一节为这一要求提供了良好的载体.函数知识与社会现实，经济建设，科技发展密切相关，以社会热点为背景，考查函数应用题，有利于培养学生应用数学的意识，有助于提高学生应用数学的能力和创新实践能力.纵观08、09年高考试卷中，山东、广东、江苏等新课标实施地区均在这方面有不同程度的体现.【例1】（2008山东）已知f(3x)=4xlog23+233,则
4、f(2)+f(4)+f(8)+f(28)的值等于 .分析 首先由题设求出f(x）表达式，进而研究待 求和式的规律.解析 f(3x)=4xlog23+233=4log23x+233,f(x)=4log2x+233,f(2)+f(4)+f(28)=4(1+2+8)+2338=2 008.2 008 探究拓展 当题设中，f(x)解析式未明确，而由条 件可求时，应首先依相关知识确定f(x)的解析式，这是各个加数的“通项公式”，而规律往往蕴含于其中，备考中要注意体会与掌握.变式训练1 已知函数f(x)0,对任意x,y有f(x+y)2f(x)f(y)和f(x+y)=f 2(x)+f 2(y),则.解析 2
5、 f(x)f(y)f(x+y)=f 2(x)+f 2(y)f(x)-f(y)20 f(x)=f(y) 要求的值为1 004.1 004【例2】若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a、bR)是偶函数，且它的值域为（-，4，则该函数的解析式f（x）= .分析 f(x)定义域为R,又是偶函数,则f(-x)=f(x) ，结合另一条件，可求出待定系数a、b.解析 f（-x）=f（x）且f（x）=bx2+（2a+ab）x+2a2，f(-x)=b(-x)2+(2a+ab)(-x)+2a2=bx2-（2a+ab）x+2a2，-（2a+ab）=2a+ab，即2a+ab=0，a=0或b=-2.当a=0时
6、，f(x)=bx2,f(x)值域为（-，4，而y=bx2值域不可能为（-，4，a0.当b=-2时,f(x)=-2x2+2a2,值域为（-，2a2.2a2=4,a2=2.f(x)=-2x2+4.答案 探究拓展 本题实质以偶函数定义为条件构造了一个“恒成立问题”,即f(x)为偶函数f(x)=f(-x)恒成立,即xR,（2a+ab)x=0恒成立 ，这又迫使x的系数2a+ab为零，以满足x取值的“任意”性.类似问题还可用“单调性”、“奇函数”来构造.xR,-2x2+4 变式训练2 （2008北京）已知函数+ax2+3bx+c (b0),且g(x)=f(x)-2是奇函数，求 a,c的值.解 因为函数g(
7、x)=f(x)-2为奇函数,所以,对任意的xR,g(-x)=-g(x),即f(-x)-2=-f(x)+2.又f(x)=x3+ax2+3bx+c,所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2.解得a=0,c=2.f(x)=x3【例3】设函数f(x)在(-,+)上满足 f(2- f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间0，7上， 只有f(1)=f(3)=0.（1）试判断函数y=f(x)的奇偶性；（2）试求方程f(x)=0在闭区间-2 010,2 010上的根的个数，并说明你的结论.分析 由条件可得f(x)是周期函数，依规律探寻-2 010，2 010上方程根的个数
8、，注意考查清楚目标区间包含多少周期.解 （1）由f(2-x)=f(2+x),得f(-1)=f(5).而f(5)0f(1)f(-1),即f(x)不是偶函数.x)=又f(x)在0，7上只有f(1)=f(3)=0,f(0)0.从而知函数y=f(x)不是奇函数.故函数y=f(x）是非奇非偶函数.从而知函数y=f(x)的周期为T=10.又f（3）=f（1）=0，f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0.故f(x)在0，10和-10，0上均有2个根，从而可知函数y=f(x)在0，2 000上有400个根，在2 000，2 010上有2个根，在-2 000，0上有400个根,在-2 010，-2
9、000上有2个根，所以方程f(x)=0在-2 010，2 010上有804个根 .探究拓展 本题考查抽象函数的奇偶性、周期性等函数性质，利用周期性求方程根的个数.对抽象函数问题的考查在近几年高考中有逐年增加的趋势.解题的关键是：合理赋值，化抽象为具体，由此探究函数的性质.变式训练3 设f(x）定义如下面数表，xn满足x0=5,且对任意自然数n均有xn+1=f(xn)，则x2 010的值为 .解析 x0=5,x1=f(x0)=f(5)=2,x2=f(x1)=f(2)=1,x3=f(x2)=f(1)=4,x4=f(x3)=f(4)=5,x5=f(x4)=f(5)=2=x1,可见数列xn周期为4，x
10、2 010=x2=1.x12345 f(x)413521【例4】定义在（0，+）上的函数f(x)，对于任意的m,n(0,+)，都有f(mn)=f(m)+f(n)成立，且当x1时，f(x)x20,f(mn)=f(m)+f(n),f(x1)-f(x2)=f（x）在（0,+）上是减函数.（3）解探究拓展 （1）抽象函数是近几年来高考考查的一个重点，在近几年的高考试题中经常出现，因此也是一个热点.(2)抽象函数的背景函数常见形式如下：f(x+y)=f(x)f(y)，其背景函数为f(x)=ax (a0, 且a1);f(xy)=f(x)+f(y)，其背景函数为 f(x)=logax(a0,且a1);f(x
11、+y)=f(x)+f(y)，其背景函数为f(x)=kx;变式训练4 定义在R上的函数f(x)满足 =f(x)+f(y)+2xy (x,yR),f(1)=2,则f(-3)=.f(x+y)解析 令x=n,y=1,则f(n+1)=f(n)+f(1)+2n f(n+1)-f(n)=2n+2f(n)=f(n)-f(n-1)+f(n-1)-f(n-2)+f(n-2)-f(n-3)+f(2)-f(1)+f(1)=2(n-1)+2+2(n-2)+2+21+2+2=答案 6【例5】已知a0且f(logax)=（1）求f(x)；（2）判断f(x)的奇偶性和单调性；（3）若函数f(x)定义在（-1，1）时，有f(1
12、-m)+f(1-m2)1时，a2-10,f(x1)0且a1时，f(x)是增函数.（3）当x(-1,1)时，有由f(1-m)+f(1-m2)0.解得m1或m0，且A1）的图象可由函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长（A1）或缩短（00,且 1)的图象可由函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短（ 1）或伸长（00时， 且当x-3，-1时，nf(x)m恒成立，求m-n的最小值.解 由题意知，当x-3，-1时，nf(x)min,mf(x)max,所以(m-n)min=f(x)max-f(x)min.由f(x）是偶函数知当x-3，-1时，f(x)min=f(-2)=4,故(m-n)min=1.10.（2009镇江调研）函数f(x)满足:定义域是(0,+);当x1时,f(x)x2,所以f(x)在（0,+）上单调递减.
