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1、数 学(文史类)第卷(选择题共 60 分)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. (1)若集合 A=x|x2-x0,B=x|0x3,则 AB 等于 A.x|0x1 B.x|0x3 C.x|1x3 D. (2) “a=1”是“直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (3)设|an|是等左数列,若 a2=3,a1=13,则数列an前 8 项的和为 A.128 B.80 C.64 D.56 (4)函数 f(x)=x3+sin
2、x+1(xR),若 f(a)=2,则 f(-a)的值为 A.3 B.0 C.-1 D.-2(5)某一批花生种子,如果每 1 粒发芽的概率为,那么播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率4 5 是A. B.12 12516 125C. D.48 12596 125 (6)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则 AC1与平面 A1B1C1D1所成 角的正弦值为A. B. C. D.2 2 32 32 41 3(7)函数 y=cosx(xR)的图象向左平移个单位后,得到函数 y=g(x)的图象,则 g(x)的解2析式为 A.-sinx B.sinx C.-cosx
3、 D.cosx(8)在ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a2+c2-b2ac,则角 B 的值为3A. B. C.或 D.或6 3 65 6 32 3(9)某班级要从 4 名男士、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务,如果要求至少有 1 名女 生,那么不同的选派方案种数为 A.14 B.24 C.28 D.48(10)若实数 x、y 满足则的取值范围是10,0,2,xyxx y xA.(0,2) B.(0,2) C.(2,+) D.2,+) (11)如果函数 y=f(x)的图象如右图,那么 导函数 y=f(x)的图象可能是(12)双曲线(a0,b0)的两个焦点为 F1
4、、F2,若 P 为其上一点,且22221xy ab|PF1|=2|PE2|,则双曲线离心率的取值范围为 A.(1,3) B.(1,3) C.(3,+) D. 3,+第卷(非选择题共 90 分)二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置.(13) (x+)9展开式中 x2的系数是 .(用数字作答)1 x (14)若直线 3x+4y+m=0 与圆 x2+y2-2x+4y+4=0 没有公共点,则实数 m 的取值范围是 .(15)若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球的表面积是 .3(16)设 P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意 a、
5、bP,都有 a+b、a-b、ab、P(除数 b0)则称 P 是一个数域,例如有理数集 Q 是数域,有下列命题:a b 数域必含有 0,1 两个数;整数集是数域; 若有理数集 QM,则数集 M 必为数域; 数域必为无限集. 其中正确的命题的序号是 .(把你认为正确的命题的序号都填上) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分)已知向量,且(sin,cos),(1, 2)mAA n0.m n A()求 tanA 的值;()求函数R)的值域.( )cos2tansin (f xxAx x(18) (本小题满分 12 分)
6、三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出密码的概率分别为且他们是否破译1 1 1,5 4 3 出密码互不影响.()求恰有二人破译出密码的概率; ()“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大?说明理由. (19) (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 PABCD 中,侧面 PAD底面 ABCD,侧棱 PAPD=,底面 ABCD 为直2角梯形,其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中 点.()求证:PO平面 ABCD; ()求异面直线 PB 与 CD 所成角的余弦值; ()求点 A 到平面 PCD 的距离. (20) (本小题满分 12 分)已知an是正数组成的
7、数列,a1=1,且点() (nN*)在函数 y=x2+1 的图象上.1,nnaa()求数列an的通项公式;()若列数bn满足 b1=1,bn+1=bn+,求证:bnbn+2b2n+1.2na(21)(本小题满分 12 分)已知函数的图象过点(-1,-6) ,且函数的图32( )2f xxmxnx( )( )6g xfxx象关于 y 轴对称.()求 m、n 的值及函数 y=f(x)的单调区间; ()若 a0,求函数 y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值. (22)(本小题满分 14 分)如图,椭圆(ab0)的一个2222:1xyCab焦点为 F(1,0),且过点(2,0).()求椭圆 C
8、 的方程; ()若 AB 为垂直于 x 轴的动弦,直线 l:x=4 与 x 轴交于点 N,直线 AF 与 BN 交于点 M.()求证:点 M 恒在椭圆 C 上; ()求AMN 面积的最大值.数学试题(文史类)参考答案 一、选择题:本大题考查基本概念和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分. (1)A(2)C(3)C(4)B(5)C(6)D (7)A(8)A(9)A(10)D(11)A(12)B 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算,每小题 4 分,满分 16 分.(13)84(14) (15)9 (16)(,0)(10,)三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,
9、证明过程或演算步骤. (17)本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一 元二次函数的最值等基本知识,考查运算能力,满分 12 分. 解:()由题意得mn=sinA-2cosA=0, 因为 cosA0,所以 tanA=2. ()由()知 tanA=2 得2213( )cos22sin1 2sin2sin2(sin).22f xxxxxx 因为 xR,所以.sin1,1x 当时,f(x)有最大值,1sin2x 3 2 当 sinx=-1 时,f(x)有最小值-3,所以所求函数 f(x)的值域是33,.2(18)本小题主要考查概率的基本知识与分类思想,考查运用数学知识
10、分析问题、解决问 题的能力.满分 12 分. 解:记“第 i 个人破译出密码”为事件 A1(i=1,2,3),依题意有且 A1,A2,A3相互独立.123111(), (), (),54.3P AP AP A()设“恰好二人破译出密码”为事件 B,则有BA1A2A1A3+A2A3且 A1A2,A1A3,A2A33A2A1A3A2A1A彼此互斥于是 P(B)=P(A1A2)+P(A1A3)+P(A2A3)3A2A1A31 41 54 31 43 51 32 41 51.203答:恰好二人破译出密码的概率为.203()设“密码被破译”为事件 C, “密码未被破译”为事件 D.D,且,互相独立,则有
11、1A2A3A1A2A3AP(D)P()P()P().1A2A3A32 43 5452而 P(C)1-P(D),故 P(C)P(D).53答:密码被破译的概率比密码未被破译的概率大. (19)本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本 知识,考查空间想象能力,逻辑思维能力和运算能力.满分 12 分. 解法一: ()证明:在PAD 卡中 PAPD,O 为 AD 中点,所以 POAD. 又侧面 PAD底面 ABCD,平面 PAD平面 ABCDAD,PO平面 PAD, 所以 PO平面 ABCD. ()连结 BO,在直角梯形 ABCD 中,BCAD,AD=2AB=2BC,
12、有 ODBC 且 ODBC,所以四边形 OBCD 是平行四边形, 所以 OBDC. 由()知 POOB,PBO 为锐角, 所以PBO 是异面直线 PB 与 CD 所成的角.因为 AD2AB2BC2,在 RtAOB 中,AB1,AO1,所以 OB,2在 RtPOA 中,因为 AP,AO1,所以 OP1,2在 RtPBO 中,PB,322OBOPcosPBO=,3632PBOB所以异面直线 PB 与 CD 所成的角的余弦值为.36()由()得 CDOB,2在 RtPOC 中,PC,222OPOC所以 PCCDDP,SPCD=2=.43 23又 S=, 121 ABAD设点 A 到平面 PCD 的距
13、离 h, 由 VP-ACD=VA-PCD,得SACDOPSPCDh,31 31即11h,31 31 23解得 h.332解法二: ()同解法一,()以 O 为坐标原点,的方向分OPODOC、别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐 标系 O-xyz. 则 A(0,-1,0) ,B(1,-1,0) ,C(1,0,0) ,D(0,1,0) ,P(0,0,1).所以(-1,1,0) ,(t,-1,-1) ,CDPB、=,PBCD362311 CDPBCDPB所以异面直线 PB 与 CD 所成的角的余弦值为,36()设平面 PCD 的法向量为 n(x0,y0,x0) ,由()知=(-1,0
14、,1) ,(-1,1,0) ,CPCD则 n0,所以 -x0+ x0=0,CPn0, -x0+ y0=0, CD即 x0=y0=x0, 取 x0=1,得平面的一个法向量为 n=(1,1,1).又=(1,1,0).AC从而点 A 到平面 PCD 的距离 d.33232nnAC(20)本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识,考查转化与化归思想,考查推理 与运算能力.满分 12 分. 解法一:()由已知得 an+1=an+1、即 an+1-an=1,又 a1=1, 所以数列an是以 1 为首项,公差为 1 的等差数列. 故 an=1+(a-1)1=n.()由()知:an=n 从而 bn+1-bn=2n. bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1 =2n-1+2n-2+2+1=2n-1.2121 n因为 bnbn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1