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1、2007 年南通市高三第一次调研考试数学试题一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的1 设全集 U1,2,3,4,5,集合 A1,2,B2,3,则UAB I A4,5 B2,3 C1 D2 2 除以 9 的余数是122 5151124C24 C505051 5124 C +24A1 B4 C7 D83 函数的定义域和值域均为0,1,则 a 等于log (1)(01)ayxaa,A B2 C D1 22 224 双曲线的一条渐近线与实轴的夹角为 ,则双曲线的离心率为 Asin B Ccos D1 sin1 cos5 对某种
2、电子元件使用寿命跟踪调查,所得样本频率分布直方图如右图,由图可知一批 电子元件中寿命在 100300 小时的电子元件的数量与寿命在 300600 小时的电子元件 的数量的比是A B1 21 3C D1 41 66 函数的单调递增区间是|sin |yxA 12 ,2()2kkkZB 1 ,()2k kkZC 112 2()22kkkZ,D 11()22kkkZ,7 箱内有大小相同的 6 个红球和 4 个黑球,从中每次取 1 个球记下颜色后再放回箱中, 则前 3 次恰有 1 次取到黑球的概率为A B C D1 236 1253 1054 1258 空间四条直线 a,b,c,d,满足 ab,bc,c
3、d,da,则必有 Aac Bbd Cbd 或 ac Dbd 且 ac 9 若 a0,b0,a3b32a2b,则的取值范围是b a1 2501 4003 20001 2000率 率率 率 率 率率 率100400200 300寿命寿命(h)500 600(第 5 题)A B C D51(0 )2,51( 1)2,(0 21),( 21 1) ,10ABC 的外接圆圆心为 O,且,则C 等于345OAOBOC 0uuu ruuu ruuu rA45 B60 C75 D90 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分把答案填写在答题卡相应位置上11已知向量 a(1,1) ,b,则
4、a 与 b 的夹角 ( 62, 62)12垂直于直线 x3y0 且与曲线相切的直线方程为 323yxx13椭圆的一个焦点为 F,点 P 在椭圆上,且(O 为坐标原点)2 2 21(1)xyaa| |OPOFuuu ruuu r,则OPF 的面积 S 14数列an中,且,则常数 t 11a 545a 1(1)nnnanat15一排 7 个座位,让甲、乙、丙三人就坐,要求甲与乙之间至少有一个空位,且甲与丙 之间也至少有一个空位,则不同的坐法有 种16已知函数,当时,有给出以下命题:( ) |21|xf x abc( )( )( )f af cf b(1);(2);(3);(4)0ac0bc222a
5、c222bc 则所有正确命题的序号是 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 (本题满分 12 分)已知抛物线的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴的正半轴上,且过点 P(2,2) ,过 F 的直线交抛物线于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点(1)求抛物线的方程;(2)设直线 l 是抛物线的准线,求证:以 AB 为直径的圆与直线 l 相切18 (本题满分 14 分)在同一平面内,RtABC 和 RtACD 拼接如图所示,现将ACD 绕 A 点顺时针旋转 角(0)后得 3AC1D1,AD1交 DC 于点 E,AC1交 BC 于点FBACACD,
6、ACBADC,AC 2 63(1)当 AF1 时,求 ;D1ADBEFC1C(第 18 题)(2)求证:对任意的 (0,) ,为定值 3BE ACuuu r uuu r19 (本题满分 14 分)正四棱锥 SABCD 中,O 为底面中心,E 为 SA 的中点,AB1,直线 AD 到平面 SBC 的距离等于6 3(1)求斜高 SM 的长;(2)求平面 EBC 与侧面 SAD 所成锐二面角的大小;(3)在 SM 上是否存在点 P,使得 OP平面EBC?并证明你的结论20 (本题满分 15 分)(1)设 a,nN*,a2,证明:;2()(1)nnnaaaa (2)等比数列an中,前 n 项的和为 A
7、n,且 A7,A9,A8成等差数列设11 2a ,数列bn前 n 项的和为 Bn,证明:Bn21n n naba1 321 (本题满分 15 分)已知函数和(其中) ,32( )38f xxbxcx32( )g xxbxcx302b,( )( )5 ( )F xf xg x(1)( )0fg m(1)求的取值范围;m(2)方程有几个实根?为什么?( )0F x SABCDOEM(第 19 题)2007 年南通市高三第一次调研考试数学参考答案和评分标准1C 2A 3B 4D 5C 6B 7D 8C 9B 10A11120 123xy10 13 1410 15100 16 (1) , (4)1 2
8、17解:(1)设抛物线,将(2,2)代入,得 p1 4 分22(0)ypx py2=2x 为所求的抛物线的方程5 分(2)联立 消去 y,得到 22 1 2yxxty,221(12 )04xtx7 分设 AB 的中点为,则00(,)M xy2012 2tx 点到准线 l 的距M离9 分2 2121()122tdt 而,222 12221111(12 )12(1)ABxxtttt11 分,故以 AB 为直径的圆与准线 l 相切 12 分1 2dAB(注:本题第(2)也可用抛物线的定义法证明)18解:(1)在ACF 中,sinsin6ACAF AFC即5 分31 1sin()62 又, 7 分3s
9、in()6203 6(2) BE ACBAAEACuuu r uuu ruu u ruuu ruuu r()BA ACAE ACuu u r uuu ruuu r uuu r0 | |cosACAEEAC uuu ruuu r 14 分2|3ACuuu r(注:用坐标法证明,同样给分)19解法一:(1)连 OM,作 OHSM 于 H SM 为斜高,M 为 BC 的中点,BCOMBCSM,BC平面 SMO 又 OHSM,OH平面 SBC 2 分由题意,得166 236OH 设 SMx,则,解之,即 5 分22611( )622xx3 2x 3 2SM (2)设面 EBCSDF,取 AD 中点 N
10、,连 SN,设 SNEFQADBC,AD面 BEFC而面 SAD面 BEFCEF,ADEF 又 ADSN,ADNM,AD面 SMN 从而 EF面 SMN,EFQS,且 EFQMSQM 为所求二面角的平面角,记为 7 分由平几知识,得2222(2)2()QMSNMNMS,23342(1)44QM11 4QM ,即所求二面角为 221133()()1444cos11333244 1arccos33 10 分 (3)存在一点 P,使得 OP平面 EBC取 SD 的中点 F,连 FC,可得梯形 EFCB, 取 AD 的中点 G,连 SG,GM,得等腰三角形 SGM,O 为 GM 的中点, 设 SGEF
11、H,则 H 是 EF 的中点 连 HM,则 HM 为平面 EFCB 与平面 SGM 的交线 又BCSO,BCGM,平面 EFCB平面 SGM 12 分 在平面 SGM 中,过 O 作 OQHM,由两平面垂直的性质,可知 OQ平面 EFCB 而 OQ平面 SOM,在平面 SOM 中,延 长 OQ 必与 SM 相交于一点, 故存在一点 P,使得 OP平面 EBC 14 分 解法二:(1)建立空间坐标系(如图)底面边长为 1,11( 0)22A,11( 0)22B,11( 0)22C ,SABCDOEMxyz(第 19 题)SABCDOEM(第 19 题)QHFN 1 分1(0 0)2M,设,(0
12、0)Sh,平面 SBC 的一个法向量,( 1)x y,n则,1(0 )2SMhuuu r,(1 0 0)CB uuu r,0CBxuuu rn102SMyhuuu rny2h,n(0,2h,1) 3 分而(0,1,0) ,由题意,得解得ABuuu r26|2 3|41ABhh uuu rn n2 2h 斜高 223|2SMSOOMuuu ruu u ruuuu r 5 分(2)n(0,2h,1),(0 2 1),由对称性,面 SAD 的一个法向量为 n1 (0 2 1),6 分 设平面 EBC 的一个法向量 n2=(x,y,1) ,由,得112()444E,1321( )(1 3 2)4444EB uu u r,解得22010(32).4CBxEBxyuuu ruu u r,nn 8 分02.3xy,21(0 2 3)3,n设所求的锐二面角为 ,则, 10 分12 12 12|1cos|cos|33 ,nnnnnn1arccos33 (3)存在满足题意的点证明如下:P(01)OPOMMPOMMSuuu ruuuu