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1、2007 年南通市高三第一次调研考试数学试题一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的1 设全集 U1，2，3，4，5，集合 A1，2，B2，3，则UAB I A4，5 B2，3 C1 D2 2 除以 9 的余数是122 5151124C24 C505051 5124 C +24A1 B4 C7 D83 函数的定义域和值域均为0，1，则 a 等于log (1)(01)ayxaa，A B2 C D1 22 224 双曲线的一条渐近线与实轴的夹角为 ，则双曲线的离心率为 Asin B Ccos D1 sin1 cos5 对某种
2、电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本频率分布直方图如右图，由图可知一批 电子元件中寿命在 100300 小时的电子元件的数量与寿命在 300600 小时的电子元件 的数量的比是A B1 21 3C D1 41 66 函数的单调递增区间是|sin |yxA 12 ,2()2kkkZB 1 ,()2k kkZC 112 2()22kkkZ，D 11()22kkkZ，7 箱内有大小相同的 6 个红球和 4 个黑球，从中每次取 1 个球记下颜色后再放回箱中， 则前 3 次恰有 1 次取到黑球的概率为A B C D1 236 1253 1054 1258 空间四条直线 a，b，c，d，满足 ab，bc，c
3、d，da，则必有 Aac Bbd Cbd 或 ac Dbd 且 ac 9 若 a0，b0，a3b32a2b，则的取值范围是b a1 2501 4003 20001 2000率 率率 率 率 率率 率100400200 300寿命寿命（h）500 600（第 5 题）A B C D51(0 )2，51( 1)2，(0 21)，( 21 1) ，10ABC 的外接圆圆心为 O，且，则C 等于345OAOBOC 0uuu ruuu ruuu rA45 B60 C75 D90 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填写在答题卡相应位置上11已知向量 a（1，1） ，b，则
4、a 与 b 的夹角 ( 62, 62)12垂直于直线 x3y0 且与曲线相切的直线方程为 323yxx13椭圆的一个焦点为 F，点 P 在椭圆上，且（O 为坐标原点）2 2 21(1)xyaa| |OPOFuuu ruuu r，则OPF 的面积 S 14数列an中，且，则常数 t 11a 545a 1(1)nnnanat15一排 7 个座位，让甲、乙、丙三人就坐，要求甲与乙之间至少有一个空位，且甲与丙 之间也至少有一个空位，则不同的坐法有 种16已知函数，当时，有给出以下命题：( ) |21|xf x abc( )( )( )f af cf b（1）；（2）；（3）；（4）0ac0bc222a
5、c222bc 则所有正确命题的序号是 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （本题满分 12 分）已知抛物线的顶点在原点，焦点 F 在 x 轴的正半轴上，且过点 P（2，2） ，过 F 的直线交抛物线于 A（x1，y1） ，B（x2，y2）两点（1）求抛物线的方程；（2）设直线 l 是抛物线的准线，求证：以 AB 为直径的圆与直线 l 相切18 （本题满分 14 分）在同一平面内，RtABC 和 RtACD 拼接如图所示，现将ACD 绕 A 点顺时针旋转 角（0）后得 3AC1D1，AD1交 DC 于点 E，AC1交 BC 于点FBACACD，
6、ACBADC，AC 2 63（1）当 AF1 时，求 ；D1ADBEFC1C（第 18 题）（2）求证：对任意的 （0，） ，为定值 3BE ACuuu r uuu r19 （本题满分 14 分）正四棱锥 SABCD 中，O 为底面中心，E 为 SA 的中点，AB1，直线 AD 到平面 SBC 的距离等于6 3（1）求斜高 SM 的长；（2）求平面 EBC 与侧面 SAD 所成锐二面角的大小；（3）在 SM 上是否存在点 P，使得 OP平面EBC？并证明你的结论20 （本题满分 15 分）（1）设 a，nN*，a2，证明：；2()(1)nnnaaaa （2）等比数列an中，前 n 项的和为 A
7、n，且 A7，A9，A8成等差数列设11 2a ，数列bn前 n 项的和为 Bn，证明：Bn21n n naba1 321 （本题满分 15 分）已知函数和（其中） ，32( )38f xxbxcx32( )g xxbxcx302b，( )( )5 ( )F xf xg x(1)( )0fg m（1）求的取值范围；m（2）方程有几个实根？为什么？( )0F x SABCDOEM（第 19 题）2007 年南通市高三第一次调研考试数学参考答案和评分标准1C 2A 3B 4D 5C 6B 7D 8C 9B 10A11120 123xy10 13 1410 15100 16 （1） ， （4）1 2
8、17解：（1）设抛物线，将（2，2）代入，得 p1 4 分22(0)ypx py2=2x 为所求的抛物线的方程5 分（2）联立 消去 y，得到 22 1 2yxxty，221(12 )04xtx7 分设 AB 的中点为，则00(,)M xy2012 2tx 点到准线 l 的距M离9 分2 2121()122tdt 而，222 12221111(12 )12(1)ABxxtttt11 分，故以 AB 为直径的圆与准线 l 相切 12 分1 2dAB（注：本题第（2）也可用抛物线的定义法证明）18解：（1）在ACF 中，sinsin6ACAF AFC即5 分31 1sin()62 又， 7 分3s
9、in()6203 6（2） BE ACBAAEACuuu r uuu ruu u ruuu ruuu r（）BA ACAE ACuu u r uuu ruuu r uuu r0 | |cosACAEEAC uuu ruuu r 14 分2|3ACuuu r（注：用坐标法证明，同样给分）19解法一：（1）连 OM，作 OHSM 于 H SM 为斜高，M 为 BC 的中点，BCOMBCSM，BC平面 SMO 又 OHSM，OH平面 SBC 2 分由题意，得166 236OH 设 SMx，则，解之，即 5 分22611( )622xx3 2x 3 2SM （2）设面 EBCSDF，取 AD 中点 N
10、，连 SN，设 SNEFQADBC，AD面 BEFC而面 SAD面 BEFCEF，ADEF 又 ADSN，ADNM，AD面 SMN 从而 EF面 SMN，EFQS，且 EFQMSQM 为所求二面角的平面角，记为 7 分由平几知识，得2222(2)2()QMSNMNMS，23342(1)44QM11 4QM ，即所求二面角为 221133()()1444cos11333244 1arccos33 10 分 （3）存在一点 P，使得 OP平面 EBC取 SD 的中点 F，连 FC，可得梯形 EFCB， 取 AD 的中点 G，连 SG，GM，得等腰三角形 SGM，O 为 GM 的中点， 设 SGEF
11、H，则 H 是 EF 的中点 连 HM，则 HM 为平面 EFCB 与平面 SGM 的交线 又BCSO，BCGM，平面 EFCB平面 SGM 12 分 在平面 SGM 中，过 O 作 OQHM，由两平面垂直的性质，可知 OQ平面 EFCB 而 OQ平面 SOM，在平面 SOM 中，延 长 OQ 必与 SM 相交于一点， 故存在一点 P，使得 OP平面 EBC 14 分 解法二：（1）建立空间坐标系（如图）底面边长为 1，11( 0)22A，11( 0)22B，11( 0)22C ，SABCDOEMxyz（第 19 题）SABCDOEM（第 19 题）QHFN 1 分1(0 0)2M，设，(0
12、0)Sh，平面 SBC 的一个法向量，( 1)x y，n则，1(0 )2SMhuuu r，(1 0 0)CB uuu r，0CBxuuu rn102SMyhuuu rny2h，n（0，2h，1） 3 分而（0，1，0） ，由题意，得解得ABuuu r26|2 3|41ABhh uuu rn n2 2h 斜高 223|2SMSOOMuuu ruu u ruuuu r 5 分（2）n（0，2h，1），(0 2 1)，由对称性，面 SAD 的一个法向量为 n1 (0 2 1)，6 分 设平面 EBC 的一个法向量 n2=（x，y，1） ，由，得112()444E，1321( )(1 3 2)4444EB uu u r，解得22010(32).4CBxEBxyuuu ruu u r，nn 8 分02.3xy，21(0 2 3)3，n设所求的锐二面角为 ，则， 10 分12 12 12|1cos|cos|33 ，nnnnnn1arccos33 （3）存在满足题意的点证明如下：P(01)OPOMMPOMMSuuu ruuuu
