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1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(文史类)数学(文史类)一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 10 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 50 分在每小题给出的四个选项中,只分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的1不等式的解集是( )2xxABCD(0),(01),(1),(0)(1),2若是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( )OEF,ABEFOFOE EFOFOE CDEFOFOE EFOFOE 3设() ,关于的方程()有实数,则2:40p bac0a :qx20axbxc
2、0a 是的( )pq A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分又不必要条件4在等比数列()中,若,则该数列的前 10 项和为( nanN*11a 41 8a )ABCD4122212210122111225在()的二次展开式中,若只有的系数最大,则( )(1)nxnN*3xn A8B9C10D116如图 1,在正四棱柱中,分1111ABCDABC DEF,别是,的中点,则以下结论中不成立的是( 1AB1BC)A与垂直B与垂直EF1BBEFBDC与异面D与异面EFCDEF11AC7根据某水文观测点的历史统计数据,得到某条河流水位的频率分布直方图(如图 2) 从图中可以看出,该水
3、文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是( ) A48 米B49 米C50 米 D51 米ABC1A1C1D1BDEF频率 组距0.5%1%2%水位(米)30 31 32 3348 49 50 51 图28函数的图象和函数的图象的交点个数是( 2441( )431xxf xxxx, ,2( )logg xx) A1B2C3D49设分别是椭圆()的左、右焦点,是其右准线上纵坐12FF,22221xy ab0abP标为(为半焦距)的点,且,则椭圆的离心率是( )3cc122| |FFF PABCD31 21 251 22 210设集合, 都是的含两个元素的子集,且满足:12 3 4 5
4、6M ,12kSSS,M对任意的,(,) ,都有iiiSab,jjjSab,ij12 3ijk、,(表示两个数中的较小者) ,则的最大minminjjiiiijjabab baba,minxy,xy,k值是( ) A10B11C12D13 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 5 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 25 分把答案填在横线上分把答案填在横线上11圆心为且与直线相切的圆的方程是 (11),4xy12在中,角所对的边分别为,若,ABCABC,abc,1a 3c 3C 则 A 13若,则 0a 2 34 9a 1 4log a 14设集合,()|2|0Axyyxx,()|
5、Bxyyxb ,AB (1)的取值范围是 ;b(2)若,且的最大值为 9,则的值是 ()xyAB,2xyb15棱长为 1 的正方体的 8 个顶点都在球的表面上,则球的表面1111ABCDABC DOO积是 ;设分别是该正方体的棱,的中点,则直线被球截得EF,1AA1DDEFO的线段长为 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16 (本小题满分 12 分)已知函数求:2( )1 2sin2sincos888f xxxx (I)函数的最小正周期;( )f x(II)函数的单调增区间(
6、)f x17 (本小题满分 12 分) 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗 人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知参加过财会培训的有 60%,参加过计算机培训的有 75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人 的选择相互之间没有影响 (I)任选 1 名下岗人员,求该人参加过培训的概率; (II)任选 3 名下岗人员,求这 3 人中至少有 2 人参加过培养的概率 18 (本小题满分 12 分)如图 3,已知直二面角,PQAPQBCCACB,直线和平面所成的角为45BAPCA30(I)证明;BCPQ(II)求二面角的大小BAC
7、PABCQP19 (本小题满分 13 分)已知双曲线的右焦点为,过点的动直线与双曲线相交于两点,点222xyFFAB,的坐标是C(10),(I)证明,为常数;CA CB (II)若动点满足(其中为坐标原点) ,求点的轨迹方程MCMCACBCO OM20 (本小题满分 13 分)设是数列()的前项和,且,nSnanN*n1aa222 13nnnSn aS0na 2 3 4n ,(I)证明:数列()是常数数列;2nnaa2n(II)试找出一个奇数,使以 18 为首项,7 为公比的等比数列()中的所有a nbnN*项都是数列中的项,并指出是数列中的第几项nanbna21 (本小题满分 13 分)已知
8、函数在区间,内各有一个极值点3211( )32f xxaxbx 11) ,(13,(I)求的最大值;24ab(II)当时,设函数在点处的切线为 ,若 在点处穿248ab( )yf x(1(1)Af,llA过函数的图象(即动点在点附近沿曲线运动,经过点时,从 的( )yf xA( )yf xAl一侧进入另一侧) ,求函数的表达式( )f x2007 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(文史类)参考答案数学(文史类)参考答案一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 10 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 50 分在每小题给出的四个选项中,
9、只分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1D 2B 3A 4B 5C 6D 7C 8C 9D 10B 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 5 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 25 分把答案填在横线上分把答案填在横线上1122(1)(1)2xy12 6 13314 (1)(2)2),9 215,32三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16解:( )cos(2)sin(2)44f xxx2sin(2)2sin(2)2cos244
10、2xxx(I)函数的最小正周期是;( )f x22T (II)当,即()时,函数2 22 kxk2kxkkZ是增函数,故函数的单调递增区间是() ( )2cos2f xx( )f x 2kk,kZ17解:任选 1 名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件, “该人参加过计算机A培训”为事件,由题设知,事件与相互独立,且,BAB( )0.6P A ( )0.75P B (I)解法一:任选 1 名下岗人员,该人没有参加过培训的概率是1()( )( )0.4 0.250.1PP A BP A P BAA所以该人参加过培训的概率是111 0.10.9P 解法二:任选 1 名下岗人员,该人只参加过一项
11、培训的概率是2()()0.6 0.250.4 0.750.45PP A BP A BAA该人参加过两项培训的概率是3()0.6 0.750.45PP A BA所以该人参加过培训的概率是230.450.450.9PP(II)解法一:任选 3 名下岗人员,3 人中只有 2 人参加过培训的概率是22 430.90.10.243PC3 人都参加过培训的概率是3 30.90.729P 所以 3 人中至少有 2 人参加过培训的概率是450.2430.7290.972PP解法二:任选 3 名下岗人员,3 人中只有 1 人参加过培训的概率是12 30.9 0.10.027C 3 人都没有参加过培训的概率是30
12、.10.001所以 3 人中至少有 2 人参加过培训的概率是1 0.0270.0010.97218解:(I)在平面内过点作于点,连结CCOPQOOB因为,所以,PQCO又因为,所以CACBOAOB而,所以,从而,又,45BAO45ABO90AOBBOPQCOPQ所以平面因为平面,故PQOBCBC OBCPQBC(II)解法一:由(I)知,又,所以BOPQPQBOBO过点作于点,连结,由三垂线定理知,OOHACHBHBHAC 故是二面角的平面角BHOBACP由(I)知,所以是和平面所成的角,则,COCAOCA30CAO不妨设,则,2AC 3AO 3sin302OHAO在中,所以,RtOAB45A
13、BOBAO 3BOAO于是在中,RtBOH3tan23 2BOBHOOH故二面角的大小为BACParctan2 解法二:由(I)知,故可以为原点,分别以直OCOAOCOBOAOBO线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系(如图) OBOAOC,xyzABCQP OH因为,所以是和平面所成的角,则COaCAOCA30CAO不妨设,则,2AC 3AO 1CO 在中,RtOAB45ABOBAO 所以3BOAO则相关各点的坐标分别是,(0 0 0)O ,( 3 0 0)B,(03 0)A ,(0 01)C,所以,( 33 0)AB ,(031)AC ,设是平面的一个法向量,由得1nxyz,ABC1100n ABn AC A A,33030xyyz,取,得1x 1(113)n ,易知是平面的一个法向量2(10 0)n ,设二面角的平面角为,由图可知,BACP12n n ,所以121215cos5| |5 1n n nn A故二面角的大小为BACP5arccos519解:由条件知,设,(2 0)F,11()A xy,22()B xy,(I)当与轴垂直时,可设点的坐标分别为,ABxAB,(22),(22),此时(12) (12)1