拉普拉斯变换-拉普拉斯变换表

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1、20140107拉普拉斯变换-拉普拉斯变换表拉普拉斯变换表拉普拉斯变换系统的数学模型以微分方程的形式表达输出与输入的关系。经典控制理论的系统分析方法系统分析方法：时域法、频域法。2. 数学模型与传递函数时域分析法时域分析法求解数学模型微分方程，获得系统求解数学模型微分方程，获得系统 输出随时间变化的规律。输出随时间变化的规律。 借助于系统频率特性分析系统的性借助于系统频率特性分析系统的性 能，拉普拉斯变换是其数学基础。能，拉普拉斯变换是其数学基础。 频域分析法频域分析法频域分析法是经典控制理论的核心，被广泛采用，该方法间接地运用系统的开环频率特性分析闭环响应。复数和复变函数复数的概念复数的概念

2、复数 s s= = +j+j （有一个实部 和一个虚部， 和 均为实数）两个复数相等：当且仅当它们的实部和虚部分别相等。一个复数为零：当且仅当它的实部和虚部同时为零。2.2 拉普拉斯变换称为虚数单位虚数单位 复数的表示法复数的表示法对于复数 s s= = +j+j 复平面复平面：以 为横坐标(实轴)、 为纵坐标(虚轴)所构成 的平面称为复平面或s s平面。复数 s s= = +j+j 可在复平面s s中用 点( , , )表示：一个复数对应于复平面上的一个点。 2.2.1 复数和复变函数o复平面s s12j12s1=1+j1s2=2+j2 复数的向量表示法复数的向量表示法复数 s s= = +

3、j+j 可以用从原点指向点( , , )的向量表示。向量的长度称为复数的模： 2.2.1 复数和复变函数o1 2js1s2r1=|s1|r2=|s2|向量与 轴的夹角 称为复数s s的复角： 复数的复数的三角函数表示法三角函数表示法与与指数表示法指数表示法根据复平面的图示可得： = = r r coscos ， = = r r sinsin 复数的复数的三角函数表示法三角函数表示法：s s = = r r (cos(cos + j sin+ j sin ) ) 2.2.1 复数和复变函数o1 2js1s2r1=|s1|r2=|s2|欧拉公式：复数的复数的指数表示法指数表示法： 复变函数、极点与

4、零点的概念复变函数、极点与零点的概念以复数s s= = +j+j 为自变量构成的函数G G( (s s) )称为复变函数：G G( (s s) ) = = u u + j+ jv v式中式中：u u、v v 分别为复变函数的实部和虚部。2.2.1 复数和复变函数(a) 当s s= =- -z zi i时，G G( (s s) )=0=0，则s si i= =- -z zi i称为G G( (s s) )的 零点零点 ；分子为零分子为零分母为零分母为零通常，在线性控制系统中，复变函数G G( (s s) )是复数s s的单值函数。即：对应于s s的一个给定值，G G( (s s) )就有一个唯一

5、确定的值与之相对应。当复变函数表示成(b) 当s s= =- -p pj j时，G G( (s s) )，则s sj j= =- -p pj j称为G G( (s s) )的 极点极点 。例：例：当s s= = +j+j 时，求复变函数G G( (s s) ) = =s s2 2+1+1的实部u u和虚部v v。2.2.1 复数和复变函数复变函数的实部复变函数的虚部解解：G G( (s s) )s s2 2+1+1( ( +j+j ) )2 2+ 1 + 1 2 2+ j(2 + j(2 ) ) - - 2 2+ 1 + 1( ( 2 2- - 2 2+ 1) + j(2 + 1) + j(2

6、 ) ) 拉普拉斯变换的定义拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能 将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量s s的乘积，将时 间表示的微分方程，变成以s s表示的代数方程。2.2 拉普拉斯变换复变量原函数象函数拉氏变换符号拉普拉斯变换拉普拉斯变换：在一定条件下，把实数域中的实变函数 f(t) 变 换到复数域内与之等价的复变函数 F(t) 。设有时间函数 f(t)，当 t a的所有复数s (Res表示s的实部)都 使积分式绝对收敛，故Res a是拉普拉斯变换的定义域， a称为收敛坐标。式中式中：M、a为实常数。典型时间函数的拉普拉斯变换(1) 单位阶跃函数单位阶跃函数单位阶跃函数定

7、义：2.2 拉普拉斯变换其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为：(2) (2) 单位脉冲函数单位脉冲函数 单位脉冲函数定义：2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换且：其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为：(3) (3) 单位速度函数（单位斜坡函数）单位速度函数（单位斜坡函数） 单位速度函数定义：2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为：(4) (4) 指数函数指数函数指数函数表达式：2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换式中：a是常数。其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为：(5) (5) 正弦信号函数正弦信号函数正弦信号函数定义：2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换由欧拉公式

8、，正弦函数表达为：两式相减其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为：(6) (6) 余弦信号函数余弦信号函数余弦信号函数定义：2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换由欧拉公式，余弦函数表达为：两式相加其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为：拉普拉斯变换的基本性质(1) 线性定理线性定理若 、 是任意两个复常数复常数，且：2.2 拉普拉斯变换证明证明：则：(2) (2) 平移定理平移定理若：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质证明证明：则：(3) (3) 微分定理微分定理若：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质证明证明：则：f(0)是 t =0 时的 f(t) 值同理，对于二阶导数的拉普拉斯变换：(3) (3)

9、微分定理微分定理推广到n阶导数的拉普拉斯变换：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质如果：函数 f(t) 及其各阶导数的初始值均为零，即则：(4) (4) 积分定理积分定理若：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质则：证明证明：函数 f(t) 积分的初始值(4) (4) 积分定理积分定理同理，对于n重积分的拉普拉斯变换：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质若若：函数 f(t) 各重积分的初始值均为零，则有注注：利用积分定理，可以求时间函数的拉普拉斯变换；利 用微分定理和积分定理，可将微分-积分方程变为代数方程。(5) (5) 终值定理终值定理若：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质则：证明证明：根据拉普拉

10、斯变换的微分定理，有由于，上式可写成写出左式积分写出左式积分(6) (6) 初值定理初值定理若：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质则：证明证明：根据拉普拉斯变换的微分定理，有由于，上式可写成或者或者拉普拉斯反变换(1) (1) 拉普拉斯反变换的定义拉普拉斯反变换的定义将象函数F(s)变换成与之相对应的原函数f(t)的过程，称之为拉普拉斯反变换。其公式：2.2 拉普拉斯变换拉氏反变换的求算有多种方法，如果是简单的象函数，可直接查拉氏变换表；对于复杂的，可利用部分分式展开法部分分式展开法。简写为：如果把 f(t) 的拉氏变换 F(s) 分成各个部分之和，即2.2.5 拉普拉斯反变换假若F1(s)、

11、F2(s)，Fn(s)的拉氏反变换很容易由拉氏变换表查得，那么当 F(s) 不能很简单地分解成各个部分之和时，可采用部分 分式展开将 F(s) 分解成各个部分之和，然后对每一部分查拉氏 变换表，得到其对应的拉氏反变换函数，其和就是要得的 F(s) 的拉氏反变换 f(t) 函数。(2) (2) 部分分式展开法部分分式展开法在系统分析问题中，F(s)常具有如下形式：2.2.5 拉普拉斯反变换式中A(s)和B(s)是s的多项式， B(s)的阶次较A(s)阶次要高。对于这种称为有理真分式的象函数 F(s)，分母 B(s) 应首先 进行因子分解，才能用部分分式展开法，得到 F(s) 的拉氏反变换函数。拉

12、普拉斯反变换由象函数求原函数的方法：(1)利用公式(2)对F(S)进行部分分式展开象函数的一般形式：利用部分分式F(S)分解为：例13-6 解：令D(s)=0，则 s1 = 0，s2=2，s3=5 K1、k2也是一对共轭复根小结：1.) n =m 时将F(S)化成真分式1.由F(S)求f(t) 的步骤2.)求真分式分母的根，确定分解单元3.)求各部分分式的系数4.)对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换 。2.拉氏变换法分析电路正变换 反变换相量形式KCL、KVL元件 复阻抗、复导纳相量形式 电路模型运算电路类似地元件 运算阻抗、运算导纳运算形式KCL、KVL运算形式 电路模型2.电路元件的运

13、算形式R：u=Ri1.运算形式的电路定律+ u -iR+ U(S) -I(S)RL:SLi(0-)/S+ U(S) -I(S)I(S)Li(0-)+ U(S) -SLi+ u -L+ u -iC:IC(S)1/SCuc(0-)/S+ UC(S) - + UC(S) -Cuc(0-)1/SCIC(S)ML1L212+ u1 -+ u2 -L1i1(0-）Mi2(0-）Mi1(0-）L2i2(0-）+U2(S)-+U1(S)-I1(S)I2(S)SL1SL2+ SM + +(s)U+1(s) -mRI(S)+ U2 -U1(S)+ u1 -+ u2-u1Ri运算阻抗运算形式 欧姆定理+ u -iR

14、LC+ U(S) -I(S)RSL1/SC运算阻抗+ u -iRLC+U(S) -I(S)RSL1/SC uc(0-)/s Li(0-)3.运算电路运算电路如 L 、C 有初值时，初值应考虑为附加电源RRLLCi1i2Ee(t)时域电路 物理量用象函数表示元件用运算形式表示RRLSL1/SCI1(S)E/SI2(S)例51F2010100.5H50V+ -uc+ -iL时域电路t=0时打开开关t0运算电路20 0.5S -+-1/S25/S2.55IL(S)UC(S)拉普拉斯变换法分析电路步骤： 1.由换路前电路计算uc(0-) , iL(0-) 2. 画运算电路图3. 应用电路分析方法求象函

15、数4. 反变换求原函数 例1 ：200V300.1H10- uc +1000FiL t = 0时闭合k,求iL，uL。V(2)画运算电路200/S30 0.1s0.5101000/S100/SIL(S)I2(S)例1 ：200V300.1H10- uc +1000FiL200/S30 0.1s0.5101000/S100/SIL(S)I2(S)I1(S )I2(S )(4)反变换求原函数求UL(S)UL(S)200/S30 0.1s0.5101000/S100/SIL(S)I2(S)?RC+ucis(t)例13-10 求冲激响应R 1/SC+Uc(S)IS1tuc(V)0tic例13-11 图示电路已处于稳态，t=0时将开关S闭合，已知 us1=2e-2t V,us2=5V,R1=R2=5,L1=1H,求t0时的uL(t).S R1 R2 iL + US1 L uL US2