辽宁省高中新课程省级培训

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1、辽宁省高中新课程省级培训 数学科讲师团 胡文亮 Email：一、学习微积分的意义 1天地通用微积分： 是研究各种科学的工具，在中学数学中是研究初等函 数最有效的工具.微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键 事件之一，它引入了若干极其成功的、对以后许多数 学的发展起决定性作用的思想.”恩格斯称之为“17世纪 自然科学的三大发明之一.”微积分的建立，无论是对数学还是对其他科学以至于 技术的发展都产生了巨大的影响，充分显示了数学对 于人的认识发展、改造世界的能力的巨大促进作用.整体介绍 2为研究变量和函数提供了重要的方法和手段：导数是刻画函数变化快慢程度的一个一般概念，由于导数是刻画函数变

2、化快慢程度的一个一般概念，由于 变量和函数在自然界和社会中有着几乎无处不在的实际背变量和函数在自然界和社会中有着几乎无处不在的实际背 景，所以它是高等学校许多专业的一门重要基础课景，所以它是高等学校许多专业的一门重要基础课. .欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是 一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的 大革命.3 3具有将复杂问题归纳为简单规则和步骤的非具有将复杂问题归纳为简单规则和步骤的非 凡能力：凡能力： 学习微积分，学生的数学和思维水平都将进入一个新 的阶段，能切实地训练学生的辨证思维.毫不夸张地说 ，不学或未学懂微积分，学生思维难以达到较高的水 平，难以适应21世

3、纪对高中学生素质的要求. 4 4作为现代社会成员的一项科学文化素质要求作为现代社会成员的一项科学文化素质要求 ：高中学生，不论他将来是否进入高校学习，都应学习导 数及其应用的内容，并应用它考察和理解实际现象中的 变化，或者在遇到相关问题向数学求助.作为现代社会成 员的一项科学文化素质要求，是高中阶段学习导数及其 应用的首要目标. 一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过 多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由 某个人或几个人总结完成的.微积分也是这样.5.合作学习意识的引导与强化:二、编写的指导思想1 1打破传统的教学顺序，突出概念本质打破传统的教学顺序，突出概念本质 ：越过

4、极限理论和连续函数，直取导数，然后快速攻进微 积分的核心微积分基本定理.没有从数学定义的角度讲极限，可以避免学生难以克服 极限概念的理解这个问题，从而将更多的精力关注于导 数和定积分概念本质的理解上，而不单单地将导数和定 积分理解为一种特殊的极限. 虽然没有给出极限的定义，但是自始至终都体现出了极 限的思想，以让学生在学习的过程中以具体内容为载体 ，逐步体会和感受极限思想，从而为大学阶段学习严格 的极限定义打好基础. 从历史上看，是先有微积分，后有极限从历史上看，是先有微积分，后有极限. .牛顿和莱布尼兹创立微积分学后，他们并没有解决无穷小 量问题.牛顿对无穷小量究竟是不是零曾作过三种不同解释

5、 ：有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼兹 曾试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小 量，但是他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁. 直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对 微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来 又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极 限理论成为了微积分的坚定基础，才使微积分进一步的 发展开来 .在教学中应该贯彻两条线在教学中应该贯彻两条线. .第一，是按照自然的历史的人的第一，是按照自然的历史的人的 认识过程来表述；第二才是严密的公理化的表述认识过程来表述；第二才是严密的公理化的表述. .现在对于现在对于 前者我们重视

6、的太不够了前者我们重视的太不够了. .两个极限典例中国刘徽的“割圆术”：“割之弥细，所失 弥少 ，割之又割，以至不可割，则与圆 合体而无所失矣”. 外国的阿基里斯追龟永不及：3 3返璞归真，强调本质：返璞归真，强调本质： 没有介绍任何形式的极限定义及相关知识，而是从变化没有介绍任何形式的极限定义及相关知识，而是从变化 率入手，用形象直观的率入手，用形象直观的“ “逼近逼近” ”方法定义导数，用方法定义导数，用“ “趋近于趋近于 ” ”、“ “无限逼近于无限逼近于” ”、“ “趋于趋于” ”、“ “无限变小无限变小” ”等通俗易懂的词等通俗易懂的词 对极限的过程进行描述对极限的过程进行描述. .

7、努力揭示数学对象的发展过程与 本质，领会其中的数学思想方法. 4 4尽力体现课标理念尽力体现课标理念 ： 直观理解导数的背景，关注其思想和作用，重视其应用直观理解导数的背景，关注其思想和作用，重视其应用 价值价值. .贯穿微积分的基本思想方法：无限细分，以直代曲贯穿微积分的基本思想方法：无限细分，以直代曲 ，并在解决问题的实践中逐步领悟，并在解决问题的实践中逐步领悟. . 2 2理论依据是直角三角形：理论依据是直角三角形： 从登山运动出发，引出导数，直至从登山运动出发，引出导数，直至 以测量山顶高度为实际背景，经历以测量山顶高度为实际背景，经历 概念发展的过程，体会其思想内涵概念发展的过程，体

8、会其思想内涵 ，导出微积分学基本定理，导出微积分学基本定理. . 三、教材概述 1与原大纲教材相比内容的调整变化： （1）选修11中，导数公式包含所有常见基本 初等函数的导数； （2）选修22中，新增加了“定积分与微积分基 本定理”； （3）所有导数公式都是用导数表给出，不要求 学生证明； （4）删除了函数的最大值与最小值一节，相关 内容以例题出现；（5）选修22中，删除复合函数的导数一节， 但有相关的例题和习题； （6）都增设了导数的实际应用研究最优化 问题； （7）用数学软件求导数理科必修，文科选学2 2研究的方法，是直观微积分：研究的方法，是直观微积分： 通过直观说理学习微积分，而不是不

9、说理；通过 数值的近似计算理解微积分思想不讲极限，但 是仍然用极限的符号去表述，只将极限作为一种 符号，而不考虑它的意义它的基本方法是无限 细分，以直代曲，用微观驾驭宏观 3.内容概述理科分为四个大节第一大节：导数这一节通过具体实例，介绍函数的平 均变化率、瞬时速度、瞬时变化率、导数的概念，结合 具体函数介绍导数的几何意义要多举生活或学习中的实例，以体会研究过程中所体现 的极限思想引导学生在学习过程中要认真体会学习与 研究的方法，加强数形结合思想的应用意识和字母运算 能力的强化第二大节：导数的运算这一节主要是学习基本初等函数 的求导方法和导数的四则运算法则.要注意导数的运算法则与实数运算法则的

10、联系与区别对 教材中给出的基本初等函数的导数表要能准确熟练的记忆 ，并会用数学软件求简单基本初等函数的导数第三大节：导数的应用这一大节是本章学习与应用的重 点，包含利用导数判断函数的单调性、利用导数研究函数 的极值、导数的实际应用三个方面的内容，充分体现了导 数在研究函数及在解决生产、生活实际问题中的作用利用直观的方法理解、体会函数的单调性、函数的极值、 函数的最值与导数的关系，特别是函数的最值与函数的极 值的联系与区别第四大节：定积分与微积分基本定理本节通过求曲边梯 形的面积和求变力作功介绍定积分的概念，通过具体问题 介绍微积分基本定理.要通过本节的学习了解微积分的科学价值、文化价值和基 本

11、思想，本节内容是本章的一个难点 四、应注意的几个问题 1要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽 视它的思想和价值由于学生没有学习极限，而导数又作为一种特殊的极限， 我们如何处理这部分内容？导数及其应用在编排上更侧重于思想和概念的本质，不能 把导数作为一种特殊的极限（增量比的极限）来处理，而 是应通过实际的背景和具体应用事例，引导学生经历由平 均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数的概念， 同时加强学生对导数几何意义的认识和理解，直观了解微 积分基本定理的含义. 2 2导数的运算不宜要求过高导数的运算不宜要求过高 由于没有学习极限，因此，我们不能过多地要求学生利用 极限去求过于复杂的

12、函数导数.只要求学生能根据导数定义 求基本幂函数的导数，能利用给出的基本初等函数的导数 公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单 的复合函数（仅限于形如f(ax+b)）的导数. 3 3注重导数在研究函数和生活实践中的应用注重导数在研究函数和生活实践中的应用 导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际 背景和广泛的应用.它是研究函数增减、变化快慢、最大（ 小）值等问题最一般，最有效的工具，只要求学生能借助 几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系.4 4高中微积分课程更要注重知识发生、发展的高中微积分课程更要注重知识发生、发展的 过程过程 导数是微积分的核心概念，理解导数概念

13、的实质、把握导 数概念的生成所反映的思想和方法，是学习微积分的重中 之重，从导数概念的发生、发展来看，变化率则是导数思 想方法的核心，亦即中学开设微积分课程价值的核心. 5 5关注数学文化关注数学文化 重视和学生一起收集有关微积分创立的时代背景和有关人 物的资料，并进行交流，体会微积分的建立在人类文化发 展中的意义和价值.课标要求 1导数概念及其几何意义 （1）通过对过对 大量实实例的分析，经历经历 由平均变化率过渡 到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知 道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵 （2）通过过函数图图像直观地理解导数的几何意义2 2导数的运算导数的运算（1）能根据

14、导数定义，求函数 的导数 （理）能根据导数定义，求函数 的导数 （2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则 运算法则求简单函数的导数（理）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的 四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数 （仅限于形如 ）的导数 （3）会使用导数公式表 （1 1）结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与）结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与 导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过会求不超过 三次的多项式函数的单调区间三次的多项式函数的单调区间 （2 2）结合函数的图像，了解函数在某点取得极值

15、的必要条）结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条 件和充分条件；会用导数求件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数不超过三次的多项式函数的极的极 大值、极小值，以及在给定区间上大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函不超过三次的多项式函 数数的最大值、最小值的最大值、最小值3导数在研究函数中的应用4生活中的优化问题举例 例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问 题，体会导数在解决实际问题中的作用 5数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并 进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意 义和价值 （理）定积分与微积分基本定理 （1）通过实例（如

16、求曲边梯形的面积、变力做功等）， 从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观 体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念 （2）通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与 路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义 6（理同文5）考试大纲要求 1导数概念及其几何意义 （1）了解导数概念的实际背景 （2）理解导数的几何意义 2导数的运算 （1）能根据导数定义，求函数 的导数 （理）能根据导数定义，求函数 的导数 （2）能利用表1给出的基本初等函数的导数公式和导数的 四则运算法则求简单函数的导数（理）能利用表1给出的基本初等函数的导数公式和导数 的四则运算法则求简单函数的导数能求简单的复合函数 （仅限于形如 ）的导数 表1：常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 ： 常数、幂函数、正弦函数、余