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1、数学模型中南大学 数学科学学院 应用数学与应用软件系1市场经济中的蜘蛛网模型在自由贸易市场上你注意过这样的现 象吗：一个时期由于猪肉的上市量远大 于需求，销售不畅导致价格下降，农民 觉得养猪赔钱，于是转而经营其他农副 产品。过一段时间后猪肉上市量大减， 供不应求导致物价上涨。原来的饲养户 看到有利可图，有重操旧业。这样下一 个时期会出重现供大于求，价格下降的2局面。在没有外面干预的情况下，这种现 象将如此循环下去。在完全自由竞争的市 场经济中上述现象通常是不可避免的。因 为商品的价格是由消费者的需求关系决定 的。商品数量越多价格越低。而下一时期 商品的数量由生产者的供求关系决定，商 品价格越低
2、生产的数量就越少。这样的需 求和供应关系决定了市场经济中商品的价 格和数量必然是震荡的。在现实世界里这 样的震荡出现不同的形式，有的振幅渐小3趋向平稳，有的则振幅越来越大导致经 济崩溃。当然政府会对后者采取干预手 段。这一节我们先用图形方法建立所谓“ 蛛网模型”，对上述现象进行分析，讨论市场经济趋于稳定的条件。用分差方 程建模，对结果进行解释，并适当推广 。4蛛网模型 记第k时段商品的数量为xk, k = 1,2, 。这里我们把时间离散化为时段，一个时段相当于商品的一个生产周期，如 蔬菜、水果可以是1年，肉类则是一个饲养周期。同一时段商品的价格yk取决于数量xk ,设 yk = f (xk)
3、(1)它反映消费者对这种商品的需求关系，称 为需求函数。因为商品的数量越多价格越 5低，所以在图8-1中用一条下降曲线 f 表 示它，f 为需求曲线。下意识段商品的数量xk+1由上一时段价 格yk 决定，设xk+1 = h (yk) , 或 yk = g (xk+1) (2)它反映生产者的供应关系，称供应函数 。因为价格越高生产产量才越大，所以 在图中供应曲线是一条上升曲线。 6图中两个曲线相交于P0(x0 , y0)点。P0 是平衡点，因为一段对某个 k 有 x k = x0， 则由(1)、(2)可知 yk =y0 ，xk+1 = x0 , yk+1 = y0 , ， 即商品的数量和价格将永
4、远保 持在p0(x0 , y0 ) 点。但在实际生活中的种 种干扰使得 x , y不可能停止在P0点，不妨 设x1偏离x0(如图8-1）。我们分析随着k的 增加xk , yk的变化。7图8-1 需求曲线f和供应曲线g，p0是稳定的平衡点 8数量x1给定后，价格y1由曲线 f 上 的P1点决定，下一个时段的x2由曲线g 上P2点决定，y2又由f 上的P3点决定， 这样得到一些列的点P1(x1,y1), P2(x2,y1), P3(x2,y2), P4(x3,y2) , ，在图 8-1上这些点将按箭头所示方向趋向于 P0(x0, y0), 这表明P0是稳定平衡点，意味着市场经济（商品的数量和价格）
5、 将趋向稳定。但是，如果需求函数和 供应 9函数由图8-2的曲线所示，则类似的分 析发现，市场经济将按照P1, P2, P3, P4 ， 的规律变化而远离P0，即P0不是稳定的平衡点，市场经济趋向不稳定 。10图8-2 P0是不稳定的平衡点11图8-1和图8-2中折线P1P2P3P4形似蛛网，于是，这种需求曲线和供 应曲线分析市场经济稳定性的图示 法在经济学上称为蛛网模型。实际 上，需求曲线f 和供应曲线 g 的具体形式通常是根据各个阶段商品数量 和价格的一些列统计资料x1, y1 ,x2 ,y2 , 得到的。一般地说，f 取决于消费者对这种商品的需求程度和他们 的消费水平，g 则与生产者的生
6、产能力、经营水平12等因素有关。一旦需求曲线和供应曲线被确 定下来，如何判断它们的交点平 衡点P0得稳定性呢？从图8-1和图8-2 不难看出，当市场经济偏离P0点不大 (|x1 x0|较小)时，P0点得稳定取决于f 和 g 在P0的斜率。记f 在P0点斜率的绝对值（因为 它是下降的）为Kf ， g 在P0点的斜率13为Kg ，则当Kf 0 (5)xk+1 x0 = (yk y0 ), 0 (6)15消去yk , (5) , (6)可合并为 xk+1 = (-)kxk+(1- (-)k)x0 （k =1,2 ，） (7)（7）是一阶线性差分方程，对k递推不难得到xk+1 = (-)kx1+(1 - (- (8)16由此可得，当k时xk x0 ,使得 P0稳定的条件是 8时显然有从而，|2| 2, 2在单位圆外。下面设 8,可以算出（15 ）27由|2| 1得到P0点稳定的条件为 2 （16）与原有模型中P0点稳定的条件（9） 式相比，保持经济稳定的参数 、 的范围放大了（、得含义未变）。可以想到，这是生产经营者的生 产管理水平提高，对市场经济稳定 起着有利影响的必然结果。28
