第三章(第1节)单自由度系统的强迫振动

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1、第三章第三章 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动本章将主要讨论振动系统由外部持续激 励所产生的振动，称为强迫振动。 系统对外部激励的响应取决于激励的类 型，依照从简单到复杂的次序，外部激励分为: 简谐激励；叠加原理：对于线性系统，可以先分别求 出对所给定的许多各种激励的响应，然后组合得 出总响应。 非周期性激励。 周期性激励；3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应如图3.1-1所示的二阶线性有 阻尼的弹簧-质量系统。这一系 统的运动微分方程为 这个单自由度强迫振动微分方程 的全部解包括两部分。一是通解 x1，二是特解x2，即在小阻尼情况下，通解x1为衰减振动，称为瞬态 振动

2、；特解x2表示系统在简谐激励下产生的强迫 振动，它是一种持续等幅振动，称为稳态振动。 (3.1-1)图 3.1-1微分方程及解的形式3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应微分方程的求解式中X为强迫振动的振幅，为相位差，是两个 待定常数。 将式(3.1-2)代入式(3.1-1)，得为了便于比较，把上式右端的F0sint改写如下设特解为(3.1-2)(3.1-3)(3.1-4)3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应微分方程的求解 将式(3.1-4)代回式(3.1-3)，整理后得该方程对于任意时间t都应恒等于零，有由此可得(3.1-5)(3.1-6)3.1 3.1 对简谐激励的响

3、应对简谐激励的响应微分方程的求解为了便于进一步讨论，把式(3.1-5)与 式(3.1-6)的分子分母同除以k，得如下变化形式 (3.1-7)式中 。(3.1-8)得特解为这就是在简谐激励作用下系统的位移响应。 (3.1-9)3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应可以看出强迫振动的一些带有普遍性质的特点：(1) 在简谐激励作用下，强迫振动是简谐振动，振 动的频率与激励频率相同，但稳态响应的相位 滞后于激励相位。 (2) 强迫振动的振幅X和相位差都只决定于系统 本身的物理性质和激励的大小与频率，与初始条 件无关。初始条件只影响系统的瞬态振动。 (3) 强迫振动振幅的大小在工程实际问题中具

4、有 重要意义。如果振幅超过允许的限度，构件中会 产生过大的交变应力，而导致疲劳破坏，或者影 响机器及仪表的精度。3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应关于解的讨论可以将式(3.1-7)写成无量纲的形式(3.1-10)(3.1-11)引入符号：频率比； 振动系统零频率挠度； 放大因子。 3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应关于解的讨论幅频特性曲线 放大因子与频率比的关系： 当频率比1时，趋于零， 振幅可能非常小。当激励频率与振动系统频率 很接近时，即1时，定义为共 振，强迫振动的振幅可能很大 ，比X0大很多倍，唯一的限制 因素是阻尼。图 3.1-23.1 3.1 对简谐激励

5、的响应对简谐激励的响应关于解的讨论共振 由式(3.1-10)可见，在=1时，有实际上，当有阻尼作用时，振幅最大并不在=n处 ，而发生在 (3.1-12)(3.1-13)(3.1-14)将式(3.1-10)对(或)进行微分，令结果等于零,即3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应关于解的讨论共振据此，放大因子与振幅为（振幅最大时）(3.1-15)(3.1-16)有时，把强迫振动振幅最大时的频率称为共振频率 ，也可以把振动系统以最大振幅进行振动的现象称为共 振。3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应关于解的讨论相频频特性曲线相位差与频率比的关系： 在1时，相位差，即 在高频范围内

6、，响应与激励接 近于反相位。在=1，即共振时，相位差 /2，这时与阻尼大小无关 ，这是共振时的一个重要特征 。图 3.1-33.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应关于解的讨论共振时的响应再研究当激励频率与系统固有频率n相等(即共振 )时的响应情况。在方程(3.1-1)中，令c=0，=n，有 根据微分方程理论可知： 当=n时，微分方程(3.1-17)的 特解为 (3.1-17)(3.1-18)这就说明在共振时，如无阻尼，振幅将随时间无限 地增大，如图3.1-4所示。图 3.1-43.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应例题：无阻尼强迫振动微分方程（例3.1-1)共振现象是工程中

7、需要研究的重要课题，工程中通 常取0.751时，则MX/me 趋近于1，即 Xme/M，而不趋向 于零。 3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应例题：支承激励引起的强迫振动（例3.1-3） 解：取铅垂坐标轴x与y，分别以物体 与支承静止时的平衡位置为原点，向 上为正。其运动微分方程为或者改写成为例3.1-3 作为承受简谐激励的另一个例子，是当支承产生 简谐运动的情况。在许多情况下，系统产生强迫振动是 由于支承的运动。如图3.1-8所示的系统，假定物体m只 能沿铅垂方向运动，支承可以上下运动，其规律为，求系统的响应。3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应例题：支承激励引起的强

8、迫振动（例3.1-3） 设支承的位移y与振动系统中的质量m的强迫振动响应x 表示为 把上面的式子代入振动微分方程得为了便于比较，把上式右端项改写为3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应例题：支承激励引起的强迫振动（例3.1-3） 代回整理得这个方程对于任意时间t都应恒等于零，所以sin（t- ）和cos（t-）前面括号内的量都必须分别等于零， 有因此3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应例题：支承激励引起的强迫振动（例3.1-3） 以为横坐标，X/Y为纵坐标，可以作出不同阻尼系数情 况下的幅频响应曲线，如图3.1-9所示。它与简谐激振力 F0sint作用下的响应曲线基本相同。 只是在频率比= 处， 不论相对阻尼系数等 于多少，振幅X都等于 支承运动振幅Y。而当 时，振幅X就小于 支承运动振幅Y，而且 阻尼大的系统比阻尼 小的振幅反而要稍大 些。