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1、 一、空间间直角坐标标系2已知空间间一点M的坐标为标为 (x，y，z)； (1)与M点关于x轴对轴对 称的点的坐标为标为 _； (2)与M点关于y轴对轴对 称的点的坐标为标为 _；(x，y，z)(x，y，z)2已知空间间一点M的坐标为标为 (x，y，z)； (1)与M点关于x轴对轴对 称的点的坐标为标为 _； (2)与M点关于y轴对轴对 称的点的坐标为标为 _； (3)与M点关于z轴对轴对 称的点的坐标为标为 _； (4)与M点关于面xOy对对称的点的坐标为标为 _； (5)与M点关于面xOz对对称的点的坐标为标为 _； (6)与M点关于面yOz对对称的点的坐标为标为 _； (7)与M点关于坐
2、标标原点O对对称的点的坐标为标为 _ _(x，y，z)(x，y，z) (x，y，z) (x，y，z)(x，y，z) (x，y，z) (x，y，z)二、空间间向量及其运算 1空间间向量及其加减与数乘运算 (1)在空间间中，具有_和_的量叫做向量_ 相同且_相等的有向线线段表示同一向量或相等向 _ _称为为a的相反向 量 (2)空间间向量的有关知识实质识实质 上是平面向量对应对应 的知 识识的推广，如有关的概念、运算法则则、运算律等等 2空间间向量基本定理：如果三个向量a、b、_ ，那么对对空间间任一向量p，存在一个唯一的有序实实数 组组x、y、z，使_，其中a，b，c叫 做空间间的一个_，a、b
3、、c都叫做基向量大小方向方向 模与a 长长度相等而方向相反的向量不共面pxaybzc基底三、空间间向量的坐标标运算2已知空间间两个向量a、b，则则ab _ (向量表示)_(坐标标表示) 3空间间向量数量积积公式的变变形及应应用 已知a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)， (1)判断垂直： ababx1x2y1y2z1z2_.x1x2y1y2z1z2|a|b|cosa，ba，b0，01在空间间直角坐标标系中， 点P(1,2,3)关于x轴对轴对 称的点的坐标为标为 ( ) A(1,2,3) B(1，2，3) C(1, 2, 3) D(1 ,2, 3) 解析：点P(x，y，z)关于x轴对轴
4、对 称的点的坐标为标为 (x ，y，z) 答案：B2与向量a(1，3,2)平行的一个向量的坐标标是( )答案：C答案：C1建立空间间直角坐标标系，必须须牢牢抓住“相交于 同一点的两两垂直的三条直线线”，要在题题目中找出或构 造出这样这样 的三条直线线，因此，要充分利用题题目中所给给 的垂直关系(即线线线线 垂直、线线面垂直、面面垂直)，同时时 要注意，所建立的坐标标系必须须是右手空间间直角坐标标系 在右手空间间直角坐标标系下，点的坐标标既可根据图图 中有关线线段的长长度，也可根据向量的坐标标写出2空间间向量的知识识和内容是在平面向量知识识的基础础 上产产生和推广的，因此，可以利用类类比平面向量
5、的方法解 决本节节的很多内容 (1)零向量是一个特殊向量，在解决问题时问题时 要特别别注 意零向量，避免对对零向量的遗遗漏 (2)a是一个向量，若0，则则a0；若0，a0 ，则则a0. (3)讨论讨论 向量的共线线、共面问题时问题时 ，注意零向量与任 意向量平行，共线线与共面向量均不具有传递传递 性 (4)数量积积运算不满满足消去律，即abbc a c. 数量积积的运算不适合乘法结结合律，即(ab)c不一 定等于a(bc)这这是由于(ab)c表示一个与c共线线的向量，而 a(bc)表示一个与a共线线的向量，而c与a不一定共线线 空间间向量没有除法运算 (5)借助空间间向量可将立体几何中的平行、
6、垂直、夹夹角 、距离等问题转问题转 化为为向量的坐标标运算，如：判断线线线线 平 行或诸诸点共线线，转转化为为“ab(b0)ab”；证证明线线 线线垂直，转转化为为“abab0”，若a(a1，a2，a3)，b (b1，b2，b3)，则转则转 化为计为计 算a1b1a2b2a3b30； 在计计算异面直线线所成的角(或线线面角、二面角)时时，转转化为为 求向量的两条异面直线线所成的角与两异面直线对应线对应 的向量a ，b的夹夹角关系为为cos |cosa，b|.4运用空间间向量的坐标标运算解决立体几何问题问题 的一 般步骤为骤为 ：建立恰当的空间间直角坐标标系；求出相关 点的坐标标；写出向量的坐标
7、标；结结合公式进进行论证论证 、 计计算；转转化为为几何结论结论 考点一 求点的坐标标 【案例1】 (2009安徽)在空间间直角坐标标系中，已 知点A(1,0,2)，B(1，3,1)，点M在y轴轴上，且M到A与 到B的距离相等，则则M的坐标标是_ 关键键提示：设设出M点的坐标标后利用空间间两点间间的 距离公式求解 解析：本题题主要考查查空间间两点距离的计计算 设设M(0，y,0)，因|MA|MB|，由空间间两点间间距离 公式得1y241(y3)21，解得y1. 答案：(0，1,0)(即时时巩固详详解为为教师师用书书独有)【案例2】 如图图，已知正方体ABCDABCD的 棱长为长为 a，M为为B
8、D的中点，点N在AC上，且|AN| 3|NC|，试试求MN的长长关键键提示：建立空间直角坐标系后再求出各点的坐标 ，然后求出MN的长解：以D为为原点，建立如图图所 示的空间间直角坐标标系，因为为正方体 棱长为长为 a， 所以B(a，a,0)，A(a,0，a)， C(0，a，a)，D(0,0，a)【即时时巩固1】 如图图，在四棱 锥锥PABCD中，底面ABCD为为正方形 ，且边长为边长为 2a，棱PD底面ABCD， PD2b，取各侧侧棱的中点E，F，G， H，写出点E，F，G，H的坐标标解：由图图形知，DADC，DCDP，DPDA，故 以D为为原点，建立如图图空间间坐标标系Dxyz.因为为E，F
9、，G ，H分别为侧别为侧 棱中点，由立体几何知识识可知，平面EFGH 与底面ABCD平行，从而这这4个点的竖竖坐标标都为为P的竖竖坐 标标的一半，也就是b.由H为为DP中点，得H(0,0，b)E在底面上的投影为为AD中点，所以E的横坐标标和纵纵 坐标标分别为别为 a和0，所以E(a,0，b)，同理G(0，a，b)；F 在坐标标平面xOz和yOz上的投影分别为别为 点E和G，故F与E 横坐标标相同都是a，与G的纵纵坐标标也同为为a，又F的竖竖坐标标 为为b，故F(a，a，b)考点二 空间间向量基本定理的应应用关键键提示：利用空间间向量基本定理将所求向量表示 成已知向量的形式答案：B【即时时巩固3】 如图图所示，在60 的二面角AB中，AC， BD，且ACAB，BDAB，垂足 分别为别为 A、B，已知ABACBDa ，求线线段CD的长长考点三 证证明垂直问题问题(1)求证证：EFB1C； (2)求EF与C1G所成的角的余弦值值； (3)求FH的长长. 关键键提示：建立空间间直角坐标标系，利用空间间向量来 解决【即时时巩固4】 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱 长为长为 a，用向量法解决下列问题问题 ： (1)求A1B和B1C的夹夹角； (2)证证明A1BAC1； (3)求AC1的长长度
