数字信号处理信号的频率分析

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1、 第4章 信号的频域分析n傅里叶变换和傅里叶级数是LTI系统分析与设计中非常 有用的工具。n信号的频域表示: 用正弦信号（或复指数信号）作为分 量来分解(或表示)信号。n对周期信号，这种分解称为傅里叶级数。n对有限能量信号，这种分解称为傅里叶变换。nLTI系统的线性性意味着当输入为正弦分量的线性组合 时，输出信号在形式上也是正弦信号的线性组合，差别 仅仅在于各分量的幅度和相位有所不同。nLTI系统的特征表明信号的正弦分解是非常重要的。第4章 信号和系统的频率分析 n4.1 连续时间信号的频率分析 n4.2 离散时间信号的频率分析n4.3 频域和时域的信号特性 n4.4 离散时间信号傅里叶变换的

2、性质n4.5 小结和参考文献4.1 连续时间信号的频率分析n利用玻璃棱镜(a)分析和(b)综合白光(太阳光).1672年 牛顿在写给皇家协会的论文中用谱这个术语描述分光 仪产生连续色带。 Joseph ，在测量太阳和 星体发射的光线时，发现 看到的光线的谱包含不同 的色光。19世纪中叶发现，每种化学元 素受热辐射出不同的色光。因 此，可以通过化学元素的光谱 来辨识每种化学元素。频率分析n从物理学，每一种颜色对应一种可见光谱的特定频 率。因此，从光到颜色的分析就是一种频率分析。n信号的频率分析将信号分解成正弦频率分量。不同 的信号拥有不同的谱，谱是信号的又一种表示.n频率分析的基本目的: 给出一

3、个分析任意给定信号 的频率分量的数学和图形表示方式。n可以证明: 实际中大多数有意义的信号能分解为正 弦信号分量和的形式。n用基本数学工具获得信号的频谱的过程称为频 率或者频谱分析。 n在实际中，用信号的测量值来确定信号的谱的 过程称为谱估计。 n可以把谱估计当做从信号源获取信号的一类谱 分析 (例如，语音、EEG、ECG等)。n用于获取信号的谱估计的软件或者仪器被称为 频谱分析仪。n傅里叶分析工具：傅里叶级数和傅里叶变换代 替了棱镜作用。 主要内容n1 连续时间周期信号的傅里叶级数n2 周期信号的功率谱密度n3 连续时间非周期信号的傅里叶变换n4 非周期信号的能量谱密度1 连续时间周期信号的

4、傅里叶级数n实际中经常碰到的周期信号就是方波、矩形 波、三角波，当然包括正弦波和复指数。n周期信号的基本数学表示就是傅里叶级数， 它是谐波相关正弦信号或者复指数信号的线 性加权和。 n复指数谐波线性组合 这是一个周期信号，基本周期为 。 基本模块，只需要适当选取基本频率和系数，就可由 它构造出不同类型的周期信号。 系数 的确定:1 连续时间周期信号的傅里叶级数n综合方程 n分析方程 n如果信号是周期的且满足Dirichlet条件，则它一定 可以表示为综合方程的傅里叶级数，其中系数由分析 方程确定。nDirichlet条件信号 在一个周期内不连续连续 点的个数有限。信号 在一个周期内最小点和最大

5、点的个数有限。信号 在一个周期内绝对绝对 可积积，即实际实际 中，感兴兴趣的所有周期信号都满满足这这些条件。 n周期信号为实数n另一种形式展开式 n实周期信号傅里叶级数展开的三种等价形式。2 周期信号的功率谱密度n平均功率n功率信号的Parseval关系n物理含义 n显然， 代表了信号第 个谐波分量的功率。因 此，周期信号总的平均功率是所有谐波平均功率 的和。 n连续周期信号的功率谱密度图 连续周期信号的功率谱密度图n实周期信号幅度谱是偶函数， 相位谱是奇函数。 例 给出矩形脉冲序列的傅里叶级数和功率谱密度。解:基本周期:当 时，固定脉冲宽度 ，而改变周期 矩形脉冲串信号 的功率谱密度 3 连

6、续时间非周期信号的傅里叶变换n分析方程(正变换)n综合方程(逆变换)n傅里叶级数和傅里叶变换的本质区别在于后者的谱是 连续的，因此，在从非周期信号的频谱合成非周期信 号的过程中，用积分运算代替了求和运算。n傅里叶变换对可以用角频率变量 表示 4 非周期信号的能量谱密度 设信号 是具有傅里叶变换 的能量有限信号。 能量定义:Parseval定理:它是信号能量在时域和频域之间的守恒定理。能量密度谱: 谱一般是复值的，极坐标表示为:是被积函数，代表了信号能量随着频率变化的分布情况, 被称为信号的能量密度谱。实信号的能量谱密度是偶对称的。 例4.1.2 确定矩形脉冲信号的傅里叶变换和能量 谱密度。解:

7、 信号是非周期的并且满足Dirichlet条件，因此它的傅 里叶变换存在。应用式（4.1.30），得到矩形脉冲信号的谱是按 周期 性地重复脉冲所得周期信号的 谱线(傅里叶系数)的包络， 时域和频域之间的不确定性原理: 当信号在时域 扩展(压缩)时，则在频域压缩(扩展)。4.2 离散时间信号的频率分析 n1 离散时间周期信号的傅里叶级数n2 周期信号的功率谱密度n3 离散时间非周期信号的傅里叶变换n4 傅里叶变换的收敛性n5 非周期信号的能量谱密度n6 傅里叶变换与z变换之间的关系n7 倒谱n8 在单位圆上有极点的信号的傅里叶变换n9 取样定理的回顾n10 信号的频域分类： 带宽的概念n11 一

8、些自然信号的频率范围n12 物理和数学上的二重性1 离散时间周期信号的傅里叶级数周期序列 的周期为 ，对所有的 ，有它的傅里叶级数表示包含 个指数谐波函数 综合方程: 分析方程:综合方程通常被称为离散时间傅里叶级数(DTFS),傅里叶系数 给出了信号的频域分析。 傅里叶系数的表示式: 信号或者它的谱的任意 个连续的取样提 供了信号在时域或者频域的完整描述。n例4.2.1 确定下列信号所以,信号是非周期的。因此，不能用傅立叶级数展开。 但是，它确实有频谱。他的频谱仅仅包含(c) (b)和(c)中所讨论的周期信号的谱 2 周期信号的功率谱密度 n周期为 的离散时间周期信号的平均功率:n离散时间周期

9、信号的Parseval关系n信号的平均功率是单个频率分量的功率之和。n序列 是功率作为频率的函数 的分布,被称为周期信号的功率谱密度。n单个周期上的能量 例4.2.2 确定周期方波信号的傅里叶级数的系数和功率谱密度。 解: 3 离散时间非周期信号的傅里叶变换 n综合方程 (逆变换)n分析方程 (正变换)n离散时间有限能量信号的傅里叶变换和有限能 量模拟信号的傅里叶变换之间两个基本区别 #连续时间信号的傅里叶变换的频率范围是 。离 散时间信号的频率范围在 或 上确定。#离散时间信号的傅里叶变换涉及到求和项,而不是连 续时间信号情形中的积分。 4 傅里叶变换的收敛性 n如果信号 绝对可和， 肯定一

10、致收敛。n放松一致收敛的条件,定义有限能量序列的傅里叶变 换，强加均方收敛的条件,这样，存在傅里叶变换的 信号中就可以包括有限能量的信号。一个有限能量信号的例题 (1)式和(2)式的变换对如何确定序列的傅里叶变换 的示意图在 处有一个明显的震荡尖峰，而且它 与 的值无关。随着 增加，震荡变得更快，但波纹的大小 相同。当 ，震荡收敛到不连续点 处，但它们的 幅度不会趋近于0。然而， 在均方意义上收敛于 。 连续时间 周期信号 的傅里叶 级数被截 断时，就 可以看到 类似的效 果。5 非周期信号的能量谱密度 n离散时间信号的能量定义n用谱特征 来表示能量具有有限能量的离散时间非周期信号的Parse

11、val关系。 n 的能量谱密度n假定 是实数例4.2.4 确定序列的傅里叶变换和能量谱密度。常数幅度脉冲和周期方波的傅里叶变换之间的关系 6 傅里叶变换与z 变换之间的关系 7 倒谱 n假定 是一个稳定序列，它的 变换为 ，定义n.n在语音信号处理中，(实)倒谱已用于从语音信号音调频 率中分离以及估计语音信号的成份。n实际中，复倒谱可以分离卷积后的信号。分离两个卷积 信号的过程称为反卷积，用复倒谱实现这个过程的方法 称为同态反卷积。 倒谱 (B) 在该收敛域内， 可以用Laurent 级数表示为n如果 可以表示为幂级数,则 是稳定的。 如果复倒谱存在，则在单位圆上收敛，可得：8 在单位圆上有极

12、点的信号的傅里叶变换 n如果单位圆在 的收敛域内，则序列 的傅里叶变 换可以通过计算它的 变换在单位圆上的值得到。否则 ，傅里叶变换不存在。n有些非周期序列，既不是绝对可和，又不是平方可和 ，因而它们的傅里叶变换不存在。n延伸傅里叶变换的表示很有用。通过允许信号谱中出 现冲激，就可以将傅里叶变换延伸到那些既不能绝对 可和也不能平方可和的序列。 9 取样定理的回顾 n.n如果模拟信号的谱能够从离散时间信号的谱中完全恢复， 那么就没有损失信息。n通过寻找模拟信号的谱和离散时间信号的谱之间的关系来 研究取样过程。n如果 是非周期且能量有限的信号 n从 取样得到离散时间信号 周期性取样在离散时间信号的

13、频率变量 和模拟信号的频率变量 之间建立联系： 例如，假定一个带限模拟信号的谱如图 (a)所示。 当 时，谱为0。如果 ，则离散时间信 号的谱 将如图(b)所示，清晰可见。 离散时间信 号的谱包含 了模拟信号 谱的混叠频 率分量，最 终使得无法 从取样中恢 复出原始信 号。 n当不存在混叠时 用取样信号重构原始模拟信号的内插公式 内插函数 n利用理想内插公式重构连续时间信号 在所有其他时刻，可以通过内插函数的时移形式 的加权求和准确得到 。 取样定理 n最高频率(带宽)为 的连续时间带限信号，当 取样率 时，可以从它的取样信号惟 一恢复出原始信号。n根据取样定理和重构公式, 从取样恢复模拟信号

14、 需要无限个取样。n仅关心从有限个取样恢复有限时宽的信号。n如果取样率太低，则出现混叠，该效果可以用模 拟信号的频率变量在频率轴上多重折叠来描述。 时域和频域函 数之间的关系 假定模拟信号是 带限的并且对其 进行取样的取样 率等于或者高于 Nyquist率。 实际中，在取样 之前都要做抗混 叠预滤波 由混叠所引起的失真可通过 提高取样率来有效地减轻 10 信号的频域分类：带宽的概念低频信号: 信号的功率(或能 量)谱密度集中在零频率附近 。 高频信号 :如果信号功率(能 量)谱密度集中在高频。 中频信号(或带通信号):信号 的功率（能量）谱密度集中 在低频和高频之间很宽的范 围内的某处。 n功

15、率或能量集中分布的频率范围的定量表示被称为信 号的带宽。例如，假定一个连续时间信号的功率(或能 量谱密度)的 集中在频率范围 ，那么这个 信号的 的带宽就是 。n对于带通信号，如果信号的带宽与中频相比很小，则 信号就被称为窄带信号。反之，是宽带信号。n如果一个信号的谱在 的频率范围之外都为0，那 么它是带限信号。n.n没有一个信号既是时限的，同时又是带限的。进而， 一个信号的时宽和频宽之间存在互为互易的关系。 11 一些自然信号的频率范围 n一般地，为了从观测信号提取信息，要对信号作频率 分析。n为了测量参数或者提取其他类型的信息，在信号处理 时，我们必须大致知道获取信号的频率范围。 12 物理和数学上的二重性 n已经介绍过的频率分析工具有： n时域的两种特征(时间变量是连续还是离散以及 信号是周期还是非周期)决定了信号频谱的类型n连续信号具有非周期谱n离散时间信号具有周期谱n周期信号具有离散谱n能量有限的非周期信号具有连续谱 n在一个域的具有周期为 的周期性自然地意味着在另一 个域中具有间