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1、无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究函数性质数值计算数项级数幂级数付氏级数第九章 无穷级数 第一节 常数项级数的概念与基 本性质一、级数的概念二、级数的基本性质三、级数收敛的必要条件一尺之椎，日取其半，永世不竭 . , 一、级数的概念1. 级数的定义:称为(实)常数项无穷级数 . 简称(实数项)级数 . (4) sn 称为级数的部分和数列 .称为级数的前 n 项部分和 . 问题：上述级数定义中的“和式”只是形式上的， 该如何理解无穷多个数量相加呢？2. 级数的收敛与发散:(1) 若级数的部分和数列 sn 有极限 s , (有限数 )(2) 若部分和数列sn没有极限 , 常数项级数收敛存
2、在 (不存在)(发散)(3) 余项显然，级数收敛则其每个余项收敛；级数是以“和”的形式出现的一个特殊数列(部分和数列)的极限，本质上是一个极限. 讨论级数 的敛散性, 可以先求 sn , 再求 . 解 级数发散;级数发散;级数收敛;级数发散.综上的收敛性 . 例2 判别无穷级数解技巧 可利用将通项 an 拆项以求出 sn . 解例3 判别无穷级数 的收敛性 . 技巧 可利用对数运算性质求出 sn . 例4 证明调和级数 发散. 课本 Page 230 例3 证明 假设调和级数收敛于 S , 则有但矛盾! 所以假设不真 . 故调和级数 发散. 解练习： 判别无穷级数 的收敛性 . 技巧 可利用等
3、比数列求和公式求出 sn . 二、级数的基本性质证明在级数前面加上或去掉有限项不影响级数的敛散性.结论: 级数的每一项同乘一个非零常数,敛散性不变.结论: 收敛级数可以逐项相加或逐项相减.思考:注意收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.收敛发散推论 如果加括号后所成的级数发散 , 则原来级数也发散.性质4 收敛级数任意加括号后所成的级数仍然收敛于原来的和.例1 判断下列级数的敛散性 . 注 当级数的通项为若干项之和时, 可分别考虑以 其中每一项为通项的级数的敛散性, 再利用级数逐项相加(减)的性质. (收敛)(发散)例2 判断下列级数的敛散性 . 解 考虑加括号后的级数发散, 从而原级数发散 .三、级数收敛的必要条件证明可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .级数发散.注意并非级数收敛的充分条件.但此级数发散.例1 判断下列级数的敛散性 . (三个级数均发散)注(4) 判断级数 的敛散性 . (发散)四、小结常数项级数的基本概念级数的基本审敛法3. 按基本性质. 杂例：例1的收敛性 . 例2的收敛性 . 例3例4练习解: (1) 令则故从而这说明级数(1) 发散.判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:因进行拆项相消这说明原级数收敛 , 其和为(2) 练习题练习题答案
