事件的独立性和二项分布修改后

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1、2.2.2事件的相互独立性思考与探究思考与探究思考思考1 1：三张奖券有一张可以中奖。现由三 名同学依次无放回地抽取，问：在第一位同 学没有中奖的条件下，最后一名去抽的同学 中奖的概率会受到影响吗？设A为事件“第一位同学没有中奖”。答:事件A的发生会影响事件B发生的概率思考思考2 2：三张奖券有一张可以中奖。现由三 名同学依次有放回地抽取，问：最后一名去 抽的同学的中奖概率会受到第一位同学是否 中奖的影响吗？设A为事件“第一位同学没有中奖”。答：事件A的发生不会影响事件B发生的概率。1. 1.相互独立的概念相互独立的概念设A，B为两个事件，如果则称事件A与事件B相互独立。（1）定义法:P(AB

2、)=P(A)P(B) （2）经验判断:A发生与否不影响B发生的概率B发生与否不影响A发生的概率3.判断两个事件相互独立的方法注意: (1)互斥事件:两个事件不可能同时发生(2)相互独立事件:两个事件的发生彼此互不影响2. 2.相互独立的概念相互独立的概念2 2 事件的“互斥”和“相互独立”是两个不同的概念。互斥说 的是两个事件不能同时发生；而相互独立则是允许两个 事件同时发生，只是其中一个事件的发生与否对另外一 个事件发生的可能性不会产生任何影响 在逻辑上，可以将互斥事件理解为一次试验下可能出现 的不同基本事件，而将相互独立事件理解为两次或更多 次不同试验下相应出现的不同事件。故此，若A 与B

3、 为 互斥事件，则应使用概率加法公式来计算A或B发生的 概率：P( A + B) = P( A) +P( B)。而若A 与B 为相互独 立事件，则应使用概率乘法公式来计算A和B同时发生 的概率（联合概率）：P( AB) = P( A)P( B) 设若两个随机事件A、B相互独立，则说明这两个 事件可以同时发生（因为两个事件的发生互不影 响），而互斥的两个事件却不能同时发生（亦即 一个事件发生了，另个事件就绝对不可能发生） ，故此两个相互独立的事件通常不可能“互斥”。 反之，设若两个事件互斥，则一个事件的出现必 导致另一个事件的不出现，这说明后者出现的概 率受到了前者是否出现的影响，从而意味着这两

4、 个事件并不相互独立。 当然这只是一般情况，当有概率为零的事件时例 外。具体地，当A、B 中至少有一个是不可能事 件时，设若事件A 和B 为互斥事件，则事件A 与 B一定是相互独立事件；设若事件A 和B 为相互 独立事件，则它们一定也是互斥事件。(1)必然事件 及不可能事件与任何事件A相互独立.(2)若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立:相互独立事件的性质： 即两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个 事件发生的概率的积。（2）推广：如果事件A1，A2，An相互独立，那么这 n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的 积.即：P(A1A2An)= P(A1)P(A2)P(An)

5、（1）若A、B是相互独立事件，则有P(AB)= P(A)P(B).相互独立事件同时发生的概率公式练习1.判断下列事件是否为相互独立事件. 篮球比赛的“罚球两次”中，事件A：第一次罚球，球进了.事件B：第二次罚球，球进了.袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球. 事件A：第一次从中任取一个球是白球. 事件B：第二次从中任取一个球是白球.袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球.事件A：第一次从中任取一个球是白球.事件B：第二次从中任取一个球是白球.练2、判断下列各对事件的关系（1）运动员甲射击一次，射中9环与射中8环；（2）甲乙两运动员各射击一次，甲射中9环与乙 射中8环；互斥相互独立相互

6、独立相互独立（4）在一次地理会考中，“甲的成绩合 格”与“乙的成绩优秀”练习3:已知A、B、C相互独立，试用数 学符号语言表示下列关系 A、B、C同时发生概率； A、B、C都不发生的概率； A、B、C中恰有一个发生的概率； A、B、C中恰有两个发生的概率； A、B 、C中至少有一个发生的概率； (1) A发生且B发生且C发生(2) A不发生且B不发生且C不发生练习3 :已知A、B、C相互独立，试用数 学符号语言表示下列关系 A、B、C同时发生概率； A、B、C都不发生的概率； A、B、C中恰有一个发生的概率； A、B、C中恰有两个发生的概率； A、B 、C中至少有一个发生的概率；例题举例例题举

7、例例1、某商场推出两次开奖活动，凡购买一定 价值的商品可以获得一张奖券,抽到某一指定 号码为中奖。奖券上有一个兑奖号码，可以 分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如 果两次兑奖活动的中奖概率都为0.05，求两 次抽奖中以下事件的概率：（1）“都抽到某一指定号码”；（2）“恰有一次抽到某一指定号码”；（3）“至少有一次抽到某一指定号码”。例题解析例题解析解: (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为 事件A， “第二次抽奖抽到某一指定号码”为 事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就 是事件AB。（1）“都抽到某一指定号码”；由于两次的抽奖结果是互不影响的,因此A和B 相互独立.于是由独立性可

8、得,两次抽奖都抽到 某一指定号码的概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.050.05=0.0025例题举例例题举例（2）“恰有一次抽到某一指定号码”；解: “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码” 可以用 表示。由于事件 与 互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的 定义，所求的概率为：例题举例例题举例（3）“至少有一次抽到某一指定号码”； 解: “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可 以用 表示。由于事件 与 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立 事件的定义，所求的概率为：另解：(逆向思考)至少有一次抽中的概率为例2.甲, 乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中敌机 的概率为0.6, 乙击中敌机的概

9、率为0.5, 求敌机 被击中的概率. 解设 A= 甲击中敌机 ,B= 乙击中敌机 ,C=敌机被击中 依题设, 由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中 敌机的可能性，所以 A与B独立,进而= 0.8练习1、若甲以10发8中，乙以10发7中的命中率打靶，两人各射击一次，则他们都中靶的概率是( )(A)(B)(D)(C)练习2.某产品的制作需三道工序，设这三道工序出 现次品的概率分别是P1,P2,P3。假设三道工序互不影 响，则制作出来的产品是正品的概率是 。D(1P1) (1P2) (1P3) 练习3.甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问 题的概率是P1, ，乙解决这个问题的概率是P2

10、，那 么其中至少有1人解决这个问题的概率是多少？ P1 (1P2) +(1P1)P2+P1P2=P1 + P2 P1P2练习4:已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠 老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为 0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中 至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比 较，谁大？ 略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为 所以，合三个臭皮匠之力把握就大过诸葛亮.互斥事件相互独立事件不可能同时发生的 两个事件叫做互斥 事件.如果事件A（或B）是否发生对事 件B（或A）发生的概率没有影响 ，这样的两个事件叫做相互独立 事件P(AB)=P(A)+P(B)P（

11、AB）= P(A)P(B) 互斥事件A、B中 有一个发生，相互独立事件A、B同时 发生,计算 公式符号概念小结反思小结反思记作:AB(或A+B)记作:AB2.2.3独立重复试验与二项分布复习引入共同特点是: 多次重复地做同一个试验 .分析下面的试验，它们有什么共同特点？ 投掷一个骰子投掷5次; 某人射击1次，击中目标的概率是0.8，他射击10 次; 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规 定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止 比赛）; 一个盒子中装有5个球（3个红球和2个黑球）， 有放回地依次从中抽取5个球; 生产一种零件，出现次品的概率是0.04,生产这种 零件4件.1.独立重

12、复试验定义：一般地，在相同条件下重复做的n次试验 称为n次独立重复试验（1）每次试验是在同样条件下进行；（2）每次试验都只有两种结果:发生与不发生；（3）各次试验中的事件是相互独立的；（4）每次试验,某事件发生的概率是相同的。注：独立重复试验的基本特征：基本概念判断下列试验是不是独立重复试验：1)依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上;2)某射击手每次击中目标的概率是0.9，他进行了4次射击，只命中一次； 3)口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中依次抽取5个球,恰好抽出4个白球;4)口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中有放回的抽取5个球,恰好抽出4个白球不是是不是是注：独立重复试

13、验的实际原型是有放回的抽样试验探究投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，则针尖 向下的概率为q=1-p.连续掷一枚图钉3次，仅出现1次 针尖向上的概率是多少？所以，连续掷一枚图钉3次，仅出现1次 针尖向上的概率是思考？上面我们利用掷1次图钉，针尖向上的概率为p，求 出了连续掷3次图钉，仅出现次1针尖向上的概率。类 似地，连续掷3次图钉，出现 次针尖向 上的概率是多少？你能发现其中的规律吗？仔细观察上述等式，可以发现：基本概念2、二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的 次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为此时称随机变量X

14、服从二项分布，记作XB(n,p),并称 p为成功概率。注: （1） 展开式 中的第 项. （其中k = 0，1，2，n ） 试验总次数事件 A 发生的次数一次试验中事件 A 发 生的概率（2）公式理解例1.某射手每次射击击中目标的概率是0.8. 求这名射手在10次射击中。（1）恰有8次击中目标的概率；（2）至少有8次击中目标的概率。（结果保留两个有效数字）解：设X为击中目标的次数，则XB(10,0.8)(1)在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为(2)在10次射击中，至少有8次击中目标的概率为练2. 设一射手平均每射击10次中靶4次，求在五次射击中 击中一次，恰在第二次击中，击中两次，第二

15、、三两次击中，至少击中一次的概率由题设，此射手射击1次，中靶的概率为0.4 n5，k1，应用公式得 事件“第二次击中”表示第一、三、四、五次击中或 击不中都可，它不同于“击中一次”，也不同于“第二次 击中，其他各次都不中”，不能用公式它的概率就是0.4 n5，k2，“第二、三两次击中”表示第一次、第四次及第五 次可中可不中，所以概率为0.40.40.16设“至少击中一次”为事件B，则B包括“击中一次” ，“击中两次”，“击中三次”，“击中四次”，“击 中五次”，所以概率为P(B)P(1)P(2)P(3)P(4)P(5)0.25920.34560.23040.07680.010240.922241P(0)练2： 设一射手平均每射击10次中靶4次，求在五次射击 中击中一次，第二次击中，恰好击中两次，刚 好在第二、三两次击中，至少击中一次的概率求恰好摸5次就停止的概率。 记五次之内（含5次）摸到红球的次数为X， 求随机变量X的分布列。例2.袋A中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是 ，从A中有放回的摸球，每次摸出1个，有3次摸到红球就 停止。解：