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1、第五讲 模糊线性规划 一. 线性规划的MATLAB实现二. 模糊线性规划的概念与方法三. 应用实例分析一.线性规划的MATLAB实现求解线性规划的命令：linprog目标函数最小：不等式约束：等式约束： Aeqx=beq上下界限制：这里f，x，b，beq，lb，ub 是向量，A，Aeq 是矩阵 其中f是目标函数的系数向量，x为决策变量如果计算最大值，可以转化为最小值，若不等式约束为 ，也可转化.x,fvel=linprog(f,A,b) 用于不等式约束，求目标函数 minfTx最小值x：最优解，fvel: 目标函数最小值x,fvel=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)用于
2、等式、不等式约束，求目标函数最小值，若 没有等式约束 ，则Aeq,beq要用空矩阵 代替。 例1.求规划问题： Min z = -2x1-x2+x3, s.t. x1+x2+2x3=6解：f=-2,-1,1;A=1,4,-1;2,-2,1;b=4;12;Aeq=1,1,2;beq=6;lb=0,0,-inf;ub=inf,inf,5;x,z=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)例2. 求解规划max z = 2x1+3x2-5x3s.t. x1+x2+x3=72x1-5x2+x3 10x1,x2,x3 0min z = -2x1-3x2+5x3 s.t. x1+x2+x3=
3、7-2x1+5x2-x3 -10x1,x2,x3 0解：转化为f=-2,-3,5;A=-2,5,-1;b=-10;Aeq=1,1,1;beq=7;lb=0,0,0;x,z=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)故函数的最大值为：14.5714例3.考虑混合饲料的配比，它由玉米粉和大豆 饼组成，成本最小如何配比？玉米 大豆饼配比要求发热量4Mcal/kg2Mcal/kg2.8Mcal/kg蛋白含量90g/kg300g/kg 220g/kg价格2元/kg1.6元/kg解：设1公斤混合饲料中玉米为x1,大豆饼为x2,目标函数为：z=2x1+1.6x2 s.t. 4x1+2x2 2.8 9
4、0x1+300x2 220 x1+x2=1,x1,x2 0结果自己计算例4. 某厂生产甲、乙、丙、丁四种产品，使用 A,B,C三类设备，每种产品的使用各类设备的工时 数及可能利润见下表，如何安排获利最大？设备加工每件产品工时单位时段可 供使用或必 须使用时数甲乙丙丁A1.01.21.41.5 2100B0.50.60.60.8 1000C0.70.70.80.8 1300每件利润1215810 解：设甲、乙、丙、丁四种产品的产量分别为x1,x2,x3,x4 maxf=12x1+15x2+8x3+10x4二. 模糊线性规划的求解方法Aeqx=beq普通线性规划：模糊线性规划两者的区别在于：模糊线
5、性规划的约束条件为模 糊约束，即等式、不等式约束有一个伸缩 率.在解决实际问题时，要根据实际意义确定伸缩率 比如股票价格可能在某个区间变动，一本招生数 可能有所增加.模糊线性规划的求解方法：基本思想：转化为普通线性规划，步骤如下1. 不考虑伸缩率，求解普通线性规划（1）2. 考虑伸缩率，求解普通线性规划（2）3. 增加变量 ，求解普通线性规划（3）为了便于同学们的理解，下面通过具体例子加以说明上述的三个普通线性规划的具体形式例1. 解模糊线性规划对应的约束条件伸 缩指标分别取 d1=2,d2=1,d3=0.5解：首先求解普通线性规划（1）此时的规划（1），只需 将原题中的相应地改成 即可转化为
6、求最小值的线性规划模型：f1=-1,4,-6; A1=1,1,1;-1,6,-1;b1=8;-6; Aeq1=1,-3,-1;beq1=-4;lb1=0,0,0; x1,z1=linprog(f1,A1,b1,Aeq1,beq1,lb1);MATLAB程序如下结果：x1=2,x2=0,x3=6, 最优值为：38其次，解有伸缩率的普通线性规划（2）注意添加伸缩率时的规律如下： 加di， 减di； 等式约束变成两个不等式约束.转化为求最小值的线性规划模型：f2=-1,4,-6; A2=1,1,1;-1,6,-1;1,-3,-1;-1,3,1;b2=10;-5;-3.5;4.5; Aeq2=;beq
7、2=;lb2=0,0,0; x2,z2=linprog(f2,A2,b2,Aeq2,beq2,lb2);MATLAB程序如下注意：此时没有 等式约束，故Aeq2=;beq2=;结果如下：x1=2.75,x2=0,x3=7.25,最优值为：46.25最后添加新的变量 ，求解普通线性规划（3）其中：d0=z2-z1=46.25-38=8.25注意：此时增加了一个约束条件为：原目标函数 新伸缩率乘新变量 原最优值.特别注意: 如果原规划是 min z=fTx,则最后添加新的变量 ，求解普通线性规划（3）注意：此时d00转化为求最小值的线性规划模型：f3=0,0,0,-1; A3=-1,4,-6,8.
8、25;1,1,1,2;-1,6,-1,1;1,-3,-1,0.5;-1,3,1,0.5; b3=-38;10;-5;-3.5;4.5;Aeq3=;beq3=;lb3=0,0,0; x3,z3=linprog(f3,A3,b3,Aeq3,beq3,lb3);MATLAB程序如下上述规划所得到的最优解:x1=2.375，x2=0，x3=6.625将上述最优解代入原目标函数，得到模 糊线性规划的最优值为：X1-4x2+6x3=2.375+6 6.625=42.125三. 应用实例分析 例1药物配方问题：某种药物含3种主要成分A1,A2,A3, 含量分别为755mg/盒,1205mg/盒,13810m
9、g/盒,这三 种成分主要来自5种原料B1,B2,B3,B4,B5,各种原料每千 克所含成分及单价如下原料B1B2B3B4B5 A1/mg856012080120 A2/mg801509016060 A3/mg100120150120200 单价/元1.31.51.61.71.8如果要配制该药10000盒，怎样选料最好？ 解：设配制1盒该药五种原料分别为x1,x2,x3,x4,x5kgd1=5d2=5d3=10解：首先求解没有伸缩率的经典线性规划f=1.3,1.5,1.6,1.7,1.8;A=;b=; Aeq=85,60,120,80,12080,150,90,160,60100,120,150
10、,120,200; beq=75;120;138;lb=0,0,0,0,0;x1,s1=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)然后求解有伸缩率的普通线性规划（2）f1=1.3,1.5,1.6,1.7,1.8;Aeq=;beq=; A1=85,60,120,80,120; -85,-60,-120,-80,-120;80,150,90,160,60; -80,-150,-90,-160,-60;100,120,150,120,200; -100,-120,-150,-120,-200; b1=80;-70;125;-115;148;-128;lb=0,0,0,0,0;x2,s2=li
11、nprog(f1,A1,b1,lb)最后求解以下线性规划：f3=0,0,0,0,0,-1; A3=1.3,1.5,1.6,1.7,1.8,0.0955;85,60,120,80,120,5;-85,-60,-120,-80,-120,5;80,150,90,160,60,5; -80,-150,-90,-160,-60,5;100,120,150,120,200,10;-100,-120,-150,-120,-200,10; b3=1.5327;80;-70;125;-115;148;-128;lb3=0,0,0,0,0,0; x3,s3=linprog(f3,A3,b3,Aeq3,beq3,lb3) F=1.3,1.5,1.6,1.7,1.8*x3(1:5)
