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1、第四节条件概率与乘法公式在解决许多概率问题时，往往需要在 有某些附加信息(条件)下求事件的概率.一、条件概率1. 条件概率的概念如在事件B发生的条件下求事件A发生的 概率，将此概率记作P(A|B).一般 P(A|B) P(A) P(A )=1/6，例如，掷一颗均匀骰子，A=掷出2点，B=掷出偶数点，P(A|B)=？掷骰子已知事件B发生，此时试验所 有可能结果构成的集合就是B，于是P(A|B)= 1/3.B中共有3个元素，它们的出现 是等可能的，其中只有1个在 集A中，容易看到P(A|B)P(A )=3/10，又如，10件产品中有7件正品，3件次品， 7件正品中有3件一等品，4件二等品. 现从这
2、 10件中任取一件，记B=取到正品A=取到一等品，P(A|B)P(A )=3/10，B=取到正品P(A|B)=3/7本例中，计算P(A)时，依 据的前提条件是10件产品中一 等品的比例. A=取到一等品，计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只 是加上“事件B已发生”这个新的条件.这好象给了我们一个“情报”，使我们得 以在某个缩小了的范围内来考虑问题.若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既 在 B 中又在A中的样本点 , 即 此点必属于AB. 由于我们已经 知道B已发生, 故B变成了新的 样本空间 , 于是 有(1). 设A、B是两个事件，且P(B)0,则称(1)2. 条件概
3、率的定义为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.3. 条件概率的计算P(B)0例1.一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是男孩，问：另一个也是男孩的概率是多少？若已知第一胎是男孩，则第二胎也是男孩的概率？由条件概率的定义：即 若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2)而 P(AB)=P(BA)二、 乘法公式若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).将A、B的位置对调，有故 P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (3)若 P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A) (2)和(3)式都称为乘法公式, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率可推广到n个事件
4、例如 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300 件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个 是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？所求为P(AB).甲、乙共生产 1000 个189个是 标准件300个 乙厂生产设B=零件是乙厂生产A=是标准件所求为P(AB) .设B=零件是乙厂生产A=是标准件若改为“发现它是乙厂生产的, 问它是标准件的概率是多少?”求的是 P(A|B) .B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件.甲、乙共生产 1000 个189个是 标准件300个 乙厂生产例2. 设某种动物由出生算起活到20年以
5、上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现 年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概 率是多少？解：设A=能活20年以上，B=能活25年以上依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4所求为P(B|A) .见书中P17例1.4.2一场精彩的足球赛将要举行， 5个球迷好不容易才搞到一张入场券. 大家都想去,只好用抽签的方法来解决. 入场 券5张同样的卡片，只有一张上写有“入场券”，其余的什么也 没写. 将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取.“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”后抽比先抽的确实吃亏吗？ 到底谁说的对呢？让我们用 概率论的知识来计算一下,每个 人抽到“入场
6、券”的概率到底有 多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个 按次序来，谁抽到入场券的机会都 一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”例3.设10件产品中有4件不合格 品,现从中连续抽取两次,每次 一件,问第二次取到合格品的 概率为多少?三.全概率公式:定义1.4.2 完备事件组完备事件组: 如果事件 满足则称事件 构成一个完备事件组.其含义是在每次试验中必然发生而且仅有A1, A2 , An中的一个事件发生。特别，n=2时，A1 和A2就是对立事件。设A1,A2,An是两两互斥的事件，且 P(Ai)0， i =1,2,n, 另有一事件B, 它总是与 A1, A2, ,An之一同时发生
7、，则 定理1.4.2(全概率公式)例4.某车间有三台设备生产同一型号 的零件,每台设备的产量分别占车间 总产量的25%,35%及40%.如果各台 设备的废品率分别为0.05,0.04及0.02, 今从全车间生产的零件中任取一件, 求此件是废品的概率为多少?思考：例5.在上例中,若从全车间生 产的零件中任取一件,经检验是废 品,问该废品来自哪台设备生产的 可能性较大?该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它 是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致 B发生的每个原因的概率.定理1.4.3 (贝叶斯公式)：设A1,A2,An是两两互斥的事件，且 P(Ai)0，i=1,2,n, 另有一事件
8、B，它总是与 A1,A2,An 之一同时发生，则 贝叶斯公式在实际中有很多应用，它 可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生 的最可能原因.经常称上述的P(A1)，P(A2)等为先验概率，称P(A1 | B)等为后验概率。例 6 某一地区患有癌症的人占0.005，患者 对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常 人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现 抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是 癌症患者的概率有多大?则 表示“抽查的人不患癌症”. 已知 P(C)=0.005,P( )=0.995,P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04求解如下:设 C=抽查的人患有癌症，A=试验结果是阳
9、性，求P(C|A).现在来分析一下结果的意义.由贝叶斯公式，可得 代入数据计算得:P(CA)= 0.1066 2. 检出阳性是否一定患有癌症? 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率P(C)=0.005 患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性 反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的 概率为 P(CA)= 0.1066 说明这种试验对于诊断一个人是否患 有癌症有意义.从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？2. 检出阳性是否一定患有癌症? 试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为
10、P(CA)=0.1066即使你检出阳性，尚可不必过早下结论 你有癌症，这种可能性只有10.66% (平均来 说，1000个人中大约只有107人确患癌症)， 此时医生常要通过再试验来确认. 例7设有三张形状完全相同但所涂颜色不同 的卡片，第一张两面都是红色，第二张两面 都是黑色，第三张一面红一面黑。将三张卡 片放在帽子里充分混合后，随机地取一张放 在地面上，若取出的卡片朝上一面呈红色， 那么另一面是黑色的概率是多少？贝叶斯公式在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为 原因的验前概率和验后概率.P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步信息（不 知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸 事件发生可能性大小的认识.当有了新的信息（知道B发生），人们对诸 事件发生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。在不了解案情细节(事件B) 之前，侦破人员根据过去 的前科，对他们作案的可 能性有一个估计，设为比如原来认为作案可能性较小的某甲， 现在变成了重点嫌疑犯.例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有 甲、乙、丙三人.甲乙丙 P(A1) P(A2) P(A3)但在知道案情细 节后, 这个估计 就有了变化.P(A1 | B)知道B 发生后 P(A2 | B) P(A3 | B)最大偏小
