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1、第4章 向量空间与线性变换第4章 向量空间与线性变换uRn的基与向量关于基的坐标uRn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵4.1 Rn的基与向量关于基的坐标uRn的基与向量关于基的坐标我们知道 1) Rn中的n个单位向量i=(0,0,1,0,0)(i=1, , n)是 线性无关的； 2) 一个n 阶实矩阵A=(aij)nn，如果|A|0，则A的n个行向 量和n个列向量也都是线性无关的； 3)Rn中任何n+1个向量都是线性相关的，且Rn中任一向 量都可用Rn中n个线性无关的向量来表示，且表示法 唯一。 Rn中向量之间的这种关系就是本节将要讨论的“基”与“ 坐标”的概念。4.1 Rn的基与向量关于基
2、的坐标uRn的基与向量关于基的坐标 定义：设有序向量组B1, 2, , n属于Rn， 如果B 线性无关，且Rn中任一向量均可由B线性表示，即 a11a22+ann就称B是Rn的一组基（或基底），有序数组(a1, a2,an) 是向量关于基B（或说在基B下）的坐标，记作： B (a1, a2, , an ) 或B (a1, a2, , an ) T 并称之为的坐标向量。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标uRn的基与向量关于基的坐标 显然Rn的基不是唯一的，而关于给定的基的坐标是唯 一确定的。以后，我们把n个单位向量组成的基称为自 然基或标准基。在三维几何向量空间R3中，i, j, k是一组标准基
3、，R3中任 一个向量可以唯一地表示为： a1i +a2j +a3k 有序数组(a1, a2, a3 )称为在基i, j, k下的坐标。如果的 起点在原点，(a1, a2, a3 )就是的终点P的直角坐标（以 后我们常利用R3中向量与空间点 P 的一一对应关系， 对Rn中的一些问题及其结论在R3中作几何解释）。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标uRn的基与向量关于基的坐标 为了讨论问题方便，我们对于向量及其坐标常采用列向 量的形式(a1, a2, , an) T表示，=a11+a22+ann可表 示为：4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u求向量关于基的坐标举例 例1：设Rn的两组基为自然基B1和
4、B2=1, 2,n, 其中：求向量=(a1, a2 , , an )T分别在两组基下的坐标。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u求向量关于基的坐标举例 解：关于自然基B1=1, 2, ,n显然有 = a11+a22+ +ann，所以：设关于B2有：4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u求向量关于基的坐标举例 将以列向量形式表示的,1,2,n代入上式，得：4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u求向量关于基的坐标举例 解上式非齐次线性方程组，即得：4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u基之间的变换 由例1可见，Rn中同一个向量关于不同基的坐标一般是 不同的。因此需要一般地讨论基变换与坐标变换的问题 。为
5、了得到Rn中同一向量关于两组基所对应的坐标之间的 关系，先证明下面的定理。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u基之间的变换 定理：设B=1,2, ,n是Rn的一组基，且：则1,2,n线性无关的充要条件是：4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u基之间的变换 证：由定理中方程式得：1,2,n线性无关的充要条件是方程：只有零解xj0 (j=1, 2, , n) 。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u基之间的变换 由于1, 2, , n线性无关，由上式得：因此，前方程只有零解（即上面齐次线性方程组只有零 解）的充要条件是上面齐次线性方程组的系数行列不等 于零，即定理中条件式成立。4.1 Rn的基与向量关
6、于基的坐标u基之间的变换 设B11,2, ,n, 和B2=1,2, ,n是 Rn的两组基（分别称为旧基和新基），它们的关系如下 所示：将其表示成矩阵形式4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u基之间的变换 记上式右面的矩阵为A（注意：A是1,2,n的系 数矩阵的转置），为叙述简便，上式可写作： (1,2, ,n)=(1,2, ,n) A4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u基之间的变换 定义：设Rn的两组基B1=1,2, ,n和 B2=1,2, ,n满足下式式的关系，则矩阵A称为旧基B1到新基B2的过渡矩阵（或称A是基 B1变为基B2的变换矩阵）。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u基之间的变换 根
7、据前面定理，过渡矩阵A是可逆的，A中第j列是新基 的基向量j在旧基1,2, ,n下的坐标。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u基之间的变换 定理 ：设向量在两组基B1=1,2, ,n和 B2=1,2,n下的坐标向量分别为：基B1到基B2的过渡矩阵为A，则 Ay=x 或 y=A-1x4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u基之间的变换 证：由已知条件，可得： (1,2, ,n)=(1,2,n) A故：由于在基1,2,n下的坐标是唯一的，所以：Ay=x 或 y=A-1x4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u基之间的变换举例 例2：已知R3的一组基B2 1,2,3为1=(1, 2, 1)T ，2=(1,
8、-1, 0)T，3=(1, 0, -1)T，求自然基B1=1, 2,3 到基B2的过渡矩阵A。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u基之间的变换举例 解：由即得4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u基之间的变换举例 由例2可见，在Rn中由自然基B1=1,2,n到基 B2=1,2,n 的过渡矩阵A，就是将1,2,n 按列排成的矩阵。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u基之间的变换举例 例3：已知R3的两组基为B1=1,2,3 及 B2=1,2,3，其中 ：1）求基B1到基B2的过渡矩阵A； 2）已知在基B1下的坐标为(1, -2, -1)T，求在基B2下 的坐标。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u
9、基之间的变换举例 解： 1）设：将以列向量形式表示的两组基向量代入上式，得：4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u基之间的变换举例 故过渡矩阵4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u基之间的变换举例 2）根据前面的定理得在基B2下的坐标另一解法：先求出，即：然后按=y11+y22+y33，解出坐标(y1, y2 , y3)T。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u基之间的变换举例 利用前面定理中关于不同基下坐标的关系的结论，容易 得到平面直角坐标系中坐标轴旋转的坐标变换公式。设平面直角坐标系逆时针旋转角（见课本165页图4.1 ），在Oxy坐标系中，取基1=i, 2 =j；在Oxy坐标系中 取基1=i
10、, 2 =j，则：4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u基之间的变换举例 即：于是向量在基1, 2和1, 2下的坐标(x1, y1)和(x1, y1)满足关系式4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵un维实向量的内积，欧式空间 在前面讨论的n维实向量空间中，我们只定义了向量的 线性运算，它不能描述向量的度量性质，如长度、夹角 等。在三维几何空间中，向量的内积（即点积或数量积 ）描述了内积与向量的长度及夹角的关系。 由内积定义：ab=|a| |b| cos可以得到：4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵un维实向量的内积，欧式空间 若a=a1i+a2j+a3k，简记为a=(a1,
11、a2, a3)；b=b1i+b2j+b3k， 简记为b= (b1, b2, b3)。由内积的运算性质和内积的定义 ，可得：a b= a1b1+ a2b2+ a3b3现在我们把三维几何向量的内积推广到n维实向量，在n 维实向量空间中定义内积运算，进而定义向量的长度和 夹角，使n维实向量具有度量性。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵un维实向量的内积，欧式空间 定义：设=(a1, a2, , an)T 和=(b1, b2, , bn)T Rn， 规定与的内积为： (,)= a1 b1+ a2 b2 + +an bn 当,为列向量时， (,)=T=T4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和
12、正交矩阵un维实向量的内积，欧式空间 根据定义，容易证明内积具有以下的运算性质： 1) (,)=(,) 2) (+,)=(,)+(,) 3) (k,)=k(,) 4) (,)0，等号成立当且仅当=0 其中,Rn, kR。由于向量与自身的内积是非负数，于是我们如三维几 何空间中那样，用内积定义n维向量的长度。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵un维实向量的内积，欧式空间 定义：向量的长度：4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵un维实向量的内积，欧式空间 定理：向量的内积满足： |(,)| |此式称为柯西施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式。4.2 Rn中向量的内积、
13、标准正交基和正交矩阵un维实向量的内积，欧式空间 证： 1）当=0时，(,)=0 ，|=0，|(,)| |显然成立。2）当0时，作向量+t(tR) ，由性质4)得：(+t, +t) 0再由性质1), 2), 3)展开上式左端得：4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵un维实向量的内积，欧式空间 (,)+2 (,)t +(,) t2 0 其左端是t的二次三项式，且t2系数(,) 0，因此判 别式： 4 (,) 24 (,) (,)0即： (,) 2 (,) (,)= |2 | 2故： |(,)| |4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵un维实向量的内积，欧式空间 读者不难证明，
14、前面定理中|(,)| |等号成 立的充分必要条件为与线性相关。当=(a1, a2, , an)T, =(b1, b2, , bn)T 时，利用前面定 理可得：由于内积满足柯西施瓦茨不等式，于是我们可以利用 内积定义向量之间的夹角。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵un维实向量的内积，欧式空间 定义：向量,之间的夹角定义为：由前面的定义立即可得：4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵un维实向量的内积，欧式空间 定理：非零向量,正交（或垂直）的充分必要条件 是(,)=0。由于零向量与任何向量的内积为零，因此，我们也说零 向量与任何向量正交。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵un维实向量的内积，欧式空间 在三维几何空间中，向量,+构成三角形，三个 向量的长度满足三角形不等式：|+| |+| 当时，三个向量的长度满足勾股定理：|+|2=|2+|24.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵un维实向量的内积，欧式空间 在定义了内积运算的n维向量空间中，三角形不等式和 勾股定理仍然成立，下面给出它们的证明。|+|2= (+, +)= (,)+2 (,)+ (,) |2 +2 | |+|2=(|+|)2 故： |+| |+|当时，(,)=0，于是就有：|+|2= |
