《大学生数学建模——主成分分析方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学生数学建模——主成分分析方法（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、主成分分析方法 主成分分析的基本原理 主成分分析的计算步骤 主成分分析方法应用实例 地理系统是多要素的复杂系统。在地理学 研究中，多变量问题是经常会遇到的。变量太 多，无疑会增加分析问题的难度与复杂性，而 且在许多实际问题中，多个变量之间是具有一 定的相关关系的。因此，人们会很自然地想到，能否在相关 分析的基础上，用较少的新变量代替原来较多 的旧变量，而且使这些较少的新变量尽可能多 地保留原来变量所反映的信息？ 问题的提出：事实上，这种想法是可以实现的，主成分 分析方法就是综合处理这种问题的一种强有力 的工具。 主成分分析是把原来多个变量划为少数几 个综合指标的一种统计分析方法。从数学角度来看
2、，这是一种降维处理技术 。 一、主成分分析的基本原理 n假定有n个地理样本，每个样本共有p个变 量，构成一个np阶的地理数据矩阵（1） n 当p较大时，在p维空间中考察问题比较麻 烦。为了克服这一困难，就需要进行降维 处理，即用较少的几个综合指标代替原来 较多的变量指标，而且使这些较少的综合 指标既能尽量多地反映原来较多变量指标 所反映的信息，同时它们之间又是彼此独 立的。定义：记x1，x2，xP为原变量指标，z1 ，z2，zm（mp）为新变量指标(2) n系数lij的确定原则： zi与zj（ij；i，j=1，2，m）相互无关； z1是x1，x2，xP的一切线性组合中方差 最大者，z2是与z1
3、不相关的x1，x2，xP的所有线性组合中方差最大者；zm是与z1，z2，zm1都不相关的x1，x2， xP， 的所有线性组合中方差最大者。则新变量指标z1，z2，zm分别称为原变量 指标x1，x2，xP的第一，第二，第m 主成分。 从以上的分析可以看出，主成分分析的 实质就是确定原来变量xj（j=1，2 ， p） 在诸主成分zi（i=1，2，m）上的荷载 lij （ i=1，2，m； j=1，2 ，p）。从数学上容易知道，从数学上可以证明 ，它们分别是的相关矩阵的m个较大的特征值 所对应的特征向量。 二、计算步骤 （一）计算相关系数矩阵rij（i，j=1，2，p）为原变量xi与xj 的相关系数
4、， rij=rji，其计算公式为：（3） （4） （二）计算特征值与特征向量： 解特征方程 ，常用雅可比法（ Jacobi）求出特征值，并使其按大小顺序排列 ； 分别求出对应于特征值 的特征向量 ，要求 =1，即 ，其中 表示向量 的第j个分量。 计算主成分贡献率及累计贡献率贡献率:累计贡献率: 一般取累计贡献率达8595%的特征值 所对应的第一、第二、第m（mp）个主成分。 贡献率表示所定义的主成分在整个数据 分析中承担的主要意义占多大的比重， 当取前 m个主成分来代替原来全部变量 时，累计贡献率的大小反应了这种取代 的可靠性，累计贡献率越大，可靠性越 大；反之，则可靠性越小。一般要求累 计
5、贡献率达到 70% 以上。 计算主成分载荷 各主成分的得分： （5） （6） 三、 主成分分析方法应用实例下面，我们根据表1给出的数据，对 某农业生态经济系统做主成分分析， 表1 某农业生态经济系统各区域单元的有关数据 步骤如下：（1）将表1中的数据作标准差 标准化处理，然后将它们代入公式（4）计算 相关系数矩阵（见表2）。表2 相关系数矩阵 （2）由相关系数矩阵计算特征值，以及各 个主成分的贡献率与累计贡献率（见表3） 。由表3可知，第一，第二，第三主成分的 累计贡献率已高达86.596%（大于85%）， 故只需要求出第一、第二、第三主成分z1， z2，z3即可。 表3 特征值及主成分贡献率
6、 （3）对于特征值=4.6610，=2.0890 ，=1.0430分别求出其特征向量e1，e2，e3 ，再用公式（5）计算各变量x1，x2， ，x9在主成分z1，z2，z3上的载荷（表4）。 表4 主成分载荷 第一主成分z1与x1，x5，x6，x7，x9呈显出 较强的正相关，与x3呈显出较强的负相关 ，而这几个变量则综合反映了生态经济结 构状况，因此可以认为第一主成分z1是生 态经济结构的代表。 第二主成分z2与x2，x4，x5呈显出较强的 正相关，与x1呈显出较强的负相关，其中 ，除了x1为人口总数外，x2，x4，x5都反映 了人均占有资源量的情况，因此可以认为 第二主成分z2代表了人均资源量。 分析：显然，用三个主成分z1、z2、z3代替原来9个变量（x1， x2，x9），描述农业生态经济系统，可以使问题更进 一步简化、明了。第三主成分z3，与x8呈显出的正相关程度 最高，其次是x6，而与x7呈负相关，因此可以认为第三主成分在一定程度上代表了农业 经济结构。 另外，表4中最后一列（占方差的百分数 ），在一定程度反映了三个主成分z1、z2、z3 包含原变量（x1，x2，x9）的信息量多少。
