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1、塑性力学第1章 应力分析应力状态三维应力状态分析三维应力状态的主应力最大剪应力等倾面上的正应力和剪应力应力罗德参数与应力罗德角应力张量的分解平衡微分方程1. 外力 体力、面力(1) 体力 弹性体内单位体积上所受的外力 体力分布集度 （矢量）xyzOX、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影单位： N/m3kN/m3说明 ：(1) F 是坐标的连续分布函数； (2) F 的加载方式是任意的 (如：重力，磁场力、惯性力等) (3) X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。11 应力状态(2) 面力 作用于物体表面单位面积上的外力 面力分布集度（矢量）xyzO 面力矢量在坐标轴上投影单位： 1N/m2 =1P
2、a (帕 ) 1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕 )说明 ：(1) F 是坐标的连续分布函数；(2) F 的加载方式是任意的;(3) 的正负号由坐标方向确定。2. 应力 (1) 一点应力的概念dSdP内力(1) 物体内部分子或原子间的相互 作用力; (2) 由于外力作用引起的相互作用力.(不考虑)M(1) M点的内力面分布集度(2) 应力矢量-M点的应力的极限方向由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度应力分量n (法线)应力的法向分量 正应力应力的切向分量 剪应力单位:与面力相同MPa (兆帕)应力关于坐标连续分布的斜截面上的应力斜截面上的总应力斜截面上的正应力和剪应力平面
3、应力状态主应力与应力主向最大剪应力摩尔应力圆x面的应力：y面的应力：z面的应力：12 三维应力状态用矩阵表示 ：其中，只有6个量独立。剪应力互等定理应力符号的意义：第1个下标 x 表示所在面的法线方向；第2个下标 y 表示的方向. 应力正负号的规定： 正应力 拉为正，压为负。 剪应力 坐标正面上，与坐标正向一致时为正； 坐标负面上，与坐标正向相反时为正。xyzO与材力中剪应力正负号规定的区别：xy规定使得单元体顺时转的剪应力 为正，反之为负。在用应力莫尔圆时必须用此规定求解问题xyzO四面体受力图在某点处取 出一无限小 四面体。它 的三个面分 别与x、y、 z三个轴相 垂直。另一 面即为任意
4、倾斜面，其 法线为v， 其方向余弦 为l、m、n 。 pv利用力的平衡条件，可得任意斜截面上的应 力pv作用于任一斜截面上的应力向量分量可以用 作用在与坐标轴垂直的三个面上的应力向量 分量来表示。上式可作为力的边界条件的表达式。13 三维应力状态的主应力在过任一点所作任意方向的单元面积上都有正应力 和剪应力。如果在某一方向剪应力为零，则此方向 即称为主方向（应力主向），而这时在该面上的正 应力便称为主应力。 如果v方向为主应力平面的方向，则有pvx = x l，pvy y m，pvz = z n，则得 几何关系l,m,n不能同时为零，因此前式为包括三个未知量 l,m,n的线性齐次方程。若有非零
5、解，则此方程组 的系数行列式应当等于零，即展开行列式得到 其中I1、I2、I3不随坐标方向不同而变，称为应力 张量不变量，分别称为应力张量第一（一次 ）不变量、第二（二次）不变量与第三（三 次）不变量。 解一元三次方程，得三个主应力1, 2, 3。 I1、I2、I3可用主应力表示如下：求解主应力时，先求出各应力张量不变量， 再解一元三次方程。 【例】已知一点的应力状态由如下应力分量确 定，即试求主应力的值。 【解】求各应力张量不变量，I1 = 3，I2= -6， I3 = -8，代入一元三次方程得解得 斜截面上的正应力和剪应力设斜截面上的正应力为v , 则由投影可得若三个坐标轴的方向为主方向，
6、且主应力大小顺序 按x, y, z排列，则总应力为斜截面上的剪应力为三维应力圆三维应力状 态下任意斜 截面上的正 应力和剪应 力，在以三 个主应力组 成的应力圆 所围成的阴 影的范围之 内。最大剪应力 等于最大和 最小正应力 值之差的一 半。14 最大剪应力主应力平面 上的剪应力 为零；最大 剪应力位于 坐标轴分角 面上，而三 个最大剪应 力分别等于 三个主应力 两两之差的 一半。在主应力 坐标系中 （1, 2, 3分 别代表1, 2, 3）主 应力与最 大剪应力 作用面及 其方向余 弦1-5 等倾面上的正应力和剪应力等倾面就是和三个主应力轴成相同角度（5444） 的面，等倾面的法线方向也与三
7、个主应力轴成相同 的角度。法线v为空间对角线，也称为等倾线。等 倾面法线的方向余弦l, m, n可由下式确定则等倾面上的正应力和剪应力主应力空间：以三个主 应力为轴而组成的笛卡 儿坐标系若将1, 2, 3轴在等 倾面上投影，则在等 倾面上可以得到互相 成120角的三个坐标 轴。等倾面及其上应力 向量 在等倾线上的投影 0向量 在等倾面上的投影 00与轴1在等倾面上的投影之间的夹角称为应力状态的特征角，cos为应力形式指数 。等倾面上一点的应力状态八面体上 的正应力 与剪应力偏平面如果等倾面上的正应力0= 0，？如果0= 0，等倾面过原点，则此等倾面称为 平面。平面上没有正应力，只有剪应力， 只
8、有应力偏张量，所以平面又叫偏平面。应力强度 或广义剪应力0 为平均应力或静 水压力，只引起物 体体积的变化，i 或0只引起物体形 状的变化， 与应 力状态有关。应力偏量分量、主应力用应力强度、 平均应力与应力状态状态角表示应力偏量 主应力s1+s2+s3 = 0 1+2+3 = 30 应力星圆应力星圆是以距原点O为0的一点为圆心， 以2i / 3为半径所画的圆。由圆心O点开始 作与轴O成 角的直线，则此直线与圆的 交点在O 轴上的投影即为1。由OA线顺时 针旋转120作一直线，此直线与圆的交点在 轴上的投影即为2。而由OA线顺时针旋 转240所作的直线与圆的交点在 轴上的投 影即为3。应力星圆
9、应力状态与 应力星圆【例】已知应力状态为：1=150MPa, 2=50MPa, 3= -50MPa，试画出应力星圆。 【解】 0 = (150+50-50)/3 = 50MPa故， = 30。应力星圆最大剪应力用i 和表示应力星圆剪应力 2的 绝对 值最 大。1OO1320231-6 应力罗德参数与应力罗德角在 平面上建立 直角坐标系Oxy ，取y轴方向与 2轴在 平面上 投影2 一致。 矢量Op在坐标轴 1上的投影长度 为Op1 = 1， 在2上的投影长 度为Op2= 2 ，在3上的投影 长度为Op3 = 3。 矢量Op与x轴夹 角为应力罗德角 。120120123Oyxpp3p2p1应力
10、罗德 参数 与应 力罗 德角 和应 力状 态特 征角 的关 系rr应力罗德参数与应力罗德角应力罗德角应力罗德参数洛德角， 平 面上的剪应力 与 2轴的垂线间的夹 角； 洛德参数，。 应力罗德参数-30 30 -1 1 应力状态与应力罗德角【例】已知一点的主应力1 32 33，试求该点 的应力形式指数cos、应力罗德参数、应力状 态特征角、应力罗德角，并在平面（等倾面 ）上画出两个角度之间的关系。 如果1 33，2 23， 则300r300 1 13 3 2 23 3 3 31-7 应力张量的分解一点的应力状态可以用6个应力分量来表示 ，在给定的受力情况下，各应力分量的大小 与坐标轴的方向有关，而它们作为一个整体 用来表示一点应力状态的这一物理量（称为 应力张量）则与坐标的选择无关。所谓张量 是指在坐标变换时，按某种指定形式变化的 量。张量的分量随坐标的变换而变化。应力 张量是二阶张量。应力张量是二阶对称张量 。应力 张量应 力 分 量应力偏 量张量应力球 张量克罗内克尔（Kronecker）符号应 力 张 量 的 分 解将应力状态分解为球形应力张量和应力偏量 ，球形应力张量表示各向均匀受力状态，有 时也称静水压力状态。将原应力状态减去静 水压力状态即可得到应力偏量状态。球形应 力张量引起物体体积的改变，而应力偏量则 引起物体形状的变化。应力偏量张量不变量
