课件4-MATLAB在高等数学中的应用

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1、第三章 MATLAB在高等数学中的 应用Date电子信息学院3.1矩阵分析 3.1.1 对角阵与三角阵 1对角阵 只有对角线上有非0元素的矩阵称为对 角矩阵，对角线上的元素相等的对角矩 阵称为数量矩阵，对角线上的元素都为 1的对角矩阵称为单位矩阵。Date电子信息学院(1) 提取矩阵的对角线元素 设A为mn矩阵，diag(A)函数用于提取矩阵A主对角线 元素，产生一个具有min(m,n)个元素的列向量。 diag(A)函数还有一种形式diag(A,k)，其功能是提取第k 条对角线的元素。 (2) 构造对角矩阵 设V为具有m个元素的向量，diag(V)将产生一个mm对 角矩阵，其主对角线元素即为

2、向量V的元素。 diag(V)函数也有另一种形式diag(V,k)，其功能是产生一 个nn(n=m+)对角阵，其第k条对角线的元素即为向量V 的元素。Date电子信息学院例1. 先建立55矩阵A，然后将A的第一行 元素乘以1，第二行乘以2，第五行 乘以5。 A=17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;1 0,12,19,21,3;. 11,18,25,2,19; D=diag(1:5);D*A %用D左乘A，对A的每行乘以一 个指定常数Date电子信息学院2三角阵 三角阵又进一步分为上三角阵和下三角 阵，所谓上三角阵，即矩阵的对角线以 下的元素全为0的一种矩阵

3、，而下三角 阵则是对角线以上的元素全为0的一种 矩阵。Date电子信息学院 上三角矩阵 求矩阵A的上三角阵的MATLAB函数是 triu(A)。 triu(A)函数也有另一种形式triu(A,k)，其功 能是求矩阵A的第k条对角线以上的元素。例 如，提取矩阵A的第2条对角线以上的元素， 形成新的矩阵B。 下三角矩阵 在MATLAB中，提取矩阵A的下三角矩阵的 函数是tril(A)和tril(A,k)，其用法与提取上三 角矩阵的函数triu(A)和triu(A,k)完全相同。Date电子信息学院3.1.2 矩阵的转置与旋转 1矩阵的转置 转置运算符是单撇号()。 2矩阵的旋转 利用函数rot90

4、(A,k)将矩阵A旋转90的k 倍，当k为1时可省略。Date电子信息学院3矩阵的左右翻转 对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一 列和最后一列调换，第二列和倒数第二 列调换，依次类推。MATLAB对 矩阵A实施左右翻转的函数是fliplr(A) 。 4矩阵的上下翻转 MATLAB对矩阵A实施上下翻转的函数 是flipud(A)。Date电子信息学院3.1.3 矩阵的逆与伪逆 1矩阵的逆 对于一个方阵A，如果存在一个与其同阶的方阵B， 使得： AB=BA=I (I为单位矩阵) 则称B为A的逆矩阵，当然，A也是B的逆矩阵。 求一个矩阵的逆是一件非常烦琐的工作，容易出错 ，但在MATLAB中，求一个矩

5、阵的逆非常容易。求 方阵A的逆矩阵可调用函数inv(A)。 例2. 用求逆矩阵的方法解线性方程组。 Ax=b 其解为： x=A-1bDate电子信息学院2矩阵的伪逆 如果矩阵A不是一个方阵时，矩阵A没 有逆矩阵，但可以找到一个与A的转置 矩阵A同型的矩阵B，使得： ABA=A BAB=B 此时称矩阵B为矩阵A的伪逆，也称为 广义逆矩阵。在MATLAB中，求一个 矩阵伪逆的函数是pinv(A)。Date电子信息学院3.1.4 方阵的行列式 把一个方阵看作一个行列式，并对其按 行列式的规则求值，这个值就称为矩阵 所对应的行列式的值。在MATLAB中 ，求方阵A所对应的行列式的值的函数 是det(A

6、)。Date电子信息学院3.1.5 线性方程组求解 1利用左除运算符的直接解法 对于线性方程组Ax=b，可以利用左除运算符“”求解：x=Ab 例3.。 用直接解法求解下列线性方程组。命令如下： A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4; b=13,-9,6,0; x=Ab%(inv(A)*b)Date电子信息学院3.1.6 矩阵的秩与迹 1矩阵的秩 矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的 秩。在MATLAB中，求矩阵秩的函数 是rank(A)。 2矩阵的迹 矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和， 也等于矩阵的特征值之和。在 MATLAB中，求矩阵的迹的函数是 tra

7、ce(A)。Date电子信息学院3.1.7 向量和矩阵的范数 矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量 在某种意义下的长度。范数有多种方法 定义，其定义不同，范数值也就不同。Date电子信息学院1向量的3种常用范数及其计算函数 在MATLAB中，求向量范数的函数为 ： (1) norm(V)或norm(V,2)：计算向量V 的2范数。 (2) norm(V,1)：计算向量V的1范数。 (3) norm(V,inf)：计算向量V的范数 。 2矩阵的范数及其计算函数 MATLAB提供了求3种矩阵范数的函数 ，其函数调用格式与求向量的范数的函 数完全相同。Date电子信息学院3.1.8 矩阵的条件数 在M

8、ATLAB中，计算矩阵A的3种条件数 的函数是： (1) cond(A,1) 计算A的1范数下的条件 数。 (2) cond(A)或cond(A,2) 计算A的2范数 数下的条件数。 (3) cond(A,inf) 计算A的 范数下的条 件数。Date电子信息学院3.1.9 矩阵的特征值与特征向量 在MATLAB中，计算矩阵A的特征值和 特征向量的函数是eig(A)，常用的调用 格式有2种： (1) E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值， 构成向量E。 (2) V,D=eig(A)：求矩阵A的全部特征 值，构成对角阵D，并求A的特征向量 构成V的列向量。Date电子信息学院3.2 多项式计算

9、 1多项式的加减运算（详见课本p87） 2多项式乘法运算 函数conv(P1,P2)用于求多项式P1和P2的乘 积。这里，P1、P2是两个多项式系数向量 。Date电子信息学院3多项式除法 函数Q,r=deconv(P1,P2)用于对多项式P1和P2 作除法运算。其中Q返回多项式P1除以P2的 商式，r返回P1除以P2的余式。这里，Q和r 仍是多项式系数向量。 deconv是conv的逆函数，即有P1=conv(P2,Q)+r 。Date电子信息学院4 多项式求根 n次多项式具有n个根，当然这些根可能 是实根，也可能含有若干对共轭复根。 MATLAB提供的roots函数用于求多项 式的全部根，

10、其调用格式为： x=roots(P) 其中P为多项式的系数向量，求得的根赋 给向量x，即x(1),x(2),x(n)分别代表 多项式的n个根。Date电子信息学院例4. 求多项式x4+8x3-10的根。 命令如下： A=1,8,0,0,-10; x=roots(A) 若已知多项式的全部根，则可以用poly函 数建立起该多项式，其调用格式为： P=poly(x) 若x为具有n个元素的向量，则poly(x)建 立以x为其根的多项式，且将该多项式 的系数赋给向量P。Date电子信息学院例5. 已知 f(x) (1) 计算f(x)=0 的全部根。 (2) 由方程f(x)=0的根构造一个多项式g(x)

11、，并与f(x)进行对比。命令如下： P=3,0,4,-5,-7.2,5; X=roots(P) %求方程f(x)=0的根 G=poly(X) %求多项式g(x)Date电子信息学院3.3 数据插值 3.3.1 一维数据插值 在MATLAB中，实现这些插值的函数是 interp1，其调用格式为： Y1=interp1(X,Y,X1,method) 函数根据X,Y的值，计算函数在X1处的值 。X,Y是两个等长的已知向量，分别描 述采样点和样本值，X1是一个向量或 标量，描述欲插值的点，Y1是一个与 X1等长的插值结果。method是插值方 法，允许的取值有linear、nearest、 cubic

12、、spline。Date电子信息学院注意：X1的取值范围不能超出X的给定范 围，否则，会给出“NaN”错误。 例6. 用不同的插值方法计算在/2点的值 。 MATLAB中有一个专门的3次样条插值函 数Y1=spline(X,Y,X1)，其功能及使用方 法与函数Y1=interp1(X,Y,X1,spline)完 全相同。Date电子信息学院例7.某观测站测得某日6:00时至18:00时之间每隔2小时 的室内外温度()，用3次样条插值分别求得该日室 内外6:30至17:30时之间每隔2小时各点的近似温度 ()。 设时间变量h为一行向量，温度变量t为一个两列矩阵， 其中第一列存放室内温度，第二列储

13、存室外温度。 命令如下： h =6:2:18; t=18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30; XI =6.5:2:17.5 YI=interp1(h,t,XI, spline) %用3次样条插值计算Date电子信息学院3.3.2 二维数据插值 在MATLAB中，提供了解决二维插值问题的函 数interp2，其调用格式为： Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method) 其中X,Y是两个向量，分别描述两个参数的采 样 点，Z是与参数采样点对应的函数值，X1,Y1是 两个向量或标量，描述欲插值的点。Z1是根据 相 应的插值方法得到的插值结果

14、。 method的取值 与一维插值函数相同。X,Y,Z也可以是矩阵形 式。 同样，X1,Y1的取值范围不能超出X,Y的给定范 围，否则，会给出“NaN”错误。Date电子信息学院例8.某实验对一根长10米的钢轨进行热源的温度传播测 试。用x表示测量点0:2.5:10(米)，用h表示测量时间 0:30:60(秒)，用T表示测试所得各点的温度()。试 用线性插值求出在一分钟内每隔20秒、钢轨每隔1米 处的温度TI。 命令如下： x=0:2.5:10; h=0:30:60; T=95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41; xi=0:10; hi=0:20:60

15、; TI=interp2(x,h,T,xi,hi)Date电子信息学院3.4 数据统计处理 3.4.1 最大值和最小值 MATLAB提供的求数据序列的最大值和 最小值的函数分别为max和min，两个 函数的调用格式和操作过程类似。 1求向量的最大值和最小值 求一个向量X的最大值的函数有两种调用 格式，分别是： (1) y=max(X)：返回向量X的最大值存入y ，如果X中包含复数元素，则按模取最 大值。Date电子信息学院(2) y,I=max(X)：返回向量X的最大值存入y， 最大值的序号存入I，如果X中包含复数元素 ，则按模取最大值。 求向量X的最小值的函数是min(X)，用法和 max(

16、X)完全相同。 例9. 求向量x的最大值。 命令如下： x=-43,72,9,16,23,47; y=max(x) %求向量x中的最大值 y,l=max(x) %求向量x中的最大值及其该 元素的位置Date电子信息学院2求矩阵的最大值和最小值 求矩阵A的最大值的函数有3种调用格式 ，分别是： (1) max(A)：返回一个行向量，向量的第i 个元素是矩阵A的第i列上的最大值。 (2) Y,U=max(A)：返回行向量Y和U，Y 向量记录A的每列的最大值，U向量记 录每列最大值的行号。Date电子信息学院(3) max(A,dim)：dim取1或2。dim取1 时，该函数和max(A)完全相同；dim取 2时，该函数返回一个列